Các chuyên đề luyện thi ĐH cấp tốc!

************TrÇn V¨n Hµ************

Chuyªn ®Ò sè 1: Kh¶o s¸t hµm sè vµ øng dông

Bµi 1: Kh¶o s¸t hµm sè vµ c¸c c©u hái phô

Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí

 Ph¬ng ph¸p kh¶o s¸t hµm sè

 Néi dung c¸c bµi to¸n tiÕp tuyÕn, giíi thiÖu néi dung 3 bµi to¸n tiÕp tuyÕn

 Bµi to¸n sù t¬ng giao gi÷a c¸c ®å thÞ cña hµm sè, ®iÒu kiÖn ®Ó 2 ®êng cong tiÕp xóc

 C¸c bµi to¸n vÒ cùc trÞ cña hµm sè: Hµm ®a thøc, hµm ph©n thøc ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i

qua c¸c ®iÓm cùc trÞ

 X©y dùng ®iÒu kiÖn ®Ó hµm sè ®ång biÕn hay nghÞch biÕn trªn mét kho¶ng hay mét ®o¹n

C¸c vÝ dô

Bµi 1: Cho hµm sè

(1)

3

5 6

2 2

+

+ + +

=

x

x x m

y

1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña ®å thÞ cña hµm sè víi m = 0

2) T×m m ®Ó hµm sè ®ång biÕn trªn kho¶ng (1;+∞)

Bµi 2: Cho hµm sè

(1)

1

2 2

2

−

− +

=

x

x x

y

1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña ®å thÞ cña hµm sè

2) T×m to¹ ®é 2 ®iÓm A,B n»m trªn (C ) vµ ®èi xøng nhau qua ®êng th¼ng x-y+4=0

Bµi 3: Cho hµm sè

(1)

1

2 2

2

−

− +

=

x

x mx

y

1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña ®å thÞ cña hµm sè khi m=1

2) T×m m ®Ó hµm sè (1) cã 2 ®iÓm cùc trÞ A,B . CMR khi ®ã ®êng th¼ng AB song song víi ®-

êng th¼ng 2x-y-10=0

Bµi 4: Cho hµm sè

( ) 3 (1)

3

y = x −m − x

1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña ®å thÞ cña hµm sè khi m=1

2) T×m m ®Ó hµm sè ®· cho ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x=0

3) T×m k ®Ó hÖ sau cã nghiªm











+ − ≤

− − − <

log ( 1) 1

3

1

log

2

1

1 3 0

3

2

2

2

3

x x

x x k

Bµi 5: Cho hµm sè

(1)

3

1

2 2

3

1 3 2

y = x + mx − x − m −

1) Cho m =1/2 Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña ®å thÞ cña hµm sè , ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña

®å thÞ hµm sè biÕt r»ng tiÕp tuyÕn ®ã song song víi ®êng th¼ng D: y=4x+2

2) T×m m thuéc kho¶ng (0;5/6) sao cho h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ hµm sè (1) vµ c¸c ®-

êng th¼ng x=0, x=2, y=0 cã diÖn tÝch b»ng 4

Bµi 6: Cho hµm sè

(1)

2 1 3

2 2

x m

x mx m

y

−

+ + −

=

1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña ®å thÞ cña hµm sè m=1

2) T×m m ®Ó hµm sè cã 2 ®iÓm cùc trÞ n»m vÒ 2 phÝa cña trôc tung

Bµi 7: Cho hµm sè

(1)

1

( 2)

2

+

+ + −

=

x

x m x m

y

1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña ®å thÞ cña hµm sè m=-1

2) T×m m ®Ó ®êng th¼ng y=-x-4 c¾t ®å thÞ hµm sè (1) t¹i 2 ®iÓm ®èi xøng nhau qua ®êng

th¼ng y=x

Bµi 8: Cho hµm sè

(1)

1

1

−

+

=

x

x

y

1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña ®å thÞ cña hµm

2) T×m m ®Ó ®êng th¼ng D:y=2x+m c¾t (C ) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt A,B sao cho tiÕp tuyÕn cña

(C ) t¹i A, B song song víi nhau

3) T×m tÊt c¶ c¸c ®iÓm M thuéc (C ) sao cho kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn giao ®iÓm 2 ®êng tiÖm

cËn lµ ng¾n nhÊt

Bµi 9: Cho hµm sè

(1)

1

2 1

−

−

=

x

x

y

1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña ®å thÞ cña hµm sè

2) Gäi I lµ giao ®iÓm 2 ®êng tiÖm cËn ña (C ) T×m ®iÓm M thuéc (C) sao cho tiÕp tuyÕn t¹i

M vu«ng gãc víi dêng th¼ng IM

Bµi 10: Cho hµm sè

2 1 (1)

4 2 2

y =x − m x +

1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña ®å thÞ cña hµm sè khi m=1

2) T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè (1) cã 3 ®iÓm cùc trÞ lµ 3 ®Ønh cña mét tam gi¸c vu«ng c©n

Bµi 11 Cho hµm sè

(1)

1

2

+

+

=

x

x

y

TrÇn V¨n Hµ 1

************TrÇn V¨n Hµ************

Cho ®iÓm A(0;a). X¸c ®Þnh a ®Ó tõ A kÎ ®îc 2 tiÕp tuyÕn tíi (C) sao cho 2 tiÕp ®iÓm t¬ng øng

n»m vÒ 2 phÝa ®èi víi trôc Ox

HD a# -1 va a> -2 cã 2 nghiÖm ph©n biªt

Y1.y2<0 §S a>-2/3 vµ a kh¸c 1

Bµi 2: øng dông cña kh¶o s¸t hµm sè

Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí

 Ph¬ng ph¸p t×m GTLN,GTNN trªn mét kho¶ng, mét ®o¹n

 X¸c ®Þnh tham sè ®Ó c¸c ph¬ng tr×nh hoÆc bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm VD

F(x)=m  m thuéc [MaxF(X); minF(x)]

F(x)>m víi mäi x . .<=> m<minF(x)

F(x)>m cã ngiÖm . .<=> m<MaxF(x) . . .

 Chó y khi ®æi biÕn ph¶i t×m §K cña biÕn míi cã thÓ sö dông ph¬ng ph¸p miÒn gi¸ trÞ

C¸c vÝ dô

Bµi 1: T×m GTLN,GTNN cña hµm sè trªn ®o¹n [-1;2]

1

1

2

+

+

=

x

x

y

Bµi 2: T×m GTLN,GTNN cña hµm sè trªn ®o¹n [1;e3

]

x

x

y

2

ln

=

Bµi 3: T×m GTLN,GTNN cña hµm sè trªn ®o¹n [-1;1] 6 2 3

y = x +4(1− x )

Bµi 4: T×m m ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm víi mäi x thuéc [-1/2;3]

(1 2 ).(3 ) (2 5 3)

2

+ x −x >m + x − x +

HD §Æt t= (1+2x).(3−x) Tõ miÒn x¸c ®inh cña x suy ra 











∈

4

7 2

t 0;

BiÕn ®æi thµnh f(t)=t2+t>m+2

T×m miÒn gi¸ trÞ cña VT m<-6

Bµi 5: T×m a nhá nhÊt ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh sau tho¶ m·n víi mäi x thuéc [0;1]

2 2 2

a.(x + x −1) ≤ (x + x +1)

HD §Æt t=x2+x dïng miÒn gi¸ trÞ suy ra a=-1

Bµi 6: T×m m ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm

x + x +1 + x − x +1 = m

2 2

HD -1<m<1

Bµi 7: T×m m ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm víi mäi x

36 24 12 0

3cos 5.cos3 36.sin 15cos

2

4 2

+ − ≥

− − − +

m m

x x x x

HD §Æt t=cosx BBT 0<=m<=2

Bµi 8: T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm trªn [-π/2; π/2]

2

2 + 2sin 2x = m(1+cos x)

Bµi 9: T×m GTLN,GTNN cña hµm y 2sin x cos 2x

8 4

= +

HD : 3 vµ 1/27

Bµi 10: T×m GTLN,GTNN cña hµm 2 2 (4 4 ) voi 0 x 1 x x x x

y

− − = + − + ≤ ≤

HD : 3 vµ 1/27

Bµi 3: TÝnh giíi h¹n cña hµm sè, tÝnh ®¹o hµm b»ng ®Þnh nghÜa

Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí

 Ph¬ng ph¸p tÝnh giíi h¹n cña hµ sè: c¸c d¹ng v« ®Þnh

 TÝnh liªn tôc cña hµm sè t¹i mét ®iÓm, liªn tôc bªn tr¸i liªn tôc bªn ph¶i

 §¹o hµm cña hµm sè t¹i mét ®iÓm, ®¹o hµm bªn tr¸i bªn ph¶i

C¸c vÝ dô

Bµi 1: Bµi to¸n giíi h¹n hµm sè

1) T×m giíi h¹n

x

x x

I

x

3

0

1 1

lim + + −

=

→

2) T×m giíi h¹n

3 2

2

1

5 7 lim

x 1

x x I

→ x

− − +

=

−

3) T×m giíi h¹n

x

x x

I

x 1 cos

3 1 2 1

lim

3 2 2

0 −

− + +

=

→

4) T×m giíi h¹n

3

2

0

3 2

0

3

7 4

1 2 1 3 lim

1 2 1 lim

2 20 lim

9 2

x

x

x

x x I

x

x x I

sinx

x x I

x

→

→

→

+ − +

=

+ − +

=

+ − +

=

+ −

TrÇn V¨n Hµ 2