Bài tập phân tích tính phổ của tín hiệu số

Ch ng ba ươ

ứ ụ ế đổ ng d ng bi n i Fourier phân tích tín hi u s v h x lý s ệ ố ệ ử ố à

Giáo trình lý thuyết mạch đã nghiên cứu biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục. Chương ba trình bầy biến đổi Fourier của dãy

số và ứng dụng của nó để phân tích phổ của tín hiệu số và đặc tính tần số của hệ xử lý số.

3.1 bi n i ế đổ Fourier c a dãy s ủ ố

3.1.1 Biến đổi Fourierthuận

3.1.1a Định nghĩa : N u dãy ế x(n) tho mãn i u ki n : ả đ ề ệ

∑ < ∞

∞

n=−∞

x(n) [3.1-1]

thì s t n t i phép bi n i ẽ ồ ạ ế đổ Fourier nh sau : ư

j n

n

j

X e x n e

.

( ) ( )

ω − ω

∞

=−∞

= ∑ [3.1-2]

Bi n i ế đổ Fourier ã chuy n dãy s đ ể ố x(n) th nh h m ph c à à ứ X(ejω

), [3.1-2] l bi u th c bi n i à ể ứ ế đổ Fourier thu n v ậ à

đượ ệ ư c ký hi u nh sau :

[ ( )] ( )

∞

=

j FT x n X e [3.1-3]

hay : ( ) ( ) FT → j∞

x n X e [3.1-4]

(FT l ch vi t t t c a thu t ng ti ng Anh à ữ ế ắ ủ ậ ữ ế Fourier Transform).

Ký hi u ệ X(ejω

) phân bi t phép bi n i để ệ ế đổ Fourier c a dãy s ủ ố x(n) [ ( )] ( )

∞

=

j FT x n X e v i phép bi n i ớ ế đổ

Fourier c a h m liên t c ủ ụ à x(t) :

∫

∞

−∞

−

•

FT x t = = x t e dt j t

X

ω

[ ( )] (ω) ( ). .

Bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Fourier c a dãy s ủ ố x(n) [3.1-2] l su t phát t bi u th c bi n i à ấ ừ ể ứ ế đổ Fourier c a h m liên t c ủ ụ à

x(t), vì khi h m d i d u tích phân l dãy r i r c thì ph i thay d u tích phân b ng d u t ng . à à ướ ấ ờ ạ ả ấ ằ ấ ổ

Do tính ch t tu n ho n c a h m m ấ ầ ủ ũ à à e

jω

, nên X(ejω

) l h m tu n ho n c a bi n à à à ầ ủ ế ω v i chu k ớ ỳ 2π :

( ) ( ) ( ) ( )

(ω .2π ) (ω .2π ). jω.n jω

n

j k n

n

j k

X e = x n e = x n e = X e

−

∞

=−∞

− +

∞

=−∞

+ ∑ ∑

Đ ề đ ĩ ỉ ầ ứ ầ ố i u ó có ngh a l ch c n nghiên c u h m t n s à à X(ejω

) c a các dãy r i r c ủ ờ ạ x(n) v i ớ ω ∈ (-π , π ) ho c ặ ω ∈ (

0 , 2π ).

S d ng bi n i ử ụ ế đổ Fourier cho phép nghiên c u ph c a tín hi u s v c tính t n s c a h x lý s . N u ứ ổ ủ ệ ố đặ ầ ố ủ ệ ử ố ế à

x(n) l tín hi u s thì à ệ ố [ ( )] ( )

∞

=

j FT x n X e l ph c a tín hi u à ổ ủ ệ x(n), còn v i ớ h(n) l c tính xung c a h x lý s thì à đặ ủ ệ ử ố

[ ( )] ( )

∞

=

j FT h n H e l c tính t n s c a h x lý s . à đặ ầ ố ủ ệ ử ố

3.1.1b Sự tồn tại của biến đổi Fourier

Theo nh ngh a, bi n i đị ĩ ế đổ Fourier thu n ậ [3.1-2] ch t n t i n u dãy ỉ ồ ạ ế x(n) tho mãn i u ki n kh t ng tuy t ả đ ề ệ ả ổ ệ

đối [3.1-1]. i u ó có ngh a l , n u dãy Đ ề đ ĩ ế à x(n) tho mãn i u ki n ả đ ề ệ [3.1-1] thì chu i ỗ [3.1-2] s h i t v h m ẽ ộ ụ ề à X(ejω

), nên

x(n) t n t i bi n i ồ ạ ế đổ Fourier. Ng c l i, n u dãy ượ ạ ế x(n) không tho mãn i u ki n ả đ ề ệ [3.1-1] thì chu i ỗ [3.1-2] s phân k , ẽ ỳ

vì th h m ế à X(ejω

) không t n t i v ồ ạ à x(n) không có bi n i ế đổ Fourier.

Các tín hi u s ệ ố x(n) có n ng l ng h u h n : ă ượ ữ ạ

= ∑ < ∞

∞

n=−∞

x E x n

2

( ) [3.1-5]

luôn th a mãn i u ki n ỏ đ ề ệ [3.1-1] , do ó luôn t n t i bi n i đ ồ ạ ế đổ Fourier.

Ví dụ 3.1 : Hãy xét s t n t i v tìm bi n i ự ồ ạ ế đổ à Fourier c a các dãy sau : ủ

a. u(n) b. 2 u(n)

n

c. 2 u(n)

−n

d. δ (n) e. δ (n − k) f. rect (n) N

119