Các phép biến đổi trong tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN LÊ THÚY HẰNG

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG TÍCH PHÂN

Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2013

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. CAO VĂN NUÔI

Phản biện 1: PGS.TSKH. TRẦN QUỐC CHIẾN

Phản biện 2: PGS.TS. HUỲNH THẾ PHÙNG

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp

Thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 25 tháng 5

năm 2013.

* Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

Có thể nói tích phân được ra đời từ việc tính công của một

lực biến thiên sinh ra, và người đầu tiên xây dựng việc tính toán

này là nhà bác học Newton.

Phép tính tích phân đã được các nhà bác học sử dụng từ

trước thế kỉ XVIII. Đến thế kỉ XIX, Cauchy (1789 – 1857) và

Riemann (1826 - 1866) mới xây dựng được một lí thuyết chính

xác về tích phân. Lí thuyết này về sau được Lebesgue (1875 –

1941) và Denjoy (1884 - 1974) hoàn thiện.

Khái niệm hiện đại về tích phân, xem như giới hạn của các

tổng tích phân, là của Cauchy và Riemann.

Trong chương trình toán học phổ thông và đại học thì tích

phân chiếm một vị trí quan trọng. Hơn thế, lý thuyết tích phân

còn có rất nhiều ứng dụng trong nhiều ngành khoa học khác và

là công cụ tính toán hữu hiệu trong các ứng dụng thực tế. Vì vậy

tôi chọn đề tài: “Các phép biến đổi trong tích phân”, để làm luận

văn tốt nghiệp bậc cao học của mình.

2. Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của luận văn này là nghiên cứu về mặt lý thuyết

các phép biến đổi trong tích phân, sau đó áp dụng vào trường hợp

tích phân Riemann hiện đang được giảng dạy tại các trường từ

trung học đến đại học.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các phép biến đổi trong tích phân hiện đang

được giảng dạy tại các trường từ trung học đến đại học.

Nghiên cứu việc xây dựng các phép biến đổi trong tích phân

theo độ đo, sau đó áp dụng vào trường hợp tích phân Riemann .

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu luận văn là nghiên cứu các phép biến

đổi trong tích phân theo độ đo và ứng dụng tích phân Riemann

để làm rõ thêm phép đổi biến số của loại tích phân này.

Phạm vi nghiên cứu luận văn là nghiên cứu việc xây dựng

các phép biến đổi trong tích phân theo độ đo, từ đó suy ra phép

đổi biến số trong tích phân Riemann.

.

2

5. Phương pháp nghiên cứu

- Sưu tầm tài liệu liên quan đến nội dung đề tài nghiên cứu:

+ Nghiên cứu trực tiếp từ các tài liệu, sách tham khảo,

chuyên khảo về tích phân và các phép biến đổi trong tích phân.

+Nghiên cứu gián tiếp qua các trang web: www.mathscope.org,

www.mathvn.com, www.diendantoanhoc.net.

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Luận văn có thể được sử dụng như một tài liệu tham khảo

dành cho học sinh, sinh viên và giáo viên giảng dạy phần tích phân

xác định thuộc môn toán. Luận văn làm sáng tỏ việc đổi biến số

trong tích phân Riemann theo quan điểm của các phép biến đổi

trong tích phân theo độ đo.

7. Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo

và 3 chương.

Chương 1: Cơ sở lý thuyết

Chương 2: Các phép biến đổi trong tích phân

Chương 3: Các ứng dụng của phép biến đổi

3

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1. ĐẠI SỐ VÀ σ - ĐẠI SỐ

1.1.1. Đại số

Định nghĩa. Cho Ω là một tập khác rỗng. Một lớp A các tập

con của Ω được gọi là một đại số, nếu

1) Ω ∈ A;

2) Nếu A ∈ A thì Ac ∈ A (Ac = Ω\A);

3) Nếu Ak ∈ A, k = 1, 2, ..., n (n < +∞) thì Sn

k=1

Ak ∈ A.

1.1.2. σ - Đại số

Định nghĩa. Cho Ω là một tập khác rỗng. Một lớp A các tập

con của Ω được gọi là một σ- đại số, nếu

1) Ω ∈ A;

2) Nếu A ∈ A thì Ac ∈ A (Ac = Ω\A);

3) Nếu Ak ∈ A, k ∈ N∗

thì S∞

k=1

Ak ∈ A (N∗

là tập tất cả các số

nguyên dương).

1.2. ĐỘ ĐO

1.2.1. Hàm tập hợp

Định nghĩa. Giả sử A là lớp các tập con của Ω. Một ánh xạ

µ : A −→ R gọi là một hàm tập hợp, với R = [−∞; +∞] (Hàm

tập hợp thường được gọi tắt là hàm tập).

1.2.2. Độ đo

Định nghĩa. Hàm tập µ : A −→ R được gọi là một độ đo trên

không gian đo được (Ω, A) nếu:

4

1) ∀A ∈ A thì µ(A) ≥ 0 và µ(∅) = 0.

2) Hàm tập µ là σ-cộng tính.

Với A ∈ A, µ(A) được gọi là độ đo của tập A. Ta nói µ là độ

đo hữu hạn, nếu nó là hàm tập hữu hạn, tức là µ(A) < +∞, ∀A ∈

A. Ta nói µ là σ-hữu hạn nếu ∀A ∈ A, tồn tại dãy {An}n∈Z+

trong A sao cho A =

S∞

n=1

An và µ(An) < +∞, ∀n ∈ Z

+.

Nếu µ(Ω) = 1 thì ta gọi µ là một độ đo xác xuất.

Bộ ba (Ω, A, µ) được gọi là không gian đo, trường hợp µ là

độ đo xác xuất thì nó được gọi là một không gian xác xuất.

1.2.3. Các tính chất của độ đo

Định lí 1.1. Cho µ là một độ đo trên đại số A. Khi đó ta có

1) Nếu A, B ∈ A và A ⊂ B thì µ(A) ≤ µ(B).

2) Nếu A, B ∈ A và A ⊂ B, µ(A) < +∞ thì µ(B \ A) =

µ(B) − µ(A).

Định lí 1.2. Cho µ là một độ đo trên σ-đại số A. Khi đó ta có

1) Nếu A ∈ A, {An}n∈Z+ ⊂ A và A ⊂

S

n∈Z+ An thì

µ(A) ≤

X∞

n=1

µ(An).

2) Nếu A ∈ A, {An}n∈Z+ ⊂ A, Ai ∩ Aj = ∅ (∀i 6= j) và

S

n∈Z+ An ⊂ A thì

X∞

n=1

µ(An) ≤ µ(A).

Định lí 1.3. Cho µ là độ đo trên σ-đại số A. Khi đó

1) Nếu dãy các tập {An}n∈Z+ ⊂ A là dãy tăng thì

µ( limn→∞

An) = limn→∞

µ(An).

2) Nếu dãy các tập {An}n∈Z+ ⊂ A là dãy giảm và tồn tại

m ∈ Z

+ sao cho µ(Am) < +∞ thì

µ( limn→∞

An) = limn→∞

µ(An).

5

Định lí 1.4. Cho µ là hàm tập hữu hạn, cộng tính, không âm

trên đại số A. Nếu µ là liên tục trên tại mọi tập A trong A, hay

liên tục trên tại ∅ thì µ là một độ đo trên đại số A.

1.2.4. Độ đo ngoài

Định nghĩa. Một lớp không rỗng các tập hợp ε được gọi là lớp

di truyền nếu với mọi tập E ∈ ε và F ⊂ E thì F ∈ ε.

Định nghĩa. σ− vành di truyền nhỏ nhất chứa lớp ε được gọi là

σ− vành di truyền sinh ra bởi lớp ε và được ký hiệu bởi H (ε).

Định lí 1.5. Nếu µ là một độ đo trên vành ε và nếu với mọi tập

E ∈ H (ε) đặt

µ

∗

(E) = inf P∞

i=1

µ (Ei) : Ei ∈ ε, ∀i; E ⊂

S∞

i=1

Ei



,

thì µ

∗

là một độ đo ngoài trên H (ε) và là một mở rộng của µ.

Nếu µ là (hoàn toàn) σ− hữu hạn thì µ

∗

cũng vậy.

Độ đo ngoài µ

∗ được gọi là cảm sinh bởi độ đo µ.

1.2.5. Các tập đo được

Định nghĩa. Cho µ

∗

là một độ đo ngoài trên σ− vành di truyền

H. Một tập hợp E ∈ H được gọi là µ

∗ đo được nếu với mọi tập

A ∈ H, ta có:

µ

∗

(A) = µ

∗

(A

T

E) + µ

∗

(A

T

Ec

).

Ec

là phần bù của E.

Định lí 1.6. Nếu µ

∗

là một độ đo ngoài trên một σ− vành di

truyền H và nếu S là lớp tất cả các tập µ

∗

- đo được thì S là một

vành.

Chú ý. Cho µ

∗

là một độ đo ngoài trên σ− vành di truyền H.

Tập E ∈ H là µ

∗ đo được nếu và chỉ nếu:

µ

∗

(A) ≥ µ

∗

(A

T

E) + µ

∗

(A

T

Ec

).

6

Định lí 1.7.[6] Nếu µ

∗

là một độ đo ngoài trên σ− vành di

truyền H và nếu S là lớp tất cả các tập µ

∗ đo được, thì S là một

σ−vành. Nếu A ∈ H và nếu {En} là dãy rời nhau các tập trong

S với S∞

n=1

En = E, thì:

µ

∗

(A

T

E) = P∞

n=1

µ

∗

(A

T

En).

Định lí 1.8. Nếu µ

∗

là một độ đo ngoài trên σ−vành di truyền

H và nếu S là lớp tất cả các tập µ

∗

-đo được, thì mỗi tập có độ đo

ngoài bằng 0 thuộc vào S và hàm tập µ xác định trên S được cho

bởi µ (E) = µ

∗

(E), ∀E ∈ S là một độ đo đủ trên S.

Độ đo µ được gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài µ

∗

. Độ đo µ

là hạn chế của độ đo ngoài µ

∗

trên S và được ký hiệu µ = µ

∗

|s .

1.2.6. Độ đo Lebesgue

Định lí 1. 9.[6] Mỗi tập đếm được trong R là một tập Borel có

độ đo không (tập A được gọi là có độ đo không nếu µ(A) = 0).

Định lí 1.10.[6] Gọi U là lớp tất cả các tập mở trong R. Khi đó

σ(P) = σ(U).

Định lí 1.11.[6] Nếu E ⊂ R thì

µ

∗

(E) = inf {µ(U) : E ⊂ U ∈ U} .

Định lí 1.12.[6] Nếu T là một hàm từ R vào R được xác định

bởi T(x) = αx + β, trong đó α ∈ R, β ∈ R và α 6= 0, thì

µ

∗

(T (E)) = |α| .µ∗

(E) và µ∗ (T (E)) = |α| .µ∗ (E).

Ngoài ra, tập T(E) là tập Borel hay tập đo được Lesbesgue nếu

và chỉ nếu E là tập Borel hay tập đo được Lesbesgue tương ứng.

1.2.7. Không gian đo