Các phép biến đổi đồng dạng và ứng dụng vào giải toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

HOÀNG THỊ HẢI PHƯƠNG

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG

VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2013

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG

Phản biện 1: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Phản biện 2: GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ

khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 25 tháng 5 năm 2013.

* Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Trong chương trình Hình học ở bậc Trung học Phổ thông (THPT)

chúng ta đã biết đến các phép biến hình. Tuy nhiên, việc hiểu và áp dụng

các phép biến hình này, đặc biệt là phép vị tự, phép biến đổi đồng dạng

của không gian Euclid thông thường hai, ba chiều thường khiến cho học

sinh gặp khó khăn.

Với sự định hướng của PGS.TS. Trần Đạo Dõng, tôi chọn đề tài

“CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG VÀ ỨNG DỤNG VÀO

GIẢI TOÁN SƠ CẤP” làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình.

Trong luận văn này, trước hết chúng tôi giới thiệu về phép biến

hình, hệ thống kiến thức về các phép dời hình và phép vị tự, các phép

biến đổi đồng dạng của không gian Euclid thông thường hai, ba chiều

(cụ thể trong chương trình toán bậc THPT). Tiếp đó, tìm hiểu ứng dụng

của phép vị tự, phép biến đổi đồng dạng trong mặt phẳng và không gian

để giải một số dạng toán cơ bản trong hình học có liên quan, cũng như

tìm phương pháp giải cho từng dạng cụ thể.

2. Mục đích nghiên cứu

- Khai thác phép vị tự, phép biến đổi đồng dạng trong mặt phẳng

và không gian để khảo sát một số chủ đề trong hình học, nhằm góp phần

nâng cao hiệu quả và chất lượng dạy học bộ môn Toán trong chương

trình THPT.

- Bổ sung một số kiến thức về phép vị tự, phép biến đổi đồng dạng

cho học sinh nhằm giúp các em phát triển tư duy hình học nói riêng và

2

tư duy Toán học nói chung, rèn luyện kĩ năng vận dụng linh hoạt các

phép biến hình này vào việc giải quyết các bài toán hình học.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Khai thác phép vị tự, phép biến đổi đồng dạng trong mặt phẳng và

không gian để giải các dạng bài toán cơ bản trong hình học như: bài toán

chứng minh, bài toán tính các đại lượng hình học, bài toán quỹ tích, bài

toán dựng hình.

4. Phương pháp nghiên cứu

- Tham khảo tài liệu về phép vị tự và phép biến đổi đồng dạng

trong mặt phẳng, trong không gian và hệ thống các kiến thức liên quan.

- Trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

- Góp phần làm tài liệu tham khảo cho sinh viên khoa Toán, giáo

viên dạy Toán cũng như học sinh đang học ở bậc THPT.

- Góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học một số chủ đề cơ bản

trong hình học thuộc chương trình Toán bậc THPT.

- Phát huy tính tự học và sáng tạo của học sinh.

- Giúp sinh viên có một cách nhìn khái quát về hình học và các

phép biến hình đã được học ở bậc THPT.

6. Cấu trúc luận văn

Nội dung của luận văn ngoài phần mở đầu và phần kết luận gồm

có 2 chương:

3

Chương 1. Các kiến thức cơ sở

Chương này trình bày lý thuyết về phép biến hình, các phép dời

hình và nghiên cứu về phép vị tự, phép biến đổi đồng dạng trong mặt

phẳng, trong không gian và các kiến thức liên quan trực tiếp đến việc

nghiên cứu của chương tiếp theo.

Chương 2. Ứng dụng các phép biến đổi đồng dạng vào giải toán sơ

cấp

Chương này trình bày ứng dụng của phép vị tự, phép biến đổi

đồng dạng vào giải toán sơ cấp như bài toán chứng minh, bài toán tính

các đại lượng hình học, bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình.

4

CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1. PHÉP BIẾN HÌNH

1.1.1. Định nghĩa

Định nghĩa 1.1. Phép biến hình của mặt phẳng (hay không gian) là

một song ánh từ tập hợp các điểm của mặt phẳng (hay không gian) lên

chính nó. Nói cách khác, cho một phép biến hình f tức là cho một quy

tắc tương ứng với mỗi điểm M của mặt phẳng (hay không gian) một

điểm duy nhất M’ thuộc mặt phẳng (hay không gian) đó, sao cho:

- Với mỗi điểm M’ thuộc mặt phẳng (hay không gian), tồn tại một

điểm M thuộc mặt phẳng (hay không gian) đó sao cho M' = f(M).

- Với hai điểm phân biệt tùy ý M, N của mặt phẳng (hay không

gian), thì M' = f(M) và N' = f(N) là hai điểm phân biệt.

Khi đó M' = f(M) được gọi là ảnh của điểm M và điểm M được gọi

là tạo ảnh của điểm M’ qua phép biến hình f .

Nếu H là một hình nào đó của mặt phẳng (hay không gian), tập

hợp f (H) gồm tất cả các phần tử ảnh của mọi điểm M thuộc hình H

được gọi là ảnh của hình H qua phép biến hình f . Khi đó, H được gọi là

tạo ảnh của hình f (H) qua phép biến hình f .

1.1.2. Điểm kép của phép biến hình

1.1.3. Phép biến hình đảo ngược

1.1.4. Tích của các phép biến hình

5

1.2. CÁC PHÉP DỜI HÌNH

1.2.1. Định nghĩa phép dời hình

Định nghĩa 1.3. Phép dời hình trong mặt phẳng (hay không gian)

là phép biến hình trong mặt phẳng (hay không gian) biến đoạn thẳng MN

thành đoạn thẳng M’N’ sao cho M’N’ = M N.

1.2.2. Tính chất

1.2.3. Các phép dời hình

a) Phép tịnh tiến

b) Phép đối xứng trục

c) Phép đối xứng tâm

d) Phép quay xung quanh một điểm trong mặt phẳng

e) Phép quay xung quanh một trục

f) Phép đối xứng qua mặt phẳng

1.2.4. Phân loại các phép dời hình

a) Định nghĩa chiều của tam giác và chiều của tứ diện

Định nghĩa 1.10. Chiều của tam giác ABC là chiều quay từ A đến

B, tiếp đó đến C.

Để mô tả chiều quay này người ta dựng đường tròn ngoại tiếp tam

giác ABC. Nếu chiều quay của tam giác ABC ngược chiều kim đồng hồ

thì tam giác ABC có chiều thuận (hay chiều dương). Nếu chiều quay của

tam giác ABC cùng chiều kim đồng hồ thì tam giác ABC có chiều nghịch

(hay chiều âm).

6

Định nghĩa 1.11. Tứ diện ABCD được gọi là có chiều dương nếu

trong nửa không gian với biên là mặt phẳng (BCD) chứa đỉnh A, tam

giác BCD có chiều âm. Nếu tam giác BCD xét trong nửa không gian trên

có chiều dương thì tứ diện ABCD có chiều âm.

Bằng trực quan có thể mô tả như sau: Nếu từ đỉnh A nhìn thấy tam

giác BCD có chiều âm thì tứ diện ABCD có chiều dương, ngược lại thì tứ

diện ABCD có chiều âm.

b) Phân loại

Định nghĩa 1.12. Phép dời hình thuận trong mặt phẳng (hay không

gian) là một phép biến hình biến một tam giác (hay tứ diện) thành một

tam giác (hay tứ diện) cùng chiều.

Định nghĩa 1.13. Phép dời hình nghịch trong mặt phẳng (hay

không gian) là một phép biến hình biến một tam giác (hay tứ diện) thành

một tam giác (hay tứ diện) ngược chiều.

1.3. PHÉP VỊ TỰ

1.3.1. Định nghĩa

Định nghĩa 1.14. Trong mặt phẳng (hay không gian) cho một

điểm O cố định và một số k 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành

điểm M’, sao cho

 

OM' = kOM được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k.

Kí hiệu:V(O,k) hoặc k

O V .

Điểm O gọi là tâm vị tự, số k gọi là tỉ số (hay hệ số) vị tự. Phép vị

tự gọi là thuận nếu k > 0, nghịch nếu k < 0.

1.3.2. Tính chất

7

1.3.3. Tâm vị tự của hai đường tròn

1.3.4. Tích của hai phép vị tự

1.4. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG

1.4.1. Định nghĩa

Định nghĩa 1.15. Một phép biến hình trong mặt phẳng (hay trong

không gian) biến cặp điểm A, B thành cặp điểm A’, B’ tương ứng sao

cho A’B’ = kAB (trong đó k là một số thực dương xác định) được gọi là

phép đồng dạng tỉ số k.

Ký hiệu: Zk

.

Số k được gọi là tỉ số (hay hệ số) đồng dạng.

1.4.2. Tính chất

1.4.3. Sự xác định phép đồng dạng

1.4.4. Hai hình đồng dạng

1.4.5. Điểm kép của phép đồng dạng

1.4.6. Liên hệ giữa phép đồng dạng, phép vị tự và phép dời

hình

1.4.7. Phân loại các phép biến đổi đồng dạng

Định nghĩa 1.18. Phép đồng dạng thuận trong mặt phẳng (hay

không gian) là một phép biến hình biến một tam giác (hay tứ diện) thành

một tam giác (hay tứ diện) cùng chiều.

8

Định nghĩa 1.19. Phép đồng dạng nghịch trong mặt phẳng (hay

không gian) là một phép biến hình biến một tam giác (hay tứ diện) thành

một tam giác (hay tứ diện) ngược chiều.

CHƯƠNG 2

ỨNG DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG

VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP

2.1. ỨNG DỤNG PHÉP VỊ TỰ

2.1.1. Bài toán chứng minh các tính chất hình học

a) Bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng

 Định hướng giải

Ta đã biết, theo định nghĩa phép vị tự V( ,k) O biến mỗi điểm M thành

điểm M’ thì OM' = kOM

 

. Hệ thức này chứng tỏ ba điểm O, M, M’ thẳng

hàng. Do đó, nếu đề bài yêu cầu chứng minh ba điểm O, M, M’ thẳng

hàng, chúng ta cần tìm được một phép vị tự có tâm là một trong ba điểm

đó, tỉ số vị tự bằng tỉ số giữa hai đoạn thẳng nối tâm vị tự và hai điểm

còn lại.

Phép vị tự còn có tính chất biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm

thẳng hàng, tích của hai phép vị tự khác tâm là một phép vị tự có tâm

thẳng hàng với tâm của hai phép vị tự đã cho. Do đó, tùy thuộc vào mỗi

bài toán cụ thể chúng ta cũng có thể sử dụng các tính chất này để chứng

minh ba điểm thẳng hàng.

 Một số bài toán minh họa

9

Bài toán 2.1. Cho tam giác nhọn ABC. Trên cạnh AC ta lấy điểm O bất

kì, gọi D là trung điểm của cạnh BC. Gọi B’, C’, D’ lần lượt là điểm đối

xứng của B, C, D qua O. Chứng minh B’, C’, D’ thẳng hàng.

Bài toán 2.2. (Bài toán đường thẳng Ơle) Cho tam giác ABC có trọng

tâm G, trực tâm H và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh G, H,

O thẳng hàng và 1

. 2

GO GH 

Bài toán 2.3.

Bài toán 2.4.

Bài toán 2.5.

 Một số bài toán tham khảo

Bài toán 2.6. Cho tam giác ABC. Đường tròn tâm I nội tiếp của tam

giác tiếp xúc với BC tại M. Gọi N là điểm đối xứng với M qua I, K là

giao điểm của AN với BC. Gọi H là điểm đối xứng với tiếp điểm của (I)

trên AC qua trung điểm cạnh AC, L là điểm đối xứng với tiếp điểm của

(I) trên AB qua trung điểm cạnh AB, P là giao điểm của BH và CL, G là

trọng tâm tam giác MNP. Chứng minh rằng các điểm P, G, I thẳng hàng.

Bài toán 2.7.

Bài toán 2.8.

Bài toán 2.9.

b) Bài toán chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định

 Định hướng giải

10

Chúng ta thường gặp bài toán chứng minh một đường thẳng đi qua

điểm cố định. Đối với dạng toán này chúng ta cần chứng minh đường

thẳng đó đi qua tâm vị tự của hai đường tròn đề cho.

 Một số bài toán minh họa

Bài toán 2.10. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc ngoài với

nhau tại A. Một dây cung MN thay đổi của đường tròn (O;R) luôn đi qua

một điểm B cố định. AM và AN lần lượt cắt (O’;R’) ở M’, N’. Chứng

minh rằng đường thẳng M’N’ luôn đi qua một điểm cố định.

Bài toán 2.11.

 Một số bài toán tham khảo

Bài toán 2.12. Cho hai đường tròn (O1), (O2) có bán kính khác nhau và

nằm ngoài nhau. Một đường tròn (O) tiếp xúc ngoài với (O1), (O2) lần

lượt tại A và B. Trên đường tròn (O) lấy điểm M bất kì (khác A, B).

Đường thẳng MA cắt (O1) lần thứ hai tại M1, đường thẳng MB cắt (O2)

lần thứ hai tại M2. Chứng minh rằng M1M2 luôn đi qua một điểm cố

định.

Bài toán 2.13.

c) Bài toán chứng minh các đường thẳng đồng quy

 Định hướng giải

Chúng ta thường gặp bài toán chứng minh các đường thẳng đồng

quy A B , A B ,...,A B 1 1 2 2 n n . Để giải dạng toán này, chúng ta cần tìm được

một phép vị tự k VO

nào đó biến đa giác A A ...A 1 2 n thành đa giác B B ...B 1 2 n .

11

Khi đó các đường thẳng A B , A B ,...,A B 1 1 2 2 n n cùng đi qua tâm vị tự O. Do

đó chúng đồng quy.

 Một số bài toán minh họa

Bài toán 2.14. Cho một đa giác A A ...A 1 2 n và điểm O. Phép vị tự tâm O,

hệ số k biến A B , A B ,...,A B . 1 1 2 2 n n    Phép tịnh tiến

v

T biến B C , 1 1 

B C ,...,B C . 2 2 n n   Chứng minh rằng các đường thẳng A C ,A C ,...,A C 1 1 2 2 n n

đồng quy.

Bài toán 2.15.

Bài toán 2.16.

Bài toán 2.17.

 Một số bài toán tham khảo

Bài toán 2.18. Cho ABC , gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của BC,

CA, AB. Gọi A B C z 1 1 1 x, y, theo thứ tự là các đường song song với các

đường phân giác trong của các góc A, B, C của ABC . Chứng minh rằng

A B C z 1 1 1 x, y, đồng quy.

Bài toán 2.19.

Bài toán 2.20.

d) Bài toán chứng minh, xác định phép vị tự

 Định hướng giải

Đối với dạng toán này chúng ta sử dụng định nghĩa và các tính

chất của phép vị tự để giải.