CAO HỌC : Xác suất thống kê và Quá trình ngẫu nhiên

http://www.ebook.edu.vn

Ts t« v¨n ban

Bµi gi¶ng

X¸c suÊt thèng kª

Vµ

Qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn

(Dành cho các lớp cao học kỹ thuật - HVKTQS)

PHIªn B¶N 09/05 - 12/05 - 08/06 - 11/06 - 20/03/07 - 15/05/07 - 10/7/2007 - 05/09/07

(Ch−a hoµn thiÖn)

Hµ néi - 2005 - 2006 - 2007

http://www.ebook.edu.vn

M ỤC L ỤC

PhÇn –Ch−¬ng Néi dung trang

Môc lôc 2

Lêi nãi ®Çu 5

C¸c ký hiÖu hay sö dông 7

PhÇn I X¸c suÊt Thèng kª 9

Ch−¬ng I KiÕn thøc bæ sung vÒ x¸c suÊt 9

§1.1. C¸c biÕn ngÉu nhiªn quan träng 9

§1.1. BiÕn nhÉu nhiªn chuÈn 8

§1.2. VÐc t¬ ngÉu nhiªn chuÈn 11

§1.3. Më réng kh¸i niÖm mËt ®é ®èi víi BNN rêi r¹c 17

C©u hái vµ bµi tËp Ch−¬ng I 20

Ch−¬ng II

Ch−¬ng III §3.5.Sù héi tô cña d·y c¸c BNN

3.5.1. C¸c d¹ng héi tô

3.5.2. C¸c ®Þnh lý giíi h¹n

23

23

25

Ch−¬ng IV Lý thuyÕt −íc l−îng

PhÇn II Qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn 32

Ch−¬ng V Nh÷ng kh¸i niÖm tæng qu¸t 32

§5.1. Më ®Çu

5.1.1. C¸c ®Þnh nghÜa

5.1.2. Ph©n lo¹i s¬ bé

5.1.3. VÝ dô vÒ QTNN

5.1.4. Hä c¸c ph©n bè h÷u h¹n chiÒu

32

32

33

34

35

§5.2. Mét sè líp c¸c qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn

5.2.1. Qu¸ tr×nh cÊp II

5.2.2. Qu¸ tr×nh sè gia ®éc lËp

5.2.3. Qu¸ tr×nh dõng (QT dõng theo nghÜa hÑp, dõng

theo nghÜa réng, dõng ®ång thêi)

5.2.4. Qu¸ tr×nh Gauss

36

36

38

39

45

§5.3.TÝnh chÊt ergodic vµ trung b×nh thêi gian 46

2

http://www.ebook.edu.vn

5.3.1. Giíi thiÖu

5.3.2. Ergodic kú väng

5.3.3. Ergodic ph−¬ng sai, tù hiÖp ph−¬ngsai, PS chÐo

5.3.4. C¸c lo¹i ergodic kh¸c

5.3.5. §o hµm t−¬ng quan

46

47

50

54

55

§5.4.Liªn tôc, ®¹o hµm, tÝch ph©n

5.4.1. Liªn tôc (theo x¸c suÊt, theo trung b×nh)

5.4.2. §¹o hµm (theo b×nh ph−¬ng trung b×nh)

5.4.3. TÝch ph©n (theo b×nh ph−¬ng trung b×nh)

57

57

59

61

§5.5.Hai QTNN quan träng

5.5.1. QT Poisson (®Þnh nghÜa, x¸c suÊt ®ång thêi n

chiÒu, hµm tù t−¬ng quan, d·y thêi ®iÓm ®Õn, x¸c

®Þnh c−êng ®é dßng ®Õn, c¸c biÕn thÓ, nhiÔu b¾n,

sinh c¸c quü ®¹o)

5.5.2. QT Wiener (®. nghÜa, c¸c tÝnh chÊt, sinh quü ®¹o)

5.5.3. Giíi thiÖu vÒ c¸c QTNN kh¸c

65

65

75

74

77

§5.6. Qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn phøc

C©u hái lý thuyÕt vµ bµi tËp ch−¬ng V

77

79

Ch−¬ng VI Xö lý c¸c QTNN 86

§6.1.MËt ®é phæ c«ng suÊt

6.1.1. VÊn ®Ò nghiªn cøu QTNN trong miÒn tÇn sè

6.1.2. MËt ®é phæ c«ng suÊt

6.1.3. MËt ®é phæ c«ng suÊt chÐo

6.1.4. MËt ®é phæ c«ng suÊt cho QT thùc kh«ng dõng

6.1.5. MËt ®é phæ c«ng suÊt cho d·y ngÉu nhiªn

6.1.6. Mét sè m« h×nh nhiÔu (nhiÔu tr¾ng, nhiÔu nhiÖt,

nhiÔu tr¾ng th«ng d¶i, nhiÔu mµu, nhiÔu b¾n)

6.1.7. Phæ c«ng suÊt cña QTNN phøc

(VÝ dô: Phæ v¹ch, hiÖu øng Doppler)

86

86

89

93

95

97

99

103

§6.2.C¨n b¶n vÒ hÖ tuyÕn tÝnh

6.2.1. HÖ tuyÕn tÝnh tæng qu¸t

6.2.2. HÖ tuyÕn tÝnh bÊt biÕn theo thêi gian

6.2.3. HÖ nh©n qu¶ vµ hÖ æn ®Þnh

107

107

109

112

3

http://www.ebook.edu.vn

6.2.4. Tr−êng hîp hÖ rêi r¹c 113

§6.3. HÖ tuyÕn tÝnh víi ®Çu vµo ngÉu nhiªn

6.3.1. VÊn ®Ò ®Çu ra

6.3.2. C¸c ®Æc tr−ng x¸c suÊt cña QT ®Çu ra

6.3.3. §¸p øng hÖ LTI rêi r¹c víi ®Çu vµo ngÉu nhiªn

6.3.4. C¸c vÝ dô (HÖ lý tưëng, Läc bËc nhÊt, Trung b×nh

trưît, Phæ cña QT ®¹o hµm)

115

115

117

120

122

§6.4. Qu¸ tr×nh tù håi quy – trung b×nh ®éng

6.4.1. Qu¸ tr×nh tù håi quy AR

4.4.2. Qu¸ tr×nh trung b×nh ®éng MA

6.4.3. Qu¸ tr×nh ARMA

124

124

128

130

§6.5. Qu¸ tr×nh th«ng d¶i vµ ®iÒu chÕ

6.5.1. Qu¸ tr×nh th«ng d¶i

6.5.2. NhiÔu trong hÖ th«ng tin ®iÒu biªn AM

6.5.3. NhiÔu trong hÖ th«ng tin ®iÒu tÇn FM

133

133

138

142

§6.6. Läc phèi hîp

6.6.1. Tr−êng hîp tæng qu¸t

6.6.2. Läc phèi hîp cho nhiÔu mµu

6.6.3. Läc phèi hîp cho nhiÔu tr¾ng

§6.7. ¦íc l−îng tuyÕn tÝnh tèi −u

6.7.1. §Æt bµi to¸n

6.7.2. Bµi to¸n lµ tr¬n – Läc Wiener bÊt kh¶ thi

6.7.3. Läc Wiener kh¶ thi

C©u hái lý thuyÕt vµ bµi tËp Ch−¬ng VI

147

147

148

149

151

151

153

155

159

Chư¬ng VII

(dù tr÷) ⎧

⎨

⎩

Qu¸ tr×nh Markov

• XÝch Markov

• Qu¸ tr×nh Markov víi thêi gian liªn tôc

PhÇn III Phô lôc A - Các bảng thống kê

Phô lôc B - PhÐp biÕn ®æi Fourier

B¶ng B-1 TÝnh chÊt cña phÐp biÕn ®æi Fourier

B¶ng B-2. CÆp phÐp biÕn ®æi Fourier

171

171

172

Tµi liÖu tham kh¶o 173

4

http://www.ebook.edu.vn

Ch−¬ng 1. kiÕn thøc bæ Sung vÒ x¸c suÊt

§1.1.C¸c biÕn ngÉu nhiªn quan träng

1.1.1.BiÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c

Tªn KÝ hiÖu X¸c suÊt P{X k = } K× väng Ph−¬ng sai

NhÞ thøc B(n,p) k k n k Cnp (1 p) ;k 0,1,..., n − − = np np(1-p)

Poisson P(λ )

ke

;k 0,1,... k!

−λ λ = λ λ

H×nh häc G(p) p(1-p) k=0,1,2,... k ;

1 p

p

−

2

1 p

p

−

Siªu h×nh

häc H(N,n,p)

k n k

Np N Np

n

N

C C

;k 0,1,..., n

C

−

− = ........ .........

C¸c luËt ph©n bè rêi r¹c kh¸c: ®Òu rêi r¹c, nhÞ thøc ©m,...

1.1.2BiÕn ngÉu nhiªn liªn tôc

Tªn KÝ hiÖu MËt ®é K× väng Ph−¬ng sai

§Òu U([a;b])

1

; a x b

b a

≤ ≤ −

a b

2

+ 2 (b a)

12

−

Mò E(λ ) λ x e− λ

; λ ,x>0 1/ λ 2 1/ λ

Cauchy C( , α β) 2 2 β π /[ (β + (x − α) )] Kh«ng tån t¹i Kh«ng tån

t¹i

ChuÈn N(m, 2 σ )

2

2 2

1 (x m) exp ( 0)

2 2

⎧ ⎫ ⎪ ⎪ − ⎨ ⎬ − σ >

πσ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ σ

m 2 σ

Gamma Γ λ (r, ) r 1 x ( x) e ; ,r, x 0

(r)

λ − −λ λ λ >

Γ

r

λ 2

r

λ

Khi b×nh

ph−¬ng

2 χ (n) n x n 1

x 2 2 2 e /(2 (n / 2); x 0, n 1, 2,... − −

Γ > = n 2n

Student T(n) ((n 1)/ 2))

n (n / 2)

Γ +

πΓ

2 x (n 1)/ 2 (1 )

n

− + + 0

n

n 2 −

Fisher￾Snecdecor F(n,m)

n 2 n m

Bx 2 (m nx) ;

− + −

+ 2 m, n, x > 0 .......... ..........

Weibul W(α λ, ) 1 x x e ; , , x 0

λ λ− −α αλ α λ >

1

(1 1/ ) −

α Γλ + λ ..........

L«ga chuÈn

2 LN(m,σ )

2

1

2 2

1 (ln x m) x exp ; , x 0

2 2

− ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ − ⎨− ⎬ σ >

πσ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ σ

exp

2

m

2

⎧ ⎫ ⎪ ⎪ σ ⎨ ⎬ +

⎪ ⎪ ⎩ ⎭

……

Rayleigh

2 2 (x a) / b (x a)e , x a

b

− − − ≥ b

a

4

π

+

4 b

4

− π

http://www.ebook.edu.vn

L−u ý: víi u>0 – hµm Gamma. u 1 t

o (u) t e dt

∞ − − Γ = ∫

TÝnh chÊt: Γ+= (u 1) uΓ(u); Γ(n) = − (n 1)! ; Γ(1/ 2) = π .

C¸c luËt ph©n bè liªn tôc kh¸c: Bª ta, tam gi¸c,...

BiÕn ngÉu nhiªn chuÈn rÊt quan träng ta dµnh ra 1 phÇn riªng.

§.1.2. BiÕn ngÉu nhiªn chuÈn

1.2.1.TÝnh chÊt hµm mËt ®é . f(x) =

2

2 2

1 (x m) exp ( 0)

2 2

⎧ ⎫ ⎪ ⎪ − ⎨ ⎬ − σ >

πσ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ σ

+Hµm mËt ®é x¸c ®Þnh trªn ¡ ;

+f(x) > 0: §å thÞ n»m trªn trôc hoµnh;

+Trôc Ox lµ tiÖm cËn ngang;

+Gi¸ trÞ cùc ®¹i 2

1

2πσ

, ®¹t ®−îc t¹i x = m;

+§å thÞ ®èi xøng qua ®−êng th¼ng x=m, cã d¹ng h×nh chu«ng (H×nh 1.1).

H×nh 1.1. §å thÞ hµm mËt ®é cña ph©n bè chuÈn.

2

1

2πσ

O m x

1.2.2.C¸c tham sè ®Æc tr−ng 2

E[X] m;

D[X] .

⎧ = ⎪

⎨

⎪⎩ = σ

(1.1)

Nh− vËy nhËn thÊy r»ng, chØ cÇn biÕt k× väng vµ ph−¬ng sai lµ cã thÓ biÕt

mËt ®é f(x) vµ do ®ã hoµn toµn biÕt vÒ ph©n bè chuÈn. Cßn cã thÓ tÝnh ®−îc

+§é chÖch Skew(X) =

3

3

E[(X − EX) ]

σ

= 0;

+§é nhän Kurt(X) =

4

4

E[(X − EX) ]

σ

- 3 = 0. (1.2)

1.2. 3.Bnn chuÈn ho¸ (chuÈn t¾c).

X ®−îc gäi lµ biÕn nn chuÈn t¾c nÕu X ∼ N(0,1).Hµm mËt ®é cña nã cho bëi

8

http://www.ebook.edu.vn

2

x

2 1 (x) e

2

−

ϕ =

π

. (1.3)

§Æc ®iÓm : -Gi¸ trÞ cña ϕ(x)®−îc lËp b¶ng víi x∈{0;4];

-§å thÞ ®èi xøng qua trôc tung;

-Hµm ph©n bè t−¬ng øng

2

t x

2 1 F(x) e dt

2

−

−∞

= π

∫ (1,4)

còng ®−îc lËp b¶ng. Tuy nhiªn, ®Ó tiÕt kiÖm b¶ng, thay cho F(x), ng−êi ta lËp

b¶ng gi¸ trÞ cña hµm Laplace:

2

t x

2

0

1 (x) e dt, 2

−

Φ =

π

∫ x∈[0; 3]. (1.5)

Víi x > 3, coi Φ (x)≈

1

2

.

H×nh 1.2. §å thÞ hµm mËt ®é chuÈn ho¸ (a) vµ ®å thÞ hµm Laplace (b).

Khi cÇn tÝnh F(x) qua Φ (x) hay ng−îc l¹i, dïng c«ng thøc :

F(x) = 1

2

+ Φ (x). (1,6)

C«ng thøc sau rÊt cã Ých ®Ó tÝnh x¸c suÊt X n»m trªn ®o¹n nµo ®ã:

P X{ ∈ = [ ] a;b } Φ(b) − Φ(a). (1,7)

1.2.4.BiÕn ®æi tuyÕn tÝnh bnn chuÈn.

+Cho X ∼ N(m, ) Y= a X+b cã ph©n bè chuÈn. 2 σ ⇒ ∀a,b∈¡ ,

Tõ ®ã dÔ thÊy aX+b ∼ N(am+b, 2 2 a σ ).

+HÖ qu¶. X∼ 2 X m N(m, ) U − σ ⇒ = σ ∼ N(0,1). (1.8)

9

http://www.ebook.edu.vn

HÖ qu¶ nµy cho ta ph−¬ng ph¸p thuËn lîi ®Ó tÝnhP X{ ∈[a;b]} :

P X{ ∈[a;b]}=P⎧ ⎫ a m− − X m b − m ⎨ ⎬ ≤ ≤ ⎩ ⎭ σ σ σ

b m a m ( ) ( ). − − = Φ − Φ

σ σ

(1.9)

1.2.5.Ph©n vÞ .Ph©n vÞ chuÈn møc α , kÝ hiÖu Uα , lµ gi¸ trÞ x¸c ®Þnh bëi

P U{ > Uα} = α , víi U ∼ N(0,1)

2

t

2

U

1 e dt

2

+∞ −

α

⇔ = α

π

∫ . (1.10)

H×nh 1.3. Ph©n vÞ chuÈn møc α .

TÝnh chÊt: U1−α = −Uα . (1.11)

Mét sè gi¸ trÞ ®Æc biÖt: (1.12)

0,10 0,025

0,05 0,01

U 1,280; U 1,960;

U 1,645; U 2,326.

⎧ = = ⎪

⎨

⎪ = = ⎩

L−u ý: NhiÒu tµi liÖu kh«ng lËp b¶ng cña Uα mµ lËp b¶ng cña p hoÆc α uα

víi

P U{ < pα} = α; P U{ < uα} = α .

1.2. 6. Sai sè trung gian, d¹ng mËt ®é chuÈn dïng trong ph¸o binh.

Cho X ∼ ( , U 2 N m,σ ) α lµ ph©n vÞ chuÈn møc α, ®Æt

L = σU0,25 = 0,6745σ ;

U / 2 0,4769. ρ = 0,25 = (1.13)

Chóng ta cã thÓ viÕt l¹i hµm mËt ®é cña X d−íi d¹ng

( ) 2 2 (x m) /L f x e

L

−ρ − ρ 2

= π . (1.14)

Râ rµng lµ , nÕu m = 0 th×

P{ } − L< X < L = 0,5 . (1.15)

10

http://www.ebook.edu.vn

Nh− vËy nÕu quan s¸t BNN chuÈn quy t©m nhiÒu lÇn th× cã kho¶ng 50% sè

lÇn BNN ®ã r¬i vµo kho¶ng (-L;L). ChÝnh v× thÕ, L ®−îc gäi lµ sai sè trung gian,

nã tØ lÖ víi ®é lÖch chuÈn. D¹ng mËt ®é (1.14) cña ph©n bè chuÈn hay ®−îc dïng

trong ph¸o binh.

1.2.7.Quy t¾c 2σ,3σ.

Cho X ∼ N(m, ), theo c«ng thøc (1.9) ta cã 2 σ

{ } X m P X m P⎧ ε − ε ⎫ − < ε = ⎨− < < ⎬ ⎩ ⎭ σ σ σ

=2 ( )

ε Φ

σ

. (1.16)

Thay ε =1 , σ 2σ,3σ ta ®−îc

P{ X − < m 1σ} = 2Φ(1) = 0,68268 ;

P{ X − < m 2σ} = 2Φ(1) = 0,95450;

P{ X − < m 3σ} = 2Φ(1) = 0,9973. (1.17)

C¸c x¸c suÊt 0,9545; 0,9973 lµ c¸c x¸c suÊt rÊt lín. Theo nguyªn lÝ x¸c suÊt

lín ta cã quy t¾c 2σ,(3σ) sau ®©y:

Quy t¾c.NÕu BNN cã ph©n bè chuÈn th× hÇu nh− ch¾c ch¾n (®é tin cËy trªn

95%(trªn 99%)), BNN chØ sai lÖch víi gi¸ trÞ trung b×nh cu¶ nã mét l−îng kh«ng

qu¸ 2σ(3σ)).

1.2.8.TÝnh phæ cËp cña ph©n bè chuÈn. Thùc tÕ chóng ta rÊt hay gÆp ph©n bè

chuÈn. Së dÜ nh− vËy v× x¶y ra §Þnh lÝ giíi h¹n trung t©m sau ®©y (xem môc

3.5.2d):

NÕu bnn X lµ kÕt qu¶ cña rÊt nhiÒu nguyªn nh©n, mçi nguyªn nh©n chØ cã

vai trß kh«ng ®¸ng kÓ ®Õn kÕt qu¶ cuèi cïng th× X cã ph©n bè rÊt gÇn ph©n bè

chuÈn.

§1.3.VÐc t¬ ngÉu nhiªn chuÈn.

1.3.1.VÐc t¬ k× väng, ma trËn t−¬ng quan, ma trËn hÖ sè t−¬ng quan

a)Tr−êng hîp 2 biÕn. XÐt 2 BNN X, Y b×nh ph−¬ng kh¶ tÝch. M« men t−¬ng

quan (gèc) cña X vµ Y, kÝ hiÖu , x¸c ®Þnh theo c«ng thøc RXY

R E XY = [XY].

HiÖp ph−¬ng sai cña X vµ Y, kÝ hiÖu Cov(X,Y) x¸c ®Þnh bëi

Cov(X,Y) = − E[(X EX)(Y − EY)].

Hai BNN X vµ Y ®−îc gäi lµ kh«ng t−¬ng quan nÕu

Cov(X,Y) = − E[(X EX)(Y − EY)] = 0.

§iÒu nµy t−¬ng ®−¬ng víi

E[XY] = E[X] E[Y].

Tr¸i l¹i, nÕu ®¼ng thøc kh«ng x¶y ra, X vµ Y ®−îc gäi lµ kh«ng t−¬ng quan.

11

http://www.ebook.edu.vn

NÕu X vµ Y ®éc lËp th× chóng kh«ng t−¬ng quan. Ng−îc l¹i kh«ng ®óng:

Tån t¹i nh÷ng BNN X vµ Y kh«ng t−¬ng quan, song chóng kh«ng ®éc lËp.

§èi víi 2 BNN chuÈn X, Yth× X vµ Y ®éc lËp ⇔ X vµ Y kh«ng t−¬ng quan.

b) Tr−êng hîp t«ng qu¸t.

Cho lµ VTNN víi c¸c thµnh phÇn lµ nh÷ng BNN

b×nh ph−¬ng kh¶ tÝch. §Æt

1

T

1 n

n

X

X ... (X ,...,X )

X

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

⎞

⎟

⎟

⎟

⎠

1 1

n n

E[X ] m

m E[X] ... ...

E[X ] m

⎛ ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ = = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝

- vÐc t¬ k× väng;

Ma trËn t−¬ng quan cña X cho bëi

R ( = = Rij) ( E[Xi

Xj

] ).

Râ rµng . 2 R E ii i = [X ]

Ma trËn hiÖp ph−¬ng sai cña X cho bëi

ij Σ = (Σ ) = Cov(X) = E[(X-m) . (1.18) T (X − m) ]

L−u ý:

2 2

i i D[X i i ii σ = ] = E[(X − m ) ] = Σ

j

- ph−¬ng sai cña . Xi

Σij= - hiÖp ph−¬ng sai cña . E i i j j i [X − − m )(X m )] = Cov(X ,X ) X ,i j X

i j i i j j

ij

i j i j

Cov(X ,X ) E[(X m )(X m )]

D[X ]D[X ] D[X ]D[X ]

− − ρ = = - hÖ sè t−¬ng quan cña . X ,i j X

R -ma trËn c¸c hÖ sè t−¬ng quan. ij = ρ( )

c)TÝnh chÊt 1) ij ρ ≤1,∀i, j. (1.19)

2) NÕu c¸c thµnh phÇn X1 ®éc lËp th× kh«ng t−¬ng

quan vµ R= –ma trËn chÐo,

n j ,...,X X ,i X

ij (R ) ij (ρ )-ma trËn ®¬n vÞ . Ng−îc l¹i kh«ng ®óng.

3)Σ vµ R ®èi xøng , x¸c ®Þnh kh«ng ©m.

1.3.2. VTNN chuÈn, c¸c tÝnh chÊt quan träng.

VTNN X= ®−îc gäi lµ VTNN chuÈn ( X gäi lµ cã ph©n bè

chuÈn trong

T

1 n (X ,...,X )

n ¡ ) nÕu tæ hîp tuyÕn tÝnh bÊt k× c¸c thµnh phÇn cña nã cã ph©n bè

chuÈn.

12

http://www.ebook.edu.vn

Nãi c¸ch kh¸c,∀u1,...,un, BNN Y= 1 1 n n

u X + ... + u X cã ph©n bè chuÈn.

HÖ qu¶. Tõng thµnh phÇn cña VTNN chuÈn lµ BNN chuÈn.

L−u ý: §iÒu ng−îc l¹i nãi chung kh«ng ®óng: Tõng thµnh phÇn cña VTNN

lµ chuÈn ⇏ chuÈn. T X 1 n = (X ,...,X ) T X 1 n = (X ,...,X )

B©y giê gäi m = E[X] lµ vÐc t¬ k× väng vµ Σ = Cov(X) lµ ma trËn hiÖp

ph−¬ng sai cña X (dÔ thÊy tån t¹i ), ph©n bè chuÈn ®−îc kÝ hiÖu bëi N(m, Σ ).

VTNN chuÈn X cã vÐc t¬ k× väng m vµ ma trËn hiÖp ph−¬ng sai ®−îc kÝ hiÖu

bëi

Σ

X ∼ N(m, Σ ).

+ NÕu ®Þnh thøc cña Σ b»ng 0 th× VTNN chuÈn X ®−îc gäi lµ suy biÕn. §Æt

k R= ang(Σ) (h¹nh cña Σ ), tån t¹i kh«ng gian con k chiÒu cña n ¡ ®Ó chiÕu cña

X trªn kh«ng gian nµy lµ VTNN chuÈn kh«ng suy biÕn.

MÖnh ®Ò- ®Þnh nghÜa. Gi¶ sö X lµ VTNN chuÈn víi ma trËn t−¬ng quanΣ .

NÕu det(Σ ) 0 th× X ®−îc gäi lµ VTNN chuÈn kh«ng suy biÕn vµ mËt ®é cña nã

cho bëi

≠

f(x)= T 1

n / 2 1/ 2

1 1

exp (x m) (x m)

(2 ) (det ) 2

⎧ − ⎫ ⎨− − Σ − ⎬ π Σ ⎩ ⎭ , n

x ∈¡ . (1.20)

Nh− vËy, vÐc t¬ gi¸ trÞ trung b×nh m vµ ma trËn hiÖp ph−¬ng sai hoµn toµn

x¸c ®Þnh ph©n bè chuÈn; c¸c th«ng tin vÒ m« men cÊp cao h¬n lµ kh«ng cÇn thiÕt.

Σ

§Æt

1

n

G .

⎛ ⎞ σ

⎜ ⎟ = ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎝ ⎠ σ

DÔ thÊy 1 G− =

1

n

1/

.

1/

⎛ ⎞ σ

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠ σ

, víi σ =i i D[X ]

L¹i ®Æt ; 1 1 R G G − − = Σ

DÔ thÊy Σ = GRG ; 1 1 1 G R G − − − −1 Σ = ;

11 1n

1

n1 nn

D ....D

1 R .............. det(R) D ....D

−

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

trong ®ã lµ phÇn phô ®¹i sè cña trong ma trËn R. Thay vµo (1.20) ta ®−îc Dij Rij

13

http://www.ebook.edu.vn

f(x) =

n j j i i

ij n / 2 1/ 2

1 n i,j 1 i j

1 1 x m x m

exp D . ... (2 ) (detR) 2 =

⎧ − − ⎫ ⎪ ⎪ ⎨− ⎬

σ σ π ⎪⎩ ⎭ σ σ ⎪ ∑ (1.21)

MÖnh ®Ò . Cho X = T

1 n (X ,...,X ) : N(m,Σ). Khi ®ã lµ c¸c BNN

®éc lËp khi vµ chØ khi kh«ng t−¬ng quan

X1,...,Xn

X1 n ,...,X

( ⇔ Σ lµ ma trËn chÐo:

2

1

2

n

.

⎛ ⎞ σ

⎜ ⎟

Σ = ⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠ σ

)

1.3.3.BiÕn ®æi tuyÕn tÝnh VTNN chuÈn.

MÖnh ®Ò. Cho X ∼ N(m, Σ ), A- ma trËn cÊp k×n tuú ý cßn k b∈¡ bÊt k×.

Khi ®ã VTNN Y=AX+b cã ph©n bè chuÈn trªn k ¡ víi T

E[Y] Am b;

Cov(Y) A A .

⎧ = + ⎪

⎨

⎪⎩ = Σ

HÖ qu¶. Gi¶ sö X∼N(m, Σ ) lµ VTNN chuÈn trong n ¡ . Khi ®ã tån t¹i ma

trËn trùc giao A sao cho

U = A(X-m) : N(0, D)

trong ®ã D lµ ma trËn chÐo, c¸c phÇn tö trªn ®−êng chÐo chÝnh cña nã kh«ng ©m.

NÕu X kh«ng suy biÕn (detΣ ≠ 0 ) th× c¸c phÇn tö trªn ®−êng chÐo chÝnh cña

D d−¬ng.

Chøng minh. Ta chøng minh cho tr−êng hîp detΣ ≠ 0 . Khi ®ã, Σ ®èi xøng,

x¸c ®Þnh d−¬ng, vËy tån t¹i ma trËn trùc giao F cã c¸c vÐc t¬ cét ei

lµ c¸c vÐc t¬

riªng cña Σ víi c¸c gi¸ trÞ riªng λi t−¬ng øng sao cho

D =

1

1 T

n

F F . − −

⎛ ⎞ λ

⎜ ⎟ Σ = ⎜

⎜ ⎟⎟

λ ⎝ ⎠

(1.22)

lµ ma trËn chÐo. V× Σ x¸c ®Þnh d−¬ng nªn c¸c gi¸ trÞ riªng i λ > 0 . §Æt A = 1 F− th×

E[U] = 0 ; Cov(U) = E T T T [F (X − m)(X − = m) F] F ΣF = D. (1.23)

Khi ®ã U lµ VTNN chuÈn, quy t©m, c¸c thµnh phÇn ®éc lËp. ￾

Bëi v× mçi phÐp biÕn ®æi trùc giao chÝnh lµ mét phÐp quay trong n ¡ nªn ta cã

thÓ ph¸t biÓu hÖ qu¶ trªn b»ng lêi nh− sau:

§èi víi mçi VTNN chuÈn, ta cã thÓ dïng mét phÐp quay thÝch hîp ®Ó biÕn

nã thµnh VTNN chuÈn víi c¸c thµnh phÇn ®éc lËp.

1

http://www.ebook.edu.vn

H×nh 1.4.§−êng ®ång møc cña mËt ®é chuÇn 2 chiÒu.

O

x

y

1.3.4. Mét sè BNN liªn quan ®Õn VTNN chuÈn.

MÖnh ®Ò. ®éc lËp cïng ph©n bè chuÈn N(0,1) th× X1,...,Xn

2 2 2 Y X1 n = + ... + X : χ (n). (1.24)

MÖnh ®Ò. U: N(0,1) , V , U, V ®éc lËp th× 2 : χ (n)

U T

V / n = : T(n). (1.25)

MÖnh ®Ò (Fisher). NÕu X = lµ VTNN n chiÒu sao cho c¸c

thµnh phÇn lµ nh÷ng BNN ®éc lËp, cïng ph©n bè chuÈn N(m,

T

1 n (X ,...,X )

2 σ ) th× :

a)

n

i

i 1

1 X X

n =

= ∑ vµ ( ) n 2 2

i

i 1

1 S X

n

X

=

= ∑ − lµ hai BNN ®éc lËp;

b)

2

2 2 n

i 2

2 i 1

X N(m, );

n

nS X X (n 1).

=

⎧ σ ⎪

⎪

⎨

⎪ ⎛ ⎞ − = χ ⎜ ⎟ ⎪ σ σ ⎩ ⎝ ⎠ ∑

:

: −

(1.26)

HÖ qu¶. ®éc lËp cïng ph©n bè chuÈn N(m, X1,...,Xn

2 σ ) th×

n 2

i

i 1

X m

n

1 (X X) n 1 =

−

− − ∑

T = : T(n-1). (1.27)

1.3.5.Mét sè ph©n vÞ kh¸c.

a) . Ph©n vÞ møc α cña ph©n bè “Khi b×nh ph−¬ng” víi n bËc tù do, kÝ

hiÖu lµ χ , lµ gi¸ trÞ x¸c ®Þnh tõ biÓu thøc:

2 (n) χα

2 (n) α

15

http://www.ebook.edu.vn

{ } 2 P X (n) > χα = α, 0 1 < α <

trong ®ã . 2 X ( : χ n)

b) t (n). Ph©n vÞ Student møc α α víi n bËc tù do, kÝ hiÖu lµ , lµ gi¸ trÞ

x¸c ®Þnh tõ biÓu thøc:

t (n) α

P T{ > = tα (n)} α , 0 1 < α <

trong ®ã T: T(n).

TÝnh chÊt: * 1t (n) t (n) −α = − α ;

* t (n) α ≈ Uα víi n > 30.

Ng−êi ta lËp b¶ng gi¸ trÞ cña 2 (n) χα vµ t (n) α víi nh÷ng gi¸ trÞ kh¸c nhau

cña α vµ n.

2 t (n) χα (n) α

H×nh 1.5. Ph©n vÞ cña ph©n bè “Khi b×nh ph−¬ng”(a) vµ cña ph©n bè Student (b).

1.3.5.VÐc t¬ ngÉu nhiªn chuÈn 2 chiÒu.

Cho Z = (X,Y) lµ VTNN chuÈn 2 chiÒu (kh«ng suy biÕn) víi vÐc t¬ k× väng

m = ( ) vµ ma trËn hÖ sè t−¬ng quan . T

m m1, 2

1

R

1

⎛ ⎞ ρ = ⎜

⎝ ⎠ ρ ⎟ Theo c«ng thøc (1.21),

mËt ®é ®ång thêi cña Z cho bëi

f(x,y) =

2 2

1 1 2

2 2 1 1 2 2 1 2

1 1 x m x m x m x m

exp 2

2 1 2(1 )

⎧ ⎫

2

⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ − − − ⎛ − ⎞ − − ⎢ ρ + ⎥ ⎨ ⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

− ρ ⎢ σ σ σ σ ⎥ πσ σ − ρ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦

.(1.28)

DÔ dµng tÝnh ®−îc

E[X1] = m; D[X] = 2 σ1 ;

E[X2 ]= m; D[X] = 2 σ2 ; ρXY = ρ. (1.29)

§Æc biÖt, nÕu X vµ Y ®éc lËp ⇔ ρ = 0 (⇔ X vµ Y kh«ng t−¬ng quan), mËt ®é

®ång thêi cho bëi

16

http://www.ebook.edu.vn

f(x,y) =

2 2

2

1 2 1 2

1 1 x y m

exp 2 2

⎧ ⎡ ⎤⎫ ⎪ ⎛ ⎞ ⎛ − ⎞ ⎪ − + ⎢ ⎥ ⎨ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎬

πσ σ ⎢ σ σ ⎥ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦

. (1.30)

§èi víi m« men bËc cao chóng ta cã kÕt qu¶ quan träng sau ®©y:

NÕu (X, Y) lµ VTNN chuÈn quy t©m th×

2 2 2 2 2 E[X Y ] = E[X ]E[Y ]+ 2E [XY]. (1.31)

B©y giê chän X = Y : N(0, 2 σ )th× 4 E[X ] 3 4 = σ vµ chóng ta nhËn ®−îc c«ng

thøc tÝnh ®é nhän (1.2).

1.3.6. MËt ®é chuÈn 2 chiÒu dïng trong ph¸o binh - ElÝp t¶n m¸t.

§Ó nghiªn cøu møc ®é t¶n m¸t cña ®¹n r¬i trªn mÆt ph¼ng n»m ngang, ng−êi

ta lËp hÖ trôc Oxy víi gèc O trïng víi môc tiªu (®iÓm ng¾m b¾n), trôc Ox lµ

h−íng b¾n. T−¬ng tù nh− (1.13) ®Æt

(1.32) D 1 0,25 1

H 1 0,25 2

L U 0,6745 ;

L U 0,6745 .

⎧ = σ = σ ⎪

⎨

⎪ = σ = σ ⎩

§Þnh luËt t¶n m¸t kh¼ng ®Þnh r»ng, to¹ ®é ®iÓm ®¹n r¬i (X, Y) tu©n theo luËt

chuÈn víi hµm mËt ®é (1.30), m1 = m2 = 0. Cã thÓ viÕt l¹i mËt ®é nµy d−íi d¹ng

2 2

2

2 2

D H D H

x y f (x, y) exp L L L L

⎧ ⎛ ⎞ 2 ⎫ ρ ⎪ ⎪ = −⎨ ρ ⎜ + ⎟ ⎬

π ⎜ ⎟ ⎪⎩ ⎭ ⎝ ⎠ ⎪

(1.33)

trong ®ã LD - sai sè trung gian vÒ tÇm, LH - sai sè trung gian vÒ h−íng .

§èi víi hÇu hÕt c¸c ph¸o th«ng dông, LD lín gÊp 10÷15 lÇn LH.

Elip t¶n m¸t (E) lµ elÝp cã c¸c b¸n trôc 4LD, 4LH (cã tµi liÖu ghi lµ LD, LH).

X¸c suÊt ®Ó ®iÓm ®¹n r¬i (X,Y) n»m ngoµi elip t¶n m¸t rÊt nhá, cã thÓ bá qua:

{ } ( ) ( ) ( )

2 2

2

0,25

X Y

X Y P X,Y E P 4U 0,025

⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

∉ = ⎨ ⎬ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ≥ ≈

⎪ ⎪ ⎝ ⎠ σ σ⎝ ⎠ ⎩ ⎭

. (1.34)

Ng−êi ta chia (E) thµnh c¸c vïng víi tØ lÖ % xÊp xØ ®¹n r¬i vµo (H×nh 1.5);

nhê ®ã cã thÓ tÝnh dÔ dµng x¸c suÊt ®¹n r¬i vµo miÒn G cho tr−íc nµo ®ã.

y

2 2

LD

25 16 7

LH 7 16 25

x

17