Các định lý phân tích vành và môđun

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

ĐÀO THỊ ANH THƯ

CÁC ĐỊNH LÝ PHÂN TÍCH

CỦA VÀNH VÀ MÔĐUN

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2013

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN GIA ĐỊNH

Phản biện 1: TS. Trương Công Quỳnh

Phản biện 2: GS. TS. Lê Văn Thuyết

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn

tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày

15 tháng 12 năm 2013.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin- Học liệu, Đại học Đà Nẵng.

- Thư viện truờng Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Vành và đại số kết hợp là các cấu trúc đại số rất thú vị. Lý

thuyết vành là chủ đề quan trọng trong đại số, là mảnh đất màu mỡ

đối với lý thuyết nhóm, lý thuyết biểu diễn, giải tích hàm, lý thuyết

Lie, hình học đại số, số học, đại số phổ dụng và đại số đồng điều. Lý

thuyết vành hiện đại bắt đầu khi Wedderburn chứng minh được định

lý phân loại nổi tiếng đối với các đại số nửa đơn hữu hạn chiều trên

trường. Sau đó, Noether và Artin giới thiệu điều kiện dây chuyền

tăng và điều kiện dây chuyền giảm để thay thế tính hữu hạn chiều và

Artin đã chứng minh tương tự Định lý Wedderburn cho vành nửa

đơn tổng quát.

Trong một vành, ta có thể cộng, trừ và nhân, nhưng ta không

thể “chia” một phần tử cho một phần tử khác. Theo một nghĩa rất tự

nhiên, các đối tượng “hoàn hảo” nhất trong lý thuyết vành không

giao hoán là các thể (vành chia), nghĩa là vành có đơn vị khác không,

trong đó mọi phần tử khác không đều khả nghịch. Từ các thể, ta có

thể xây dựng các vành ma trận và tạo thành tích trực tiếp hữu hạn

của các vành ma trận như thế.

Có nhiều cách định nghĩa tính nửa đơn. Wedderburn quan tâm

chủ yếu đến đại số hữu hạn chiều trên trường, định nghĩa căn của

một đại số R như thế là iđêan lũy linh lớn nhất của R, và định nghĩa

R là nửa đơn nếu căn này bằng không. Ở đây, một vành nửa đơn

được định nghĩa là một vành mà tất cả các môđun trên nó là nửa đơn,

nghĩa là tổng trực tiếp các môđun đơn. Định nghĩa vành nửa đơn

theo lý thuyết môđun này không những dễ làm việc mà còn kéo theo

Định lý Wedderburn-Artin một cách nhanh chóng và tự nhiên. Việc

xem xét căn cũng đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết vành,

2

trong đó căn Wedderburn đối với đại số hữu hạn chiều được suy rộng

đến căn Jacobson đối với vành bất kỳ. Với khái niệm tổng quát hơn

về căn này, chúng ta sẽ thấy rằng vành nửa đơn chính là vành Artin

với căn Jacobson bằng không.

Xuất phát từ mong muốn nghiên cứu mang tính thời sự của lý

thuyết vành và môđun và các ứng dụng của nó, tôi chọn đề tài với

tên gọi Các định lý phân tích của vành và môđun để tiến hành nghiên

cứu. Chúng tôi hy vọng tạo được một tài liệu tham khảo tốt cho

những người bắt đầu tìm hiểu về phân tích các vành và ứng dụng vào

vành Artin và Noether, và chỉ ra được một số ví dụ minh hoạ đặc sắc

nhằm góp phần làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này.

2. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu

Nghiên cứu sự phân tích của các vành và môđun qua các định

lý cơ bản nổi tiếng và ứng dụng vào lớp vành Artin và Noether, cùng

các tính chất của chúng. Nội dung luận văn chia thành 3 chương:

- Trong Chương 1, các công cụ cơ bản để nghiên cứu vành

được giới thiệu, một số định nghĩa cơ sở, nhiều tính chất cơ bản và

các ví dụ minh họa được trình bày.

- Chương 2 nhằm trình bày các định lý phân tích của vành; đặc

biệt đối với phân tích Peirce hai phía của vành; các môđun nửa đơn;

Định lý cơ bản Weddeburn-Artin; lý thuyết dàn và đại số Boole; các

vành khả phân hữu hạn và các tính chất chính của chúng.

- Chương 3 nghiên cứu vành và môđun Noether và Artin; đặc

biệt là định lý nổi tiếng Jordan-Hölder và định lý cơ sở Hilbert; căn

Jacobson và các tính chất của nó; Bổ đề Nakayama; tiêu chuẩn của

vành là Noether hoặc Artin; xét các vành nửa nguyên sơ; chứng minh

một định lý nổi tiếng của Hopkin và Levitzki, mà chứng tỏ một vành

Artin bất kỳ cũng là vành Noether.

3

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận văn là lý thuyết vành và

môđun. Phạm vi nghiên cứu của luận văn là sự phân tích của vành và

môđun và ứng dụng vào vành Artin và Noether qua các định lý phân

tích cơ bản nổi tiếng.

4. Phương pháp nghiên cứu

4.1. Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả

nghiên cứu về các định lý phân tích của vành và môđun, một vấn đề

quan trọng trong lý thuyết vành và môđun, trên cơ sở đó phân tích,

tổng hợp và chứng minh chi tiết các kết quả liên quan.

4.2. Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao

đổi các kết quả đang nghiên cứu. Trao đổi qua email, blog, forum với

các chuyên gia về lý thuyết vành và môđun.

5. Đóng góp của đề tài

5.1. Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên

quan đến Các định lý cơ bản nổi tiếng về sự phân tích của vành và

môđun, nhằm xây dựng một tài liệu tham khảo cho các người bắt đầu

nghiên cứu về lý thuyết vành và môđun.

5.2. Chứng minh chi tiết và làm rõ một số mệnh đề, cũng như

đưa ra một số ví dụ minh hoạ nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp

cận vấn đề được đề cập.

6. Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo trong luận

văn gồm có các chương như sau:

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ

CHƯƠNG 2. CÁC PHÂN TÍCH CỦA VÀNH

CHƯƠNG 3. VÀNH ARTIN VÀ NOETHER.

4

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC VÍ DỤ

Định nghĩa 1.1.1. Một vành là một tập hợp khác rỗng A cùng

với hai phép toán ký hiệu cộng và nhân thỏa mãn các điều kiện sau

∀ , , ∈ ,

(1) + ( + ) = ( + ) + (Tính kết hợp của phép cộng);

(2) + = + (Tính giao hoán của phép cộng);

(3) ∃0 ∈ , + 0 = 0 + = (Tồn tại phần tử không);

(4) ∃ ∈ , + = 0 (Tồn tại phần tử đối);

(5) ( + ). = . + . (Tính phân phối phải);

(6) . ( + ) = . + . (Tính phân phối trái).

Mệnh đề 1.1.1. Cho ⊃ ⊃ là một dãy các mở rộng

trường, trong đó là một mở rộng hữu hạn của trường với một cơ

sở , … , và là một mở rộng hữu hạn của trường với một cơ

sở , … , . Khi đó

( = 1, … , ; = 1, … , ) là một cơ sở

của trường trên . Đặc biệt

[ ∶ ] = [ ∶ ][ ∶ ].

Định nghĩa 1.1.2. Một ánh xạ φ từ vành vào vành ’ được

gọi là một đồng cấu vành nếu thỏa mãn các điều kiện sau ∀ , ∈ ,

(1) ( + ) = ( ) + ( );

(2) ( ) = ( ) ( );

(3) (1) = 1.

Mệnh đề 1.1.2. Giả sử {

: ∈ } là một họ iđêan phải thực sự

của một vành với tính chất Õ với mọi ∈ . Khi đó

= ⋃ ∈ là một iđêan phải thực sự của .

Định nghĩa 1.1.3. Một tập hợp được gọi là được sắp thứ tự

bộ phận nếu có quan hệ ≤ giữa các phần tử của nó thỏa mãn:

5

P1. ≤ , ∀ ∈ (tính phản xạ);

P2. ≤ , ≤ kéo theo ≤ , ∀ , , ∈ (tính bắc cầu);

P3. ≤ , ≤ kéo theo = , ∀ , ∈ (tính phản đối

xứng);

Quan hệ ≤ như thế gọi là một quan hệ thứ tự bộ phận.

Định nghĩa 1.1.4. Một tập được sắp thứ tự bộ phận là thứ tự

tuyến tính (hay là một dây chuyền) nếu với hai phần tử bất kỳ

, ∈ kéo theo hoặc ≤ hoặc ≤ .

Mệnh đề 1.1.3. Các iđêan phải thực sự bất kỳ của vành có

đơn vị được chứa trong một iđêan phải cực đại.

Mệnh đề 1.1.4. Cho là một vành iđêan chính. Khi đó một họ

các iđêan phải (tương ứng trái) {

: ∈ } của vành với tính chất

⊂ , với mọi ∈ chỉ chứa một số hữu hạn các iđêan, tức là,

có một số ∈ sao cho = với mọi ≥ .

Định lí 1.1.5. Với mỗi hệ các phép hoán vị trực giao đầy đủ P,

đại số AP là một đại số chia, tức là với bất kỳ a, b ∈ AP, a ≠ 0, mỗi

phương trình (1) xa = b và (2) ay = b có một nghiệm duy nhất.

Định lí 1.1.6. (J.F. Adams (1960)). Nếu A là đại số chia hữu

hạn chiều trên thì = 2

với =0, 1, 2, 3.

Hệ quả 1.1.7. Tồn tại hệ các phép hoán vị trực giao đầy đủ

các vectơ -chiều nếu ≠1, 2, 4, 8.

1.2. MÔĐUN VÀ ĐỒNG CẤU

Định nghĩa 1.2.1. Một môđun phải trên một vành là một

nhóm cộng Abel cùng với ánh xạ × → sao cho mỗi cặp

( , ), xác định tương ứng duy nhất phần tử ∈ và các điều

kiện sau được thỏa mãn với bất kỳ , , ∈ và , , ∈ :

1. ( +

) = +

2. ( +

) = +

6

3. (

) = ( )

4. . 1 =

Định nghĩa 1.2.2. Một đồng cấu của một -môđun phải

vào một -môđun phải là một ánh xạ : → thỏa mãn điều

kiện sau:

1. ( +

) = (

) + (

) với mỗi , ∈ ;

2. ( ) = ( ) với mỗi ∈ , ∈ .

Tập tất cả các đồng cấu như vậy được ký hiệu là

( , ).

Mệnh đề 1.2.1. Cho : → là một đồng cấu -môđun.

1. Giả sử là môđun con của chứa trong . Khi đó tồn

tại duy nhất một đồng cấu ∶ / → sao cho sơ đồ

(1.2.1)

là giao hoán, tức là, = , với là phép chiếu tự nhiên.

2. Giả sử : → là một đơn cấu với ⊂ , khi đó

tồn tại duy nhất đồng cấu ℎ ∶ → sao cho = ℎ.

Mệnh đề 1.2.2. Cho và là các -môđun và : → là

một đồng cấu -môđun. Khi đó:

(1) là toàn cấu nếu và chỉ nếu = ;

(2) là đơn cấu nếu và chỉ nếu = 0.

1.3. CÁC ĐỊNH LÝ ĐẲNG CẤU CỔ ĐIỂN

Định lí 1.3.1 (Định lí đồng cấu). Nếu và là các -môđun

và : → là một – đồng cấu thì / ( ) ≃ ( )

Hệ quả 1.3.2. Mỗi môđun cyclic đẳng cấu với một môđun

thương của môđun chính quy bởi iđêan phải nào đó.

7

Định lí 1.3.3 (Định lí tự đẳng cấu thứ nhất). Nếu và là

các môđun con của một -môđun thì ( + )/ ≃ /( ∩ ).

Bổ đề 1.3.4. Cho là một môđun con của và : → /

là phép chiếu tự nhiên. Với môđun con bất kỳ ⊂ và môđun con

bất kỳ

⊂ / ta có

1) ( ) là một môđun con của / ;

2)

( ′) là một môđun con của ;

3)

(

) = ′;

4) Nếu ⊂ thì

( ( )) = .

Định lí 1.3.5 (Định lí đẳng cấu thứ hai). Cho là một môđun

con của -môđun . Khi đó môđun con bất kỳ của -môđun /

có dạng / với ⊂ ⊂ và ( / )/( / ) ≃ / .

Định lí 1.3.6 (Luật môđula). Cho , và là các môđun con

của với ⊆ . Khi đó: ∩ ( + ) = + ( ∩ ).

1.4. TỔNG VÀ TÍCH TRỰC TIẾP

Định nghĩa 1.4.1. Một môđun mà đẳng cấu với tổng trực tiếp

⊕ , với và là các môđun khác không, được gọi là khả

phân, ngược lại được gọi là bất khả phân.

Mệnh đề 1.4.1. Cho và là các môđun con của môđun

và : ⊕ → là đồng cấu được định nghĩa bởi

( ,

) = + . Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

1) là một đẳng cấu;

2) = + và ∩ = 0.

Định lí 1.4.2. Cho ( ∈ ) là một họ các môđun con của

môđun và :⊕ → là đồng cấu được xác định bởi

(⊕

) = ∑

. Khi đó những điều kiện sau là tương đương:

1) là một đẳng cấu;

2) i

i I

M

Œ

 = và ∩ j

j i

M

¹

 = 0 với bất kỳ i ;

8

3) i

i I

M

Œ

 = và ∩ j

j i

M

<

 = 0 với bất kỳ i ;

Mệnh đề 1.4.3. Cho = × … ×

là tích trực tiếp của

một số hữu hạn các vành. Khi đó các A- môđun phải có thể được

phân tích thành một tổng trực tiếp của các –môđun sao cho mỗi

thành phần của chúng là một

-môđun phải với = 1, … , .

1.5. MÔĐUN TỰ DO VÀ HỮU HẠN SINH

Mệnh đề 1.5.1. Nếu là một − môđun thì:

(i) Nếu là tổng của một số hữu hạn các môđun hữu hạn

sinh thì là môđun hữu hạn sinh.

(ii)Nếu được sinh bởi phần tử và là môđun con của

thì / có thể được sinh bởi phần tử.

(iii) Nếu = ⊕ và được sinh bởi phần tử thì

có thể được sinh bởi phần tử.

Định nghĩa 1.5.1. Một − môđun được gọi là tự do nếu nó

đẳng cấu với tổng trực tiếp các môđun chính quy, tức là, ≃ i

i I

MŒ

Å

trong đó ≃ với mọi ∈ .

Mệnh đề 1.5.2. Nếu một − môđun là hữu hạn sinh với n phần

tử sinh thì nó là đẳng cấu với một môđun thương của môđun tự do

.

Mệnh đề 1.5.3. Một môđun là tự do nếu và chỉ nếu nó có

một cơ sở tự do. Đặc biệt, có một cơ sở tự do hữu hạn gồm phần

tử nếu và chỉ nếu đẳng cấu với

.

Mệnh đề 1.5.4. Một môđun bất kỳ là đẳng cấu với một môđun

thương của một môđun tự do.

Mệnh đề 1.5.5. Nếu là một vành giao hoán và là −

môđun tự do thì hai cơ sở tự do bất kỳ của có cùng bản số.

9

CHƯƠNG 2

CÁC PHÂN TÍCH CỦA VÀNH

2.1. PHÂN TÍCH PIERE HAI PHÍA CỦA MỘT VÀNH

Định nghĩa 2.1.1. Cho A là một vành. Nhắc lại rằng một phần

tử e ∈ A được gọi là một lũy đẳng nếu

= . Hai lũy đẳng e và f

được gọi là trực giao nếu ef = fe = 0. Một đẳng thức 1 = + +

… + với , , … , là các lũy đẳng trực giao từng đôi một,

được gọi là phân tích của phần tử đơn vị của vành A.

Mệnh đề 2.1.1. Có một song ánh tương ứng giữa các phân

tích của vành =⊕

( =⊕

) thành một tổng trực

tiếp các iđêan phải (trái) và các phân tích 1 = + + … +

của phần tử đơn vị của vành A.

Định lý 2.1.2. Cho e và f là các lũy đẳng của vành A. Khi đó

có một đẳng cấu giữa nhóm cộng ( , ) và . Nếu f = e,

thì ( ) là một vành đẳng cấu với . Đặc biệt, ≃

( ).

Mệnh đề 2.1.3. Cho = ⊕ … ⊕ là một phân tích

của một A-môđun M thành một tổng trực tiếp các đẳng cấu của các

môđun con ≃ ≃ ⋯ ≃ . Khi đó vành các tự đồng cấu của

môđun đẳng cấu với vành (

) gồm tất cả các ma trận

vuông cấp n với hệ số trong (

).

2.2. ĐỊNH LÍ WEDDERBURN-ARTIN

Định nghĩa 2.2.1. Một môđun khác không được gọi là đơn

(hoặc bất khả qui) nếu nó có đúng hai môđun con (hai môđun con

tầm thường và môđun không). Một môđun được gọi là nửa đơn

(hoặc hoàn toàn khả quy) nếu nó có thể phân tích được thành tổng

trực tiếp các môđun đơn.

10

Mệnh đề 2.2.1 (bổ đề Schur). Một đồng cấu bất kỳ khác

không giữa các môđun đơn là một đẳng cấu. Đặc biệt, vành tự đồng

cấu của một môđun đơn là một vành chia.

Định lí 2.2.2 (Wedderburn-Artin). Trong vành , các điều

kiện sau là tương đương:

(a) là nửa đơn phải;

(b) là đẳng cấu với tổng trực tiếp của một số hữu hạn các

vành ma trận đầy đủ trên các vành chia;

(c) là nửa đơn trái.

Định nghĩa 2.2.2. Một vành được gọi là đơn nếu nó không có

các iđêan hai phía khác với vành không và chính nó.

Mệnh đề 2.2.3. Vành

( ) là đơn, với là vành chia.

Mệnh đề 2.2.4. Cho một − môđun , các điều kiện sau

tương đương:

(a) là một tổng của một họ nào đó của các môđun con đơn;

(b) là một môđun nửa đơn;

(c) Một môđun con bất kỳ của là một hạng tử trực tiếp trong

, tức là, tồn tại một môđun con

à sao cho = ⊕

.

Hơn nữa, môđun con bất kỳ và môđun thương bất kỳ của

môđun nửa đơn là nửa đơn.

Định nghĩa 2.2.3. Một iđêan phải khác không của vành

được gọi là cực tiểu nếu không chứa iđêan phải khác không khác.

Đặc biệt, là cực tiểu nếu và chỉ nếu là - môđun phải đơn.

Định lý 2.2.5. Các điều kiện sau là tương đương trong vành

:

(a) là nửa đơn phải;

(b) là nửa đơn trái;

(c) - môđun phải bất kỳ là nửa đơn;

11

(d) - môđun trái bất kỳ là nửa đơn.

Mệnh đề 2.2.6. Nếu là một vành nửa đơn thì vành ma trận

đầy đủ (A) cũng là nửa đơn.

2.3. DÀN, ĐẠI SỐ BOOLE VÀ VÀNH

Định nghĩa 2.3.1. Một tập hợp S được gọi là được sắp thứ tự bộ

phận nếu nó được trang bị một quan hệ ≤ thỏa mãn các điều kiện:

1. ≤ với ∈ (tính phản xạ);

2. ≤ , ≤ kéo theo ≤ với , , ∈ (tính bắc cầu);

3. ≤ , ≤ kéo theo = với , ∈ (tính phản

đối xứng).

Quan hệ ≤ được gọi là thứ tự bộ phận.

Định nghĩa 2.3.2. Một được sắp thứ tự bộ phận , mà mỗi cặp phần

tử của nó vừa có supremum và infimum trong được gọi là một dàn.

Mệnh đề 2.3.1. Cho là một dàn với phép toán Ÿ và ⁄được

định nghĩa bởi (2.3.1). Khi đó ∀ , , ∈ ta có các tính chất sau:

1. Luật giao hoán: ⁄ = ⁄ ; Ÿ = Ÿ ;

2. Luật kết hợp: ⁄ ⁄ = ⁄ ⁄ ; Ÿ Ÿ =

Ÿ Ÿ ;

3. Luật lũy đẳng : ⁄ = ; Ÿ = ;

4. Luật hấp thụ: ⁄ Ÿ = ; Ÿ ⁄ = .

Mệnh đề 2.3.2. Nếu tập hợp với phép toán hai ngôi ⁄và Ÿ

sao cho ∀ , , ∈ ta có các tính chất sau:

i) ⁄ = ⁄ ; Ÿ = Ÿ ;

ii) ⁄ ⁄ = ⁄ ⁄ ; Ÿ Ÿ = Ÿ Ÿ ;

iii) ⁄ = ; Ÿ = ;

iv) ⁄ Ÿ = ; Ÿ ⁄ =

thì có một quan hệ thứ tự bộ phận duy nhất trong làm cho thành

một dàn và sao cho các phép toán “⁄” và “Ÿ” đã cho tương ứng

với supremum và infimum trong dàn.