Các định lý cổ điển và ứng dụng trong hình học sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ NỞ

CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN VÀ ỨNG DỤNG

TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP

Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2013

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG

Phản biện 1: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU

Phản biện 2: GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp

Thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 14 tháng

12 năm 2013.

* Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

Trong hình học s cấp, c c đ nh l c đi n đ ng một vai tr rất

quan trọng trong việc khảo s t c c đối tượng hình học và mối li n hệ

gi a ch ng, đ c biệt là ứng d ng vào giải to n s cấp

Trong chư ng trình to n ph thông, ch ng ta thường g p c c

bài to n như chứng minh sự thẳng hàng của c c đi m, chứng minh

c c đường thẳng đồng quy, bài to n dựng hình,… C th sử d ng c c

phư ng ph p của hình học phẳng đ giải c c bài to n tr n Chẳng

hạn, đ chứng minh ba đi m thẳng hàng, ta c th chứng tỏ c c vect

được tạo bởi ba đi m đ cùng phư ng Đ chứng minh ba đường

thẳng đồng quy, ch ng ta c th chỉ ra hai trong ba đường thẳng đ

cắt nhau tại một đi m và đường thẳng thứ ba đi qua giao đi m này

Nhưng trong một số trường hợp việc sử d ng c c phư ng ph p n u

tr n đ giải g p nhiều kh khăn

Ở bậc ph thông, học sinh đã biết chứng minh ba đi m thẳng

hàng ho c ba đường thẳng đồng quy bằng c ch p d ng c c đ nh l

c đi n như đ nh l Menelaus, đ nh lý Ceva [2, tr.19-24]. Ngoài các

đ nh l tr n, ch ng ta c n c th sử d ng c c đ nh l c đi n như đ nh

lý Desargues, đ nh l Pascal, đ nh l Brianchon, đ nh l Pappus,

…Tuy nhi n, trong khuôn kh c hạn của chư ng trình hình học ph

thông, học sinh chưa c điều kiện đ tìm hi u sâu rộng về c c đ nh l

này.

Nhằm m c đích tìm hi u về c c đ nh l c đi n, về vai tr của

ch ng trong hình học s cấp Mong muốn b sung, hoàn thiện kiến

thức đ ph c v trong công t c giảng dạy, bồi dưỡng học sinh ph

2

thông và được sự gợi , hư ng d n của Th y P S TS Tr n Đạo

D ng, tôi đã chọn đề tài C c đ nh l c đi n và ứng d ng trong hình

học s cấp làm đề tài nghi n cứu cho luận văn của mình

2. Mục đích nghiên cứu của đề tài

M c đích của đề tài nhằm nghi n cứu về c c đ nh l c đi n và

ứng d ng vào giải to n s cấp trong chư ng trình to n ph thông

Đ đạt được m c đích n u tr n, luận văn tập trung khảo s t c c

đ nh l c đi n như đ nh l Menelaus, đ nh l Ceva, đ nh l

Desargues, đ nh l Pascal, đ nh l Brianchon, đ nh l Pappus, … và

ứng d ng vào giải một số dạng to n trong hình học s cấp

3. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài

Nhiệm v nghi n cứu của đề tài là trình bày và chứng minh

một số đ nh l c đi n theo quan đi m của hình học phẳng và hình

học xạ ảnh Từ đ đưa ra c c ứng d ng của c c đ nh l vào giải c c

bài to n của hình học s cấp

4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghi n cứu của đề tài là c c đ nh l c đi n và ứng

d ng c c đ nh l trong giải to n hình học s cấp

Phạm vi nghi n cứu gồm nh ng vấn đề thuộc chư ng trình

to n hình học ở bậc ph thông Vận d ng c c đ nh l c đi n vào giải

c c bài to n trong chư ng trình to n ph thông, c c đề thi học sinh

giỏi quốc gia và quốc tế

5. Phƣơng pháp nghiên cứu

3

- Tham khảo c c tài liệu và hệ thống h a c c kiến thức li n quan

đến nội dung nghi n cứu của đề tài

- Trao đ i, thảo luận c c kết quả nghi n cứu tại c c bu i seminar

v i gi o vi n hư ng d n

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Luận văn đã trình bày c c đ nh l c đi n theo mạch kiến thức

r ràng Làm s ng tỏ ứng d ng của c c đ nh l c đi n vào khảo s t

c c đối tượng hình học, đ c biệt là ứng d ng vào giải c c bài to n s

cấp Luận văn c th làm tài liệu tham khảo cho gi o vi n và học sinh

ở bậc ph thông c nhu c u nghi n cứu sâu về c c đ nh l này

7. Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm ph n mở đ u, ph n kết luận và c hai chư ng:

- Chư ng 1 i i thiệu về hình học s cấp và c c đ nh l c

đi n

Chư ng này gi i thiệu c c kh i niệm, đ nh l và tính chất c

bản của hình học s cấp Trình bày nội dung và chứng minh c c đ nh

l c đi n theo quan đi m của hình học phẳng và hình học xạ ảnh

- Chư ng 2 Ứng d ng c c đ nh l c đi n vào giải to n s cấp

Chư ng này trình bày c c ứng d ng của c c đ nh l c đi n

vào giải c c bài to n hình học s cấp Vận d ng c c đ nh l c đi n

theo quan đi m của hình học phẳng và theo quan đi m của hình học

xạ ảnh đ giải c c bài to n s cấp C c bài to n được hệ thống mạch

lạc theo từng đ nh l

4

CHƢƠNG 1

GIỚI THIỆU VỀ HÌNH HỌC SƠ CẤP

VÀ CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN

1.1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÝ VÀ TÍNH CHẤT

1.1.1. Tứ giác toàn phần

Định nghĩa 1.1. (Tứ giác toàn phần). Tứ gi c toàn ph n là

một hình được tạo n n bởi bốn đường thẳng, từng đôi một cắt nhau

nhưng không c ba đường thẳng nào đồng quy

Một hình tứ gi c toàn ph n c 4 cạnh là 4 đường thẳng, 6 đỉnh

là 6 giao đi m và 3 đường chéo là 3 đoạn thẳng đi qua hai đỉnh đối

diện (hai đỉnh không thuộc một cạnh)

1.1.2. Tỉ số kép, hàng điểm điều hòa và chùm điều hòa

Định nghĩa 1.2. (Điểm chia đoạn thẳng với tỉ số

k

). Cho hai

đi m

AB,

phân biệt và một số thực

k 1

Đi m

M

chia đoạn

AB

theo tỉ số

k

nếu đi m

M

nằm tr n đường thẳng

AB

và

MA k

MB

(ho c c th viết

MA kMB

hay

MA kMB

).

Nhận xét 1.1. V i

k 1

thì ta c một đi m

M

duy nhất chia

đoạn thẳng

AB

theo tỉ số

k

Không c đi m nào chia đoạn thẳng

AB

theo tỉ số

k 1

nếu

A B .

Định nghĩa 1.3. (Tỉ số kép).

Định nghĩa 1.4. (Hàng điểm điều hòa). Hàng đi m

A, B, C,

D

theo thứ tự gọi là một hàng đi m điều h a nếu

ABCD 1.

Định nghĩa 1.5. (Chùm đường thẳng). Chùm đường thẳng là

một tập hợp gồm tất cả c c đường thẳng trong m t phẳng cùng đi qua

một đi m Đi m đ gọi là tâm của chùm

5

Định lý 1.1 ([7]). Một chùm bốn đường thẳng cắt một c t

tuyến thay đ i theo một hàng đi m c tỉ số kép không đ i

1.1.3. Đƣờng tròn trực giao

Định nghĩa 1.6. (Đường tròn trực giao). Hai đường tr n gọi

là trực giao v i nhau tại một đi m chung

A

của ch ng, nếu hai tiếp

tuyến ở

A

của hai đường tr n đ vuông g c v i nhau

1.1.4. Hai điểm liên hợp

Định nghĩa 1.7. (Hai điểm liên hợp). Hai đi m

M N,

gọi là

li n hợp v i nhau đối v i đường tr n

O

nếu đường tr n đường

kính

MN

trực giao v i đường tr n

O .

Mệnh đề 1.1 ([7]). Cho đường tr n

O R,

và một đi m

M

khác

O

Tập hợp c c đi m

N

sao cho

M v Nà

li n hợp v i

nhau đối v i đường tr n

O R,

là một đường thẳng vuông g c v i

OM

, kí hiệu

M d .

1.1.5. Cực và đối cực của một điểm đối với đƣờng tròn

Định nghĩa 1.8. (Cực và đối cực của một điểm đối với đường

tròn). Cho đường tr n

O R,

và một đi m

M

khác

O

Ta gọi

đường thẳng

M d

trong mệnh đề 1 1 là đường đối cực của đi m

M

và đi m

M

là cực của đường thẳng

M d

đối v i đường tr n

O R, .

Định lý 1.2. (Định lý La Hire) ([7]). Đối v i một đường tr n

cho trư c, nếu đường đối cực của đi m

A

đi qua đi m

B

thì đường

đối cực của đi m

B

đi qua đi m

A.

Định lý 1.3. Đối v i một đường tr n cho trư c, c c đường đối

cực của c c đi m thẳng hàng thì đồng quy và c c cực của c c đường

thẳng đồng quy thì thẳng hàng

1.1.6. Định lý Thales trong tam giác

6

Định lý 1.4. (Định lý Thales thuận) ([4]). Nếu một đường

thẳng song song v i một cạnh của tam gi c và cắt hai cạnh c n lại thì

n đ nh ra tr n hai cạnh đ nh ng đoạn thẳng tư ng ứng tỉ lệ

Định lý 1.5. (Định lý Thales đảo) ([4]). Nếu một đường thẳng

cắt hai cạnh của một tam gi c và đ nh ra tr n hai cạnh này nh ng

đoạn thẳng tư ng ứng tỉ lệ thì đường thẳng đ song song v i cạnh

c n lại của tam gi c

1.2. CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN

1.2.1. Định lý Menelaus

Định lý 1.6. (Định lý Menelaus). Cho tam giác

ABC

và các

đi m

A B C ', ', '

l n lượt thuộc c c đường thẳng

BC CA AB , ,

Điều

kiện c n và đủ đ ba đi m

A B C ', ', '

thẳng hàng là

' ' '

. . 1.

'''

A B B C C A

A C B A C B

1.2.2. Định lý Ceva

Định lý 1.7. (Định lý Ceva). Cho

ABC

và c c đi m

A B C ', ', '

l n lượt thuộc c c cạnh

BC, CA, AB.

Điều kiện c n và đủ đ c c đường thẳng

AA', BB', CC'

đồng

quy là

' ' '

. . 1.

'''

A B B C C A

A C B A C B

Định lý 1.8. (Định lý Ceva sin).

1.2.3. Định lý Desargues

Định lý 1.9. (Định lý Desargues). Trong m t phẳng, cho hai

tam giác

ABC

và

A B C ' ' '

Khi đ c c đường thẳng

AA' , BB', CC'

đồng quy tại một đi m khi và chỉ khi giao đi m của c c c p đường

thẳng

BC

và

B C' ' , CA v C A à ' ' , AB v A B à ' '

thẳng hàng

7

1.2.4. Định lý Pascal

Định lý 1.10. (Định lý Pascal). Nếu một hình l c gi c nội

tiếp trong một đường tr n (c c đỉnh của l c gi c nằm tr n đường

tròn) thì ba giao đi m của c c c p cạnh đối diện sẽ nằm tr n một

đường thẳng (Đường thẳng này gọi là đường thẳng Pascal)

Nhận xét 1.2.

1.2.5. Định lý Brianchon

Định lý 1.11. (Định lý Brianchon). Nếu một hình l c gi c

ngoại tiếp một đường tr n (c c cạnh của l c gi c tiếp x c v i đường

tr n) thì c c đường thẳng nối c c đỉnh đối diện của l c gi c đ đồng

quy tại một đi m (Đi m này được gọi là đi m Brianchon)

1.2.6. Định lý Pappus

Định lý 1.12. (Định lý Pappus). Trong m t phẳng cho ba

đi m

A B C , ,

nằm tr n đường thẳng

d

và ba đi m

A B C ', ', '

nằm

tr n đường thẳng

d '

Khi đ , giao đi m của c p đường thẳng

AB v A B ' à ' , AC v A C ' à ' , BC v B C ' à '

thẳng hàng

1.3. CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN THEO QUAN ĐIỂM CỦA HÌNH

HỌC XẠ ẢNH

1.3.1. Một số kiến thức về không gian xạ ảnh và hình học

xạ ảnh

Định nghĩa 1.9. (Không gian xạ ảnh). iả sử

n 1 V

là không

gian vect

n 1

chiều

( 0) n

tr n trường

K

và

X

là một tập hợp

không rỗng tùy Ta kí hiệu

1

( ) n P V

là tập hợp tất cả c c không gian

con một chiều của

n 1 V

Nếu c song nh

1

: ( ) n P V X

thì bộ ba

1

( , , ) n X V

được gọi là một không gian xạ ảnh

n

chiều li n

kết v i không gian vect

n 1 V

tr n trường

K

và được kí hiệu là

n

.

Định nghĩa 1.10. (Mục tiêu tọa độ xạ ảnh).

8

Định nghĩa 1.11. (Hệ điểm độc lập). Trong

n

cho hệ gồm

m

đi m

1 2 , ,..., A A A

m

. Hệ

m

đi m này được gọi là độc lập nếu

m

vect

đại diện của ch ng

1 2 , ,..., a a a

m

là một hệ độc lập tuyến tính trong

n 1 V

Một hệ không độc lập gọi là ph thuộc

Định lý 1.13 ([8]). Trong không gian xạ ảnh

n

, mọi hệ

n 2

đi m

1 2 1 , ,..., , A A A E

n

sao cho trong số đ bất cứ

n 1

đi m nào

cũng độc lập đều là một m c ti u tọa độ xạ ảnh của

n

.

Định nghĩa 1.12. (Tọa độ xạ ảnh của một điểm). Trong

n

cho m c ti u tọa độ xạ ảnh

{ ; } A Ei

, ứng v i c sở

{ }, 1, 1 i

e i n

không gian vect

n 1 V

Đi m

n X

c vect đại diện là

n 1

x V .

Nếu đối v i c sở

{ }, 1, 1 i

e i n

, vect

x

c tọa độ là

1 2 1 ( , ,..., )

n

x x x

thì bộ

n 1

số

1 2 1 ( , ,..., )

n

x x x

được gọi là tọa độ của

đi m

X

đối v i m c ti u xạ ảnh

{ ; } A Ei

.

Kí hiệu:

1 2 1 ( , ,..., ) X x x x

n

.

Tính chất 1.1.(Điều kiện độc lập của một hệ 3 điểm trong

2

).

Định nghĩa 1.13. (Tọa độ của siêu phẳng xạ ảnh). Cho siêu

phẳng trong

n

1 1 2 2 1 1 u x u x u x ... 0

n n

.

Bộ

n 1

số

1 2 1 , ,...,

n

u u u

trong phư ng trình tr n được gọi là

tọa độ của si u phẳng

n 1

.

Kí hiệu:

1

1 2 1 [u ,u ,...,u ] n

n

.

Tính chất 1.2.

Tính chất 1.3.

Định nghĩa 1.14. ( Ánh xạ xạ ảnh). Cho hai không gian xạ

ảnh c cùng số chiều là

n

và

'

n

l n lượt li n kết v i hai không

gian vect

n 1 V

và

1

'

n V

Một nh xạ

: ' n n f

được gọi là nh xạ

xạ ảnh nếu c một phép đẳng cấu tuyến tính

1 1 : ' n n V V

sao cho

9

nếu

a

là vect đại diện của đi m

A

của

n

thì

( ) a

là vect đại

diện của đi m

f A( )

thuộc

'

n

.

Định nghĩa 1.15. (Phép chiếu xuyên tâm trong

2

). Trong

m t phẳng xạ ảnh

2

cho hai đường thẳng

1

và

2

và một đi m

O

không thuộc ch ng Một nh xạ

1 2 f :

được x c đ nh như sau:

v i mỗi đi m

M 1

được đ t tư ng ứng v i một đi m

2

f M M ( ) '

, trong đ

M '

là giao của đường thẳng

OM

v i

đường thẳng

2

Ta gọi

f

là phép chiếu xuy n tâm từ đường thẳng

1

l n đường thẳng

2

v i tâm chiếu

O .

Định lý 1.14 ([8]).

Định nghĩa 1.16. (Mô hình xạ ảnh của không gian affine).

Trong không gian xạ ảnh

n

, chọn một si u phẳng

n 1

, gọi

1

\

n n n A

là tập hợp nh ng đi m của

n

mà không thuộc

n 1

. Ta

có

n A

là một không gian affine

n

chiều Đây là là mô hình xạ ảnh

của không gian affine

n

chiều

Định nghĩa 1.17. (Mệnh đề đối ngẫu). iả sử là một mệnh

đề đ ng của hình học xạ ảnh trong không gian xạ ảnh

n

chỉ n i về

các

m

phẳng và quan hệ li n thuộc gi a ch ng Nếu trong ta

thay c c từ

m

phẳng bởi c c từ

( 1) n m

phẳng c n tất cả

c c từ kh c gi nguy n thì ta được một mệnh đề đ ng

*

của hình

học xạ ảnh

n

chiều Mệnh đề

*

được gọi là mệnh đề đối ng u của

mệnh đề .

Nguyên tắc đối ngẫu Trong không gian xạ ảnh

n

nếu là

mệnh đề đ ng thì mệnh đề đối ng u

*

cũng đ ng

Định nghĩa 1.18. (Siêu mặt bậc hai của

n

).

Tính chất 1.4. (Siêu mặt bậc hai trong không gian affine

n A

).