19 đề thi cao học (từ năm 1998 đến năm 2003)

§Ò Thi TuyÓn Sinh Sau ®¹i häc n¨m 19981

M´n ß¹i SË

ThÍi gian 180'

C©u 1. Cho (G, ·) lµ mÈt nh„m h˜u h¹n. ßfinh ngh‹a quan h÷ ∼ tr™n G

bÎi:

x ∼ y ⇐⇒ (∃g ∈ G, g−1

xg = y).

VÌi mÁi x ∈ G, ÆÆt Hx = {g ∈ G | g−1xg = x} vµ Ox = {g−1xg | g ∈

G}.

a) Ch¯ng t· ∼ lµ mÈt quan h÷ t­¨ng Æ­¨ng tr™n G.

b) VÌi mÁi tÀp con A cÒa G, k˝ hi÷u |A| lµ sË ph«n tˆ cÒa A. Ch¯ng

t· rªng O1G = {1G}, Hx lµ mÈt nh„m con cÒa G vµ |G| = |Hx| . |Ox| ,

vÌi m‰i x ∈ G.

c) Ch¯ng t· n’u |G| = pn, vÌi p lµ mÈt sË nguy™n tË vµ n lµ sË t˘

nhi™n kh¸c 0, th× tÂn t¹i mÈt ph«n tˆ g ∈ G sao cho gx = xg, ∀x ∈ G.

C©u 2. Gi¶ sˆ Mn(R) lµ vµnh c¸c ma trÀn vu´ng th˘c c p n.

a) Ch¯ng minh rªng, ma trÀn A lµ ­Ìc b™n ph¶i cÒa 0 trong Mn(R)

khi vµ chÿ khi det(A)=0.

b) Cho tÀp hÓp N gÂm t t c¶ c¸c ma trÀn cÒa Mn(R) mµ m‰i ph«n

tˆ tı dflng th¯ hai trÎ Æi Æ“u bªng 0. Ch¯ng minh rªng, N lµ mÈt vµnh

con cÒa Mn(R) vµ m‰i ph«n tˆ kh¸c 0 cÒa N Æ“u lµ ­Ìc b™n ph¶i cÒa

kh´ng trong N .

c) Ch¯ng minh rªng, trong N tÂn t¹i v´ sË Æ¨n vfi tr¸i.

C©u 3. Cho A lµ mÈt ma trÀn m hµng vµ n cÈt vÌi c¸c ph«n tˆ thuÈc

tr­Íng K. H¹ng cÒa A k˝ hi÷u lµ rA, Æ­Óc Æfinh ngh‹a lµ c p cao nh t

cÒa c¸c Æfinh th¯c con kh¸c 0 cÒa A.

a) Ch¯ng minh rªng, rA bªng sË c˘c ƹi c¸c vector cÈt ÆÈc lÀp tuy’n

t›nh cÒa A.

b) Cho h÷ ph­¨ng tr×nh tuy’n t›nh

A





x1

.

.

.

xn



 =





b1

.

.

.

bn



 , bi ∈ K (∗).

1Send from ROBINHOOD - Typeset By PCTEXv.5

1