Các định lý hàm khả vi với bất đẳng thức và một số đánh giá tiệm cận

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN VĂN TOẢN

CÁC ĐỊNH LÝ HÀM KHẢ VI

VỚI BẤT ĐẲNG THỨC VÀ MỘT SỐ

ĐÁNH GIÁ TIỆM CẬN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN VĂN TOẢN

CÁC ĐỊNH LÝ HÀM KHẢ VI

VỚI BẤT ĐẲNG THỨC VÀ MỘT SỐ

ĐÁNH GIÁ TIỆM CẬN

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. HOÀNG VĂN HÙNG

Thái Nguyên - 2015

3

Mục lục

Lời cam đoan 1

Mở đầu 2

1 Các định lí về hàm khả vi và các bất đẳng thức 4

1.1 Đạo hàm, đạo hàm cấp cao của hàm một biến và các tính chất cơ bản . 4

1.1.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 Các tính chất cơ bản của đạo hàm và đạo hàm cấp cao . . . . 5

1.2 Các định lí về hàm khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Định lí Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 Các định lý Cauchy, Lagrange, Rolle, Taylor . . . . . . . . . . 7

1.2.3 Một số hệ quả của định lý Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.4 Liên hệ giữa tính đơn điệu, tính lồi, lõm với đạo hàm . . . . . 8

1.3 Đạo hàm riêng, cực trị có điều kiện của hàm số nhiều biến. Giá trị

nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số hai biến số trên miền đóng bị

chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Đạo hàm riêng cấp một và đạo hàm riêng cấp cao . . . . . . . 9

1.3.2 Phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị có điều kiện của

hàm số nhiều biến. Giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số hai

biến số trên miền đóng bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Các ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.1 Các ví dụ sử dụng mối liên hệ giữa đạo hàm với tính đơn điệu

và cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

i

1.4.2 Các ví dụ sử dụng mối liên hệ giữa đạo hàm cấp hai và tính

lồi, lõm của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4.3 Các ví dụ sử dụng định lý Rolle, Lagrange, Taylor . . . . . . . 23

1.4.4 Các ví dụ sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange và quy tắc

tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất của hàm số hai biến số trên

miền đóng và bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Đánh giá tiệm cận của một lớp các dãy số 35

2.1 Khái niệm tiệm cận của một dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2 Một số định lý về đánh giá tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Kết luận 53

Tài liệu tham khảo 55

1

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan mọi thông tin và trích dẫn trong luận văn là trung thực, các số

liệu và kết quả nghiên cứu không trùng lặp với các đề tài khác.

Thái Nguyên, ngày 26 tháng 03 năm 2015

Học viên

Nguyễn Văn Toản