Chuyên đề hàm số potx

Các chuyên đề giải toán luyện thi đại học www.vnmath.com LeVanThao – HVKTQS

Le Van Thao gui dang tren www.vnmath.com

CHƯƠNG I MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ

1.1. Tính đơn điệu của hàm số

A. Lý Thuyết:

Hàm số đơn điệu:

- Cho hàm số f xác định trên khoảng K, trong đó K là một khoảng , đoạn hoặc nửa khoảng.

* f đồng biến trên K nếu với mọi

* f nghịch biến trên K nếu với mọi

- Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Khi đó :

* Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì

* Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì

- Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

Định lý 1: Định lý về giá trị trung bình của phép vi phân ( Định lý Lagrange)

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn tại ít nhất một điểm

sao cho f(b)-f(a)=f'( c) ( b-a)

Định lý 2:

1) Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I

* Nếu và chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số đồng biến trên I.

* Nếu và chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số nghịch biến trên I.

* Nếu thì hàm số f không đổi trên I

2) Giả sử hàm số f liên tục trên nửa khoảng [a,b) và có đạo hàm trên khoảng (a,b).

* Nếu với mọi thì hàm số f đồng biến ( hoặc nghịch biến ) trên nửa

khoảng [a,b)

* Nếu với mọi thì hàm số f không đổi trên nửa khoảng [a,b)

B. Bài Tập :

Bài tập1: Chứng minh rằng với mọi phương trình có một nghiệm duy

nhất thuộc đoạn

Bài giải:

Xét hàm số liên tục trên đoạn

Ta có

Vì sinx > 0 nên

Created by [email protected]

Mobile 0977.856.521 Page 1 8/5/2014

Các chuyên đề giải toán luyện thi đại học www.vnmath.com LeVanThao – HVKTQS

Hàm số đồng biến trên đoạn và nghịch biến trên đoạn

* Hàm số f liên tục trên đoạn , ta có , nên phương trình cho không có nghiệm

* Hàm số f liên tục trên đoạn ta có . Theo định lý về giá trị trung gian của hàm

số liên tục ( lớp 11) , với mọi , tồn tại một số thực sao cho f( c) = 0 , vậy c là nghiệm

phương trình , đồng thời hàm số f nghịch biến trên đoạn nên phương trình có nghiệm duy nhất

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thuộc

Bài tập 2: Tìm m để hàm số sau đồng biến trên R

Bài giải:

Để hàm số đồng biến trên R thì

*

!/ m = -2 thì không thỏa

!!/ m = 0 thì đúng . Vậy m = 0 thỏa

* , khi đó để thì

Vậy hàm số đổng biến trên R

Bài tập 3: Cho hàm số : . Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có

độ dài bằng 5

Bài giải :

* Tập xác định : D = R

*

* , khi đó phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt

Để hàm số luôn nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 5 thì thỏa mãn

m = hehe!!!

Bài tập 4:Với giá trị nào của m thì hàm số luôn luôn đồng biến?

Bài giải:

* Tập xác định D = R

* y’

= (2m + 3)cosx + (2 - m) = (2m + 3)t + (2 - m) = f(t) ; với

Created by [email protected]

Mobile 0977.856.521 Page 2 8/5/2014

Các chuyên đề giải toán luyện thi đại học www.vnmath.com LeVanThao – HVKTQS

* Để hàm số đồng biến trên D thì

Bài tập 5:Cho hàm số . Tìm m để hàm số đồng biến trong

khoảng D =

Bài giải:

Để hàm số đồng biến trong khoảng

PP1:

(**)

Ta có:

2

2 2 2

4 1 4 2 ( ) '( ) 0, (2, )

4 1 ( 4 1)

x x x f x f x x

x x x x

+ − − = ⇒ = < ∀ ∈ +∞

+ + + +

, do đó

x [2,+ )

9

(**) ax {f(x)} = f(2) m

13

m m

∈ ∞

⇔ ≥ ⇔ ≥

PP2:

* m = 0 khi đó

1

' 4 1 0 ông thoa mãn ' 0, (2; )

4

y x x kh y x = − − ≥ ⇔ ≤ − ⇒ > ∀ ∈ +∞ .Vậy m = 0 ( loại )

*

!/ Hàm số đồng biến trên R khi

Do đó với thì hàm số cũng đồng biến trong khoảng

!!/ Giả sử thì pt y'=0 có hai nghiệm phân biệt

Hàm số đồng biến trong khoảng khi ta có hệ:

Kết hợp các trường hợp được giá trị m cần tìm

Bài tập 1

1/Định m để hàm số luôn luôn nghịch biến ?.

2/Định m để hàm số luôn luôn đồng biến ?.

3/ Định m để hàm số luôn luôn giảm

4/ Cho hàm số . Tìm m để

Created by [email protected]

Mobile 0977.856.521 Page 3 8/5/2014

Các chuyên đề giải toán luyện thi đại học www.vnmath.com LeVanThao – HVKTQS

5/ Định m để hàm số đồng biến trong khoảng

6/ Định m để hàm số nghịch biến trong khoảng

Bài tập 2

1/Chứng minh rằng phương trình có 1 nghiệm duy nhất.

2/Cho hàm số có đồ thị là ( Cm); m là tham số.

a. Tìm m để hàm số đồng biến trên R.

b. Tìm m để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 4.

c. Tìm m để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng 1.

1.2. Sử dụng tính chất đơn điệu giải phương trình chứa căn

Phương trình vô tỉ là mảng kiến thức thường gặp trong các đề thi đại học , cách giải của phương trình vô tỉ

rất đa dạng và sau đây tôi xin giới thiệu phương pháp nhỏ sử dụng tính đơn điệu.

I)Dạng I:

Giả sử

Vậy phương trình đã cho tương đương với

Ví dụ 1) Giải phương trình :

Điều kiện

Giả sử

Vậy

II)Dạng II

trong đó

Ví dụ II)Giải phương trình:

Điều kiện:

Phương trình đã cho tương đương với:

Created by [email protected]

Mobile 0977.856.521 Page 4 8/5/2014

Các chuyên đề giải toán luyện thi đại học www.vnmath.com LeVanThao – HVKTQS

Giả sử:

suy ra

Vậy phương trình có nghiệm là x=1.

Sau đây là một số bài tập áp dụng:

Giải phương trình:

Bài 1)

Bài 2)

Bài 3)

Bài 4)

Bài 5)

1.3. Phương pháp hàm số trong giải PT-BPT-HPT

1.3.1. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải PT-BPT-HPT

Định lí 1: Nếu hàm số y = f(x) luôn đb (hoặc luôn ngb) và liên tục trên D thì số nghiệm của pt trên D:

f(x) = k không nhiều hơn một và f(x) = f(y) khi và chỉ khi x = y với mọi x,y thuộc D.

Chứng minh:

Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x = a, tức là f(a) = k. Do f đồng biến nên

* x > a suy ra f(x) > f(a) = k nên pt f(x) = k vô nghiệm

* x < a suy ra f(x) < f(a) = k nên pt f(x) = k vô nghiệm

Vậy pt f(x) = k có nhiều nhất là một nghiệm.

Chú ý:

* Từ định lí trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau:

Bài toán yêu cầu giải pt: F(x)=0. Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa phương trình về dạng

f(x)=k hoặc f(u)=f(v) ( trong đó u=u(x), v=v(x)) và ta chứng minh được f(x) là hàm luôn đồng biến

(nghịch biến)

Nếu là pt: f(x)=k thì ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất.

Nếu là pt: f(u)=f(v) ta có ngay u=v giải phương trình này ta tìm được nghiệm.

* Ta cũng có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có duy nhất nghiệm.

Định lí 2: Nếu hàm số y=f(x) luôn đb (hoặc luôn ngb) và hàm số y=g(x) luôn ngb (hoặc luôn đb)và

liên tục trên D thì số nghiệm trên D của pt: f(x)=g(x) không nhiều hơn một.

Chứng minh:

Giả sử x=a là một nghiệm của pt: f(x)=g(x), tức là f(a)=g(a).Ta giả sử f đồng biến còn g nghịch biến.

Created by [email protected]

Mobile 0977.856.521 Page 5 8/5/2014