Các định lý giá trị trung bình vi phân và tích phân.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

HỒ THẾ VŨ

CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH

VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số : 60. 46. 0113

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2014

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN GIA ĐỊNH

Phản biện 1: TS. Nguyễn Duy Thái Sơn

Phản biện 2: TS. Hoàng Quang Tuyến

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn

tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại Học Đà Nẵng vào

ngày 15 tháng 06 năm 2014.

Có thể tìm hiểu Luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

Định lý giá trị trung bình Lagrange là một kết quả rất quan

trọng trong giải tích. Nó có nguồn gốc từ định lý Rolle, được chứng

minh bởi nhà toán học người Pháp Michel Rolle (1652-1719) đối với

đa thức vào năm 1691. Định lý này xuất hiện lần đầu trong cuốn sách

Methode pour resoudre les égalitez không có chứng minh và không

có nhấn mạnh đặc biệt nào. Định lý Rolle được sự công nhận khi

Joseph Lagrange (1736-1813) trình bày định lý giá trị trung bình

trong cuốn sách của mình Theorie des functions analytiques váo năm

1797. Nó nhận thêm được sự công nhận khi Augustin Louis Cauchy

(1789-1857) chứng minh định lý giá trị trung bình của ông trong

cuốn sách Equationnes differentielles ordinaires. Hầu hết các kết quả

trong cuốn sách của Cauchy sử dụng định lý giá trị trung bình hoặc

định lý Rolle một cách gián tiếp. Do sự khám phá định lý Rolle

(hoặc định lý giá trị trung bình Lagrange), nhiều bài báo đã xuất hiện

trực tiếp hoặc gián tiếp bàn về định lý Rolle. Gần đây, nhiều phương

trình hàm được nghiên cứu xuất phát từ các định lý giá trị trung bình

và các suy rộng của chúng. Các suy rộng của định lý giá trị trung

bình Lagrange cho vi phân và tích phân đã đem lại nhiều kết quả bất

ngờ và lý thú trong giải tích vào cuối thế kỷ 20 và là nguồn động lực

để các nhà toán học tập trung nghiên cứu trong những năm gần đây.

Cụ thể là các suy rộng vi phân của Flett (1958), McLeod (1964),

Trahan (1966), Sanderson (1972), Samuelsson (1973), Evard-Jafari

(1992), Clarke-Ledyaev (1994), Furi-Martelli (1995); các suy rộng

tích phân của Waymen (1970), Walter (1985), Bullen-Mitrinovic￾Vasis (1988), Kranz-Thews (1991), Bressoud (1994), Sayrafiezadeh

(1995).

2

Xuất phát từ tính thời sự của định lý giá trị trung bình và các

suy suy rộng của nó cho trường hợp tích phân và vi phân và nhu cầu

muốn tìm hiểu về các suy rộng của định lý giá trị trung bình

Lagrange cùng các ứng dụng của chúng trong phương trình hàm, hai

vấn đề quan trọng trong chương trình THPT, đặc biệt là dành cho

khối chuyên toán, chúng tôi quyết định chọn đề tài với tên gọi: Các

định lý giá trị trung bình vi phân và tích phân để tiến hành nghiên

cứu. Vấn đề này luôn mang tính thời sự trong giải tích. Chúng tôi hy

vọng tạo được một tài liệu tham khảo tốt cho những người bắt đầu

tìm hiểu về định lý giá trị trung bình và một số suy rộng của nó với

các ứng dụng trong phương trình hàm và hy vọng tìm ra được một

số ví dụ minh hoạ đặc sắc nhằm góp phần làm phong phú thêm các

kết quả trong lĩnh vực này.

2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu các định lý giá trị trung

bình, một số suy rộng định lý giá trị trung bình cho trường hợp vi

phân và tích phân và các phương trình hàm xuất phát từ chúng và có

thể tạo được tài liệu tham khảo bổ ích cho những người muốn tìm

hiểu về lĩnh vực này.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các định lý giá trị trung

bình và các suy rộng của nó cho vi phân và tích phân. Phạm vi

nghiên cứu của đề tài là các định lý giá trị trung bình Lagrange, tỉ sai

phân, Cauchy, Pompeiu, một số suy rộng định lý giá trị trung bình và

các phương trình hàm liên quan đến chúng cho trường hợp vi phân

và định lý giá trị trung bình tích phân và các suy rộng của nó.

4. Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả

nghiên cứu liên quan đến các suy rộng của định lý giá trị trung bình

3

vi phân, tích phân và các ứng dụng của chúng.

- Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi

các kết quả nghiên cứu. Trao đổi qua email, blog, forum với các

chuyên gia về các định lý gia

trị trung bình vi phân, tích phân và các ứng dụng của chúng.

5. Bố cục đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn

được chia làm hai chương :

- Ở chương 1, chúng tôi sẽ bàn về định lý giá trị trung bình

Lagrange và ba mở rộng cổ điển của nó là định lý giá trị trung bình tỉ

sai phân, định lý giá trị trung bình Cauchy, định lý giá trị trung bình

Pompeiu cùng với nhiều ví dụ minh họa liên quan đến phương trình

hàm. Chúng tôi cũng khảo sát suy rộng của định lý giá trị trung bình

Lagrange và Cauchy cho hàm hai biến, đồng thời giới thiệu các

phương trình hàm kiểu giá trị trung bình.

- Ở chương 2, chúng tôi sẽ bàn về định lý giá trị trung bình

tích phân và các suy rộng của nó. Một số ứng dụng của các định lý

này được đưa ra, như là việc tìm ra các biểu diễn tích phân của các

trung bình số học, hình học, lôgarit, identric và các mở rộng của

chúng. Ở đây, chúng tôi cũng bàn luận tính lặp lại của các trung bình

số học và hình học và một định lý của Kranz và Thews phát biểu

rằng nếu các giá trị trung bình từ định lý giá trị trung bình tích phân

và định lý giá trị trung bình vi phân xảy ra ở cùng một điểm thì hàm

được cho có dạng affine mũ. Chương này cũng bao gồm một số bài

toán mở.

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

- Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên

quan đến Định lý giá trị trung bình Lagrange, các suy rộng của nó

cho trường hợp vi phân cùng với các phương trình hàm liên quan và

4

các định lý giá trị trung bình tích phân cùng với các ứng dụng cho

việc biểu diễn tích phân nhằm xây dựng một tài liệu tham khảo cho

những ai muốn nghiên cứu về các định lý giá trị trung bình vi phân,

tích phân và các ứng dụng.

- Chứng minh chi tiết và làm rõ một số mệnh đề, cũng như đưa

ra một số ví dụ minh hoạ đặc sắc nhằm làm cho người đọc dễ dàng

tiếp cận vấn đề được đề cập.

5

CHƯƠNG 1

CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VI PHÂN

VÀ ỨNG DỤNG

Chương này sẽ trình bày định lý giá trị trung bình của phép

tính vi phân và một số ứng dụng của nó. Hơn nữa sẽ bàn đến nhiều

phương trình hàm được phát triển bằng cách sử dụng định lý giá trị

trung bình. Tất cả các phương trình hàm đề cập trong chương này

được sử dụng theo đa thức đặc trưng. Chương này cũng khảo sát

định lý giá trị trung bình đối với tỷ sai phân và đưa ra một số ứng

dụng trong việc xác định trung bình hàm, chứng minh định lý giá trị

trung bình của Cauchy, định lý giá trị trung bình của Pomeiu và chỉ

ra các phương trình hàm khác nhau có thể là động lực sử dụng các

định lý này nói chung.

1.1. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE VÀ ỨNG

DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH HÀM

Một trong những định lý quan trọng nhất của phép tính vi

phân là định lý giá trị trung bình Lagrange. Định lý này được phát

hiện lần đầu tiên bởi Joseph Louis Lagrange (1736-1813) nhưng ý

tưởng của việc áp dụng định lý Rolle vào một hàm bổ trợ thích hợp

được đưa ra bởi Bonnet Ossian (1819-1892). Tuy nhiên, công bố đầu

tiên của định lý này xuất hiện trong một bài báo của nhà vật lý nổi

tiếng Andre – Marie Ampère (1775-1836). Nhiều kết quả của giải

tích thực cổ điển là hệ quả của định lý giá trị trung bình. Chứng minh

định lý Rolle được dựa trên hai kết quả sau.

Mệnh đề 1.1.1. Nếu một hàm khả vi f : ° ° Æ đạt cực trị tại một

điểm c trong khoảng mở (a,b) thì f c'( ) 0 = .

Mệnh đề 1.1.2. Một hàm liên tục f : ° ° Æ đạt cực trị trên một

khoảng đóng và bị chặn bất kỳ [a,b].

6

Định lý Rolle được phát biểu như sau.

Định lý 1.1.1. Nếu f liên tục trên 1 2 [x x, ] và khả vi trên 1 2 ( x x, )

với 1 2 f ( x ) = f x( ) thì tồn tại một điểm 1 2 h Œ ( x x, ) sao

cho f '(h ) 0 = .

Định lý trung bình Lagrange được tổng quát hóa từ định lý Rolle.

Định lý 1.1.2. Với mỗi hàm giá trị thực f khả vi trên một khoảng I và

với mọi cặp 1 2 x x ¹ trong I, tồn tại một điểm h phụ thuộc vào x1

và x2 sao cho

1 2

1 2

1 2

( ) ( ) '( ( , )). f x f x f x x

x x

h

-

=

-

Chú ý 1.1.

Một số ứng dụng của định lý trung bình Lagrange trong

phương tình hàm.

Bổ đề 1.1.1.

Bổ đề 1.1.2.

Bổ đề 1.1.3.

Bổ đề 1.1.4.

Tiếp theo là một số ví dụ ứng dụng của định lý.

Ví dụ 1.1.1. Định lý giá trị trung bình có thể sử dụng để chứng minh

bất đẳng thức Bernoulli : Nếu x > -1 , thì (1 ) 1 n

+ x ³ + nx

với mọi n Œ ° \ (0,1).

Chứng minh: Đầu tiên, ta giả sử x ³ 0 và đặt ( ) (1 ) n

f t t = + ,

với t x Œ[0, ] .

Do đó hàm f thỏa mãn giả thuyết của định lý giá trị trung

bình và ta có một điểm h Œ (0, ) x với

7

f ( x ) - f (0) = - ( x f 0) '( ) h .

Vậy ta có

1

(1 ) 1 (1 ) n n

x xn h nx

-

+ - = + ³ ,

suy ra (1 ) 1 n

+ x ³ + nx .

Khi chọn -1 0 < < x ta làm tương tự, đặt hàm

( ) (1 ) n

f t t = + , với t x Œ[ , 0].Ta cũng thu được

(1 ) 1 n

+ x ³ + nx .

Vậy, nếu x > -1 , thì (1 ) 1 n

+ x ³ + nx với mọi

n Œ ° \ (0,1) .

Ví dụ 1.1.2.

Ví dụ 1.1.3.

Ví dụ 1.1.4.

Ví dụ 1.1.5.

Ví dụ 1.1.6.

Ví dụ 1.1.7. Định lý giá trị trung bình được sử dụng để giới

thiệu một họ vô hạn của các trung bình, gọi là trung bình Stolarsky

(theo Stolarsky (1975)).

- Trung bình số học

1 2

1 2

... ( , , ..., ) n

n

x x x A x x x

n

+ + +

=

- Trung bình hình học

1 2 1 2 ( , , ..., ) ...

n G n n

x x x = x x x

- Trung bình logarit

1

1

1 2

1

( , , ..., ) ( 1)! ,

n

n

n i i

i

L x x x n t x dt

-

-

G =

È ˘ Ê ˆ

= - Í ˙ Á ˜ Ë ¯ Î ˚ Ú Â

8

trong đó

1 2

1 1

( , , ..., ) / 0 , 1 , 1 ,

n n

n n i i n i

i i

t t t t t t t

= =

Ï ¸ G = Ì ˝ ³ £ = -

Ó ˛ Â Â

1 2 1 ... .

n

d t d t d t d t = -

1.2. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI TỈ SAI PHÂN

VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH HÀM

Trong phần này, chúng ta chứng minh định lý trung bình đối

với tỉ sai phân và trình bày một số ứng dụng đối với việc nghiên cứu

các trung bình. Chúng ta bắt đầu với một biểu diễn tích phân của tỉ

sai phân. Một số kết quả của phần này có thể tìm thấy trong sách của

Isaacson và Keller (1966) và Ostrowski (1973). Trong mục này

( ) n

f

biểu diễn đạo hàm cấp n của hàm f trong khi f ' biểu diễn đạo hàm

cấp một của f .

Trước hết ta định nghĩa tỉ sai phân của hàm f : ° ° Æ như sau

Định nghĩa 1.2. Với các số thực phân biệt 1 2 , , ...,

n

x x x , tỉ sai

phân của hàm f : ° ° Æ được định nghĩa là

[ ] ( ) i i f x = f x

và 1 2 1 2 3

1 2

1

[ , ,..., ] [ , ,..., ] [ , ,..., ] n n

n

n

f x x x f x x x f x x x

x x

- -

=

-

với mọi n³ 2.

Tiếp theo chúng tôi xin giới thiệu định lý giá trị trung bình đối với

tỉ sai phân.

Định lý 1.2.1. Giả sử f : ° ° Æ có đạo hàm cấp n liên tục trong

khoảng min 0 1 { , ,..., }n

x x x £ x £ max 0 1 { , ,..., }n

x x x .

Nếu các điểm 0 1 , ,...,

n

x x x là phân biệt, thì

9

1 1 1

( )

1 2 0 1 0 1

0 0 0 1

... ( ( )) [ , ,..., ]

n

t t n

n

k k k n n

k

dt dt f x t x x dt f x x x

-

-

=

+Â - = Ú Ú Ú

trong đó n ³1.

Định lý 1.2.2. Cho f :[a b, ] Æ ° là một hàm giá trị thực với đạo

hàm cấp n liên tục và 0 1 , ,...,

n

x x x trong [a,b]. Khi đó tồn tại một

điểm h trong khoảng [min 0 1 { , ,..., }n

x x x , max 0 1 { , ,..., }n

x x x ]

sao cho

( )

0 1

( ) [ , ,..., ]

!

n

n

f

f x x x

n

h

=

Chú ý 1.2. Một trung bình hàm ( , ) n M f

a b theo a và b xác định như

sau

(2 1) 1 [ ] [ ] ( , ) ( ) {(2 1)! [ , ]} n n n n M f

a b f n f b a - -

= -

trong đó [n] [n] f [b , a ] = f [b, b,..., , a a a ,..., ]

Ví dụ 1.2.1. Nếu ( ) m

f x x = , trong đó m là một số nguyên dương lớn

hơn hoặc bằng n, khi đó ( , )

2

n

f

a b M a b +

= .

Chứng minh : Nếu ( ) m

f x x = thì có thể chứng tỏ rằng

0 1 1 0 1 1 [ , ,..., ] ... . m m

f x x x x x x - - = + + +

Cho 0 1 1 2 , ... m n

n x x x a = = = = = -

và

1 2 1 ... n n n x x x b = + - = = = trong phương trình trên, ta được

[n] [n] f [b , a ] = + n(a b).