Các phép biến hình trong giải toán hình học phổ thông.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG



PHAN THỊ THANH PHƯỢNG

CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG GIẢI

TOÁN HÌNH HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.0113

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2014

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS.Nguyễn Ngọc Châu

Phản biện 1: Lương Quốc Tuyển

Phản biện 2: Trần Đạo Dõng

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt

nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 14

tháng 06 năm 2014.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

 Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

 Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Sơ lược về lịch sử Hình học

Cùng với Số học, Hình học là một trong hai nhánh lâu đời

nhất của lịch sử phát triển Toán học. Hình học cổ điển tập trung chủ

yếu vào việc tạo hình, bước đầu phát triển mạnh mẽ bởi người Ai

cập cổ đại và người Babylon cổ đại. Thậm chí họ còn biết công thức

Pythagore trước Pythagore 1500 năm, hay có thể tính bằng công thức

một cách chính xác thể tích của một hình chóp. Các thành tựu ban

đầu đó về sau đã được ghi chép và lưu trữ cho tới tận ngày nay.

Những đóng góp lớn lao có được còn phải kể đến công của Thales,

Pythagore và Euclid. Thales đã nghĩ ra ý tưởng tài tình đo chiều cao

một vật khi mặt trời chiếu chếch một góc sao cho bóng dài bằng vật.

Tuy vậy nếu đo chiều cao Kim tự tháp, lúc bóng dài với vật thì cái

bóng quá dài, ông đã cải tiến bằng cách đo chiều cao dựa trên tỉ lệ cái

bóng với chiều dài thực của một vật, do đó chỉ cần đo cái bóng ngắn

là có thể tính được chiều cao. Từ đó, Định lý Thales trứ danh “Các

đường thẳng song song chắn trên những đường thẳng khác thành các

đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ” đã ra đời. Sau Thales là Pythagore, người

đã chứng minh được công thức mang tên mình. Chú ý rằng dù công

thức tính bình phương cạnh huyền của một tam giác vuông đã có từ

lâu đời nhưng Pythagore mới là người đầu tiên chứng minh được

công thức ấy. Đến thế kỉ thứ III TCN, hình học đã được cách mạng

hóa bởi nhà toán học Hy Lạp là Euclid. Ông đã tổng hợp các công

trình của những người đi trước trong tác phẩm “Nguyên lý” (có nơi

dịch là “Căn bản”, tiếng Anh của tác phẩm là “Elements”, nghĩa là

“Các thành tố”) , hệ thống lại toàn bộ kiến thức, ghi chép các định lý

2

và các chứng minh, bổ sung các chứng minh còn thiếu dựa trên 5 tiên

đề mà trong đó tiên đề cơ bản và nổi tiếng nhất mang tên ông là tiên

đề Euclid: “Qua một điểm ngoài một đường thẳng, chỉ có thể kẻ

được duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đó”.

Tiên đề này đến nay vẫn chưa chứng minh được và dựa trên nó, một

hệ hình học hoàn chỉnh đã được phát triển, chính là hình học Euclid

quen thuộc sau này. Trong loại hình học này, Phép biến hình là một

phần quan trọng của hình học sơ cấp, là công cụ đắc lực, hiệu quả để

nghiên cứu các hình và các quan hệ hình học. Nó đóng vai trò giúp ta

hiểu rõ hơn về Hình học và giải quyết được nhiều bài toán một cách

đơn giản so với cách tiếp cận thông thường.

2. Lí do chọn đề tài

Việc dạy và học Hình học nói chung và Phép biến hình nói

riêng ở phổ thông là rất cần thiết, không chỉ cung cấp cho học sinh

hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học mà còn còn rèn luyện cho học

sinh đức tính, phẩm chất của một người có tính cẩn thận, chính xác,

có tính kỉ luật, tính sáng tạo, và cả được bồi dưỡng óc thẩm mĩ. Hiện

nay trong chương trình THPT, phép biến hình được đưa vào giảng

dạy ở hai khối lớp là 11 và 12. Đây là một môn học hay nhưng khá

khó và trừu tượng đối với học sinh. Chương trình đào tạo và sách

giáo khoa hình học cũng có nêu một vài ứng dụng của phép biến

hình, tuy nhiên vẫn còn rất ít, hơn nữa chưa định hướng rõ cách tiếp

cận việc ứng dụng của phép biến hình trong giải toán hình học.

Nhằm tìm hiểu để hệ thống một tài liệu tham khảo tốt cho

học sinh phổ thông khi học các phép biến hình cùng những ứng dụng

của nó, tôi chọn đề tài luận văn Thạc sĩ của mình là: “Các phép biến

hình trong giải toán hình học phổ thông”.

3

3. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu

- Các phép biến hình trong hình học cùng những tính chất liên quan.

- Hệ thống và phân loại một số lớp bài toán giải được bằng phép biến

hình.

- Cách tiếp cận và quy trình giải cho từng dạng toán.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Các phép biến hình trong chương trình hình học phổ thông.

- Các lớp bài toán hình học giải được bằng phép biến hình.

- Quy trình về cách tiếp cận việc ứng dụng phép biến hình để giải

toán.

5. Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập các tài liệu về phép biến hình như sách giáo khoa, sách

giáo viên, các tài liệu chuyên đề về phép biến hình, …

- Đọc, phân tích, tổng hợp các tài liệu để hệ thống và phân loại các

dạng toán giải được bằng các phép biến hình.

- Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của người hướng dẫn để thực

hiện đề tài.

6. Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung của luận văn được

chia thành hai chương:

Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG HÌNH HỌC PHỔ

THÔNG.

Chương 2: ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN HÌNH ĐỂ GIẢI TOÁN

HÌNH HỌC SƠ CẤP.

4

CHƯƠNG 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG HÌNH HỌC

PHỔ THÔNG

Chương này trình bày sơ lượt về các phép biến hình, phép dời

hình, phép vị tự, phép đồng dạng và phép nghịch đảo, để làm cơ sở

cho chương sau.

1.1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÉP BIẾN HÌNH

1.1.1. Khái niệm phép biến hình

Định nghĩa 1.1. Ta kí hiệu tập hợp tất cả các điểm của mặt

phẳng (hay không gian) là T . Một song ánh từ T lên chính nó được

gọi là phép biến hình trong mặt phẳng (hay không gian).

Nói cách khác, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M trong mặt

phẳng (hay không gian) với một điểm xác định duy nhất M’ trong

mặt phẳng (hay không gian) đó được gọi là phép biến hình trong mặt

phẳng (hay không gian).

Nếu kí hiệu phép biến hình là f thì ta viết f   M M ' hay

M '  f M  và gọi điểm M ' là ảnh của điểm M qua phép biến

hình f .

Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng (hay không

gian) thì ta kí hiệu H H '  f   là tập các điểm M '  f M  , với mọi

điểm M thuộc H . Khi đó ta nói f biến hình H thành hình H' ,

hay hình H' là ảnh của hình H qua phép biến hình f .

Định nghĩa 1.2. Một điểm M thuộc T được gọi là điểm bất

động (hoặc là điểm kép) đối với phép biến hình f nếu f(M) = M.

Định nghĩa 1.3. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc T

thành chính nó được gọi là phép biến hình đồng nhất, kí hiệu là Id .

Định nghĩa 1.4. Cho phép biến hình f , song ánh ngược 1 f 

5

của f cũng là phép biến hình, và gọi là phép biến hình đảo ngược

của f .

Định nghĩa 1.5 Một phép biến hình f gọi là có tính đối hợp

nếu nó có phép đảo ngược trùng với chính nó, nghĩa là f là phép

biến hình có tính đối hợp nếu và chỉ nếu

1 f f   .

1.1.2. Một số phép biến hình trong chương trình hình học

phổ thông

Trong không gian Euclid, có những phép biến hình giữ

nguyên được khoảng cách của các điểm trên Hình (phép dời hình),

và những phép biến hình không giữ nguyên được các khoảng cách

này (phép đồng dạng, phép nghịch đảo). Luận văn này sẽ trình bày

cả hai loại phép biến hình đó.

1.1.3. Tích của hai phép biến hình

Định nghĩa 1.6. Trong hình học ta thường phải thực hiện nhiều

phép biến hình liên tiếp nhau. Nếu thực hiện phép biến hình

1f : T T  để biến một điểm M bất kì của tập T thành một điểm

M’, sau đó thực hiện phép biến hình thứ hai 2f : T T  để biến M’

thành M’’, nghĩa là M f '  1 M  và M f '' '  2 M . Khi đó phép

biến hình f biến M thành M’’ gọi là tích (hay hợp thành) của hai

phép biến hình 1f và 2f , và kí hiệu 2 1 fff   . Ta có:

f      M f f M f fM fM M    2 1 21 2     ( ') ''   

1.2. PHÉP DỜI HÌNH

1.2.1. Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 1.7. Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn

khoảng cách giữa 2 điểm bất kì. Nghĩa là với phép dời hình f và

hai điểm A, B bất kì trong không gian, ta có: f  A A   ' và

f B B   ' thì AB = A’B’,  A, B..

Mệnh đề 1.1. Nếu phép dời hình f có ba điểm bất động không

6

thẳng hàng thì f là phép biến hình đồng nhất.

Định lý 1.1. Tích của hai phép dời hình là một phép dời hình.

Định nghĩa 1.8. Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một

phép dời hình biến hình này thành hình kia.

1.2.2. Một số phép dời hình cơ bản

a) Phép tịnh tiến:

Định nghĩa 1.9. Trong mặt phẳng (hay không gian), cho vectơ

v



. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho

MM v '    được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v



.

Phép tịnh tiến theo vectơ v



thường được kí hiệu là v T , như

vậy () ' ' v T M M MM v      .

Vectơ v

 được gọi là vectơ tịnh tiến. Phép tịnh tiến theo

vectơ 0



chính là phép biến hình đồng nhất.

Định lý 1.2. Tích hai phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến.

b) Phép đối xứng trục:

Định nghĩa 1.10. Trong mặt phẳng (hay không gian) cho đường

thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó,

biến mỗi điểm M trong mặt phẳng (hay không gian) không thuộc d

thành M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’ được

gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d.

Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là Đd.

c) Phép đối xứng qua mặt phẳng trong không gian:

Định nghĩa 1.11. Trong không gian, cho mặt phẳng (P). Phép

biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho (P) là mặt phẳng

trung trực của đoạn MM’ gọi là phép đối xứng qua mặt phẳng (P), kí

hiệu là Đ(P). Mặt phẳng (P) gọi là mặt phẳng đối xứng.

Định lý 1.3

1. Trong không gian, tích của hai phép đối xứng qua hai mặt

7

phẳng (P), (Q) song song với nhau là phép tịnh tiến theo vectơ 2v



,

với v



là vectơ dời từ mặt phẳng (P) đến mặt phẳng (Q).

2. Trong không gian, tích của hai phép đối xứng qua hai mặt

phẳng cắt nhau và vuông góc với nhau là một phép đối xứng trục qua

giao tuyến của hai mặt phẳng.

d) Phép đối xứng tâm:

Định nghĩa 1.12. Trong mặt phẳng (hay không gian), cho điểm

I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M

khác điểm I thành M’ sao cho I là trung điểm đoạn thẳng MM’,

được gọi là phép đối xứng tâm I. Điểm I được gọi là tâm đối xứng.

Phép đối xứng tâm I thường được kí hiệu là ĐI.

Định lý 1.4

1. Tích của hai phép đối xứng tâm là một phép tịnh tiến.

2. Tích của ba phép đối xứng tâm với ba tâm đối xứng phân

biệt là một phép đối xứng tâm.

3. Tích của một phép đối xứng tâm và một phép tịnh tiến là

một phép đối xứng tâm.

4. Tích hai phép đối xứng trục có trục vuông góc là phép đối

xứng tâm, tâm là giao hai trục.

5. Trong không gian, tích của hai phép đối xứng qua hai

đường thẳng cắt và vuông góc với nhau là một phép đối xứng tâm

qua giao điểm của hai đường thẳng.

e) Phép quay trong mặt phẳng:

Định nghĩa 1.13. Trong một mặt phẳng định hướng, cho điểm

O cố định và góc định hướng  . Phép biến hình biến mỗi điểm M

thành điểm M’ sao cho OM’ = OM và (OM



, OM ' 

) =  được gọi

là phép quay tâm O góc  , thường được kí hiệu Q(,) O  .

Điểm O được gọi là tâm quay còn  được gọi là góc quay

8

của phép quay đó.

Trong định nghĩa trên ta kí hiệu (OM



, OM ' 

) là góc định

hướng với tia ban đầu là OM và tia cuối là OM’.

Phép Q( ,2) O k  là phép biến hình đồng nhất. Phép Q( ,(2 1) ) O k  

là phép đối xứng tâm O.

Định lý 1.5

1. Tích của hai phép quay là một phép quay.

2. Trong mặt phẳng, tích của hai phép đối xứng trục d và d’

cắt nhau tại O là phép quay Q( ,2 ) O  với α = (d, d’).

f) Phép quay xung quanh một trục trong không gian:

Định nghĩa 1.14. Trong không gian, cho đường thẳng d định

hướng và góc định hướng α. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành

M’ sao cho M, M’ thuộc mặt phẳng định hướng vuông góc với d tại

O, OM = OM’ và (OM , OM’) = α là phép quay quanh trục d góc

quay α. Kí hiệu Q(d, α).

Định lý 1.6. Trong không gian, tích của hai phép đối xứng qua

mặt phẳng (P), (Q) cắt nhau theo giao tuyến d là phép quay Q(d, 2α) ,

với α là góc của hai mặt phẳng (P) và (Q).

1.3. PHÉP VỊ TỰ

1.3.1. Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 1.15. Trong mặt phẳng (hay không gian), cho điểm

O cố định và một số k ≠ 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành

điểm M’ sao cho OM k OM ' .   

gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k, và

kí hiệu là V(O, k).

Định lý 1.7

1. Tích của hai phép vị tự là một phép vị tự.

2. Tích của một phép vị tự V(O, k) (với k ≠ 0 và k ≠ 1) và một

phép tịnh tiến v T (với v



≠ 0



) là một phép vị tự.

9

1.3.2. Tâm vị tự của hai đường tròn

1.4. PHÉP ĐỒNG DẠNG

1.4.1. Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 1.16. Phép biến hình f được gọi là phép đồng dạng

tỉ số k ( k  0 ), nếu với hai điểm M, N bất kì và M’, N’ là ảnh tương

ứng của chúng, ta luôn có M’N’ = k.MN.

Định nghĩa 1.17. Hai hình gọi là đồng dạng nhau nếu có phép

đồng dạng biến hình này thành hình kia.

1.4.2. Mối quan hệ giữa phép đồng dạng, phép vị tự và phép

dời hình

Định lý 1.8. Mọi phép đồng dạng f tỉ số k đều là hợp thành

của một phép vị tự V tỉ số k và một phép dời hình D.

Định lý 1.9. Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số k .

1.5. PHÉP NGHỊCH ĐẢO

Định nghĩa 1.18. Cho điểm O và số thực k khác 0, với mỗi

điểm M khác O ta dựng điểm M’ trên đường thẳng OM sao cho

OM OM k . '  , khi đó ta nói M’ là ảnh của điểm M trong phép

nghịch đảo tâm O, phương tích k (hoặc hệ số k ).

Ta kí hiệu phép nghịch đảo tâm O, phương tích k biến điểm

M thành điểm M’ là ( ,)() ' O k I M M .

Định lý 1.10. Nếu A’, B’ là ảnh của A, B trong phép nghịch đảo

( ,) O k I thì A’B’ = AB, trong đó   k OA OB . .

Định lý 1.1. Tích của một phép nghịch đảo tâm O, phương tích

k với một phép vị tự tâm O tỉ số  là một phép nghịch đảo tâm O

phương tích k.