Bài tập Đại số đại cương

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o

®¹i häc huÕ

tr−êng ®¹i häc khoa häc

nguyÔn gia ®Þnh

BµI TËP

§¹I Sè §¹I C¦¥NG

R Imϕ

R/Kerϕ

π ϕ

ϕ

huÕ − 2007

BAI T ` Aˆ

. P CHU.

O

.

NG I – NHOM´

1. Trˆen tˆa.p ho.

. p Q c´ac sˆo´ h˜u.

u tı’, x´et ph´ep to´an ∗ x´ac d¯i.nh nhu. sau:

∀a, b ∈ Q, a ∗ b = a + b + ab.

a) Q c`ung ph´ep to´an ∗ c´o pha’i l`a mˆo.t nh´om khˆong? Ta.i sao?

b) Ch´u.

ng minh Q \ {−1} c`ung ph´ep to´an ∗ ta.o th`anh mˆo.t nh´om.

2. Ch´u.

ng minh tˆa.p ho.

. p G = {(a, b) | a, b ∈ R, b 6= 0} c`ung ph´ep to´an k´y hiˆe.u

nhˆan

∀(a, b),(a0

, b0

) ∈ G, (a, b)(a0

, b0

)=(ab0 + a0

, bb0

)

l`a mˆo.t nh´om v`a H = {(a, 1) | a ∈ R} l`a mˆo.t nh´om con cu’a G.

3. Cho G = R∗ × R (v´o.

i R l`a tˆa.p ho.

. p c´ac sˆo´ thu.

. c v`a R∗ = R \ {0}) v`a ∗ l`a ph´ep

to´an trˆen G x´ac d¯i.nh bo.

’ i:

(x, y) ∗ (x0

, y0

)=(xx0

, xy0 + y

x0

).

a) Ch´u.

ng minh r˘a`ng (G, ∗) l`a mˆo.t nh´om.

b) Ch´u.

ng to’ r˘a`ng v´o.

i bˆa´t k`y k ∈ R, tˆa.p ho.

. p Hk = {(x, k(x − 1

x )) | x ∈ R∗}

l`a mˆo.t nh´om con giao ho´an cu’a G.

c) H˜ay x´ac d¯i.nh tˆam Z(G) cu’a G.

4. Trˆen tˆa.p ho.

. p G = [0, 1) = {x ∈ R | 0 ≤ x < 1}, x´et ph´ep to´an ⊕ nhu. sau:

∀x, y ∈ G, x ⊕ y = x + y − [x + y] (o.

’ d¯ˆay [x + y] l`a phˆa`n nguyˆen cu’a x + y).

a) Ch´u.

ng minh (G, ⊕) l`a mˆo.t nh´om abel.

b) Ch´u.

ng minh r˘a`ng ´anh xa. f : G −→ C∗ x´ac d¯i.nh bo.

’ i f(x) = cos 2πx +

isin 2πx, l`a mˆo.t d¯ˆo`ng cˆa´u nh´om, trong d¯´o C∗ l`a nh´om nhˆan c´ac sˆo´ ph´u.

c kh´ac 0.

5. Ch´u.

ng minh r˘a`ng mˆo.t nh´om m`a khˆong c´o nh´om con thu.

. c su.

. l`a nh´om d¯o.

n

vi. ho˘a.c l`a nh´om cyclic c´o cˆa´p nguyˆen tˆo´.

6. Cho G l`a mˆo.t nh´om v`a H l`a mˆo.t nh´om con chuˆa’n t˘a´c cu’a G sao cho H ⊂

Z(G). Ch´u.

ng minh r˘a`ng nˆe´u G/H l`a mˆo.t nh´om cyclic th`ı G l`a nh´om abel.

7. Cho G l`a mˆo.t nh´om nhˆan v`a H l`a mˆo.t nh´om con cu’a G. Ch´u.

ng minh:

a) Nˆe´u [G : H] = 2 th`ı H/G.

b) Nˆe´u H/G v`a [G : H] = m th`ı am ∈ H, ∀a ∈ G.

Typeset by AMS-TEX

8. Cho G l`a mˆo.t nh´om nhˆan, A v`a B l`a hai nh´om con cu’a G. K´y hiˆe.u:

AB = {ab | a ∈ A v`a b ∈ B}, BA = {ba | b ∈ B v`a a ∈ A}.

Ch´u.

ng minh r˘a`ng AB l`a mˆo.t nh´om con cu’a G khi v`a chı’ khi AB = BA.

9. Cho G l`a mˆo.t nh´om, A, B, C l`a c´ac nh´om con cu’a G. Ch´u.

ng minh:

a) A ∩ B l`a mˆo.t nh´om con cu’a G.

b) A ∪ B l`a nh´om con cu’a G khi v`a chı’ khi A ⊂ B ho˘a.c B ⊂ A.

c) Nˆe´u C ⊂ A ∪ B th`ı C ⊂ A ho˘a.c C ⊂ B.

10. Cho G l`a mˆo.t nh´om nhˆan c´o t´ınh chˆa´t: ∀x ∈ G, x2 = 1, v´o.

i 1 l`a phˆa`n tu.

’

trung ho`a cu’a nh´om G. Ch´u.

ng to’ r˘a`ng:

a) G l`a mˆo.t nh´om aben.

b) Nˆe´u G l`a nh´om h˜u.

u ha.n th`ı tˆo`n ta.i sˆo´ tu.

. nhiˆen n sao cho sˆo´ phˆa`n tu.

’ cu’a

nh´om G b˘a`ng 2n.

11. Cho G l`a mˆo.t nh´om v`a A, B, C, K l`a c´ac nh´om con cu’a G. Ch´u.

ng minh

r˘a`ng:

a) Nˆe´u A ⊂ C th`ı AB ∩ C = A(B ∩ C). (Lu.

u ´y r˘a`ng AB khˆong nhˆa´t thiˆe´t

l`a mˆo.t nh´om con cu’a G.)

b) Nˆe´u A ⊂ B, A ∩ K = B ∩ K v`a AK = BK th`ı A = B.

12. a) X´et tru.

`o.

ng Z13 c´ac sˆo´ nguyˆen mˆod¯ulˆo 13. H˜ay lˆa.p ba’ng nhˆan cu’a Z13.

Ch´u.

ng to’ r˘a`ng Z∗

13 = Z13 \ {0} l`a mˆo.t nh´om cyclic.

b) X´et tru.

`o.

ng R c´ac sˆo´ thu.

. c. Khi d¯´o R∗ = R \ {0} c´o pha’i l`a mˆo.t nh´om

cyclic khˆong?

13. Trong nh´om nhˆan C∗ c´ac sˆo´ ph´u.

c kh´ac khˆong, h˜ay x´ac d¯i.nh nh´om con

cyclic sinh bo.

’ i phˆa`n tu.

’ x ∈ C∗, trong d¯´o

a) x = −

√2

2 +

√2

2 i,

b) x = cos

4π

7 + isin

4π

7 .

14. Cho S3 l`a tˆa.p ho.

. p tˆa´t ca’ c´ac ho´an vi. cu’a tˆa.p ho.

. p {1, 2, 3}.

a) H˜ay lˆa.p ba’ng nhˆan cu’a S3, ch´u.

ng to’ S3 l`a mˆo.t nh´om.

b) T`ım tˆa´t ca’ c´ac nh´om con chuˆa’n t˘a´c cu’a S3.

c) Cho G1 v`a G2 l`a hai nh´om c´o cˆa´p lˆa`n lu.

o

.

.t l`a 24 v`a 30. Cho G3 l`a nh´om

khˆong giao ho´an v`a l`a a’nh d¯ˆo`ng cˆa´u cu’a ca’ G1 v`a G2. Mˆo ta’ nh´om G3 (qua

ph´ep d¯˘a’ ng cˆa´u).

15. X´et nh´om Q c´ac sˆo´ h˜u.

u tı’ v´o.

i ph´ep cˆo.ng thˆong thu.

`o

.

ng. Ch´u.

ng minh r˘a`ng:

3

a) Q khˆong l`a nh´om cyclic;

b) Q/Z c´o d¯˘a’ ng cˆa´u v´o.

i Q khˆong?

16. K´y hiˆe.u H =

n m b

0 1



∈ GL(2,Z7) | m, b ∈ Z7, m = ±1

o

, trong d¯´o

GL(2,Z7) l`a nh´om nhˆan c´ac ma trˆa.n vuˆong cˆa´p 2 kha’ nghi.ch lˆa´y hˆe. sˆo´ trˆen

tru.

`o.

ng Z7 c´ac sˆo´ nguyˆen mˆod¯ulˆo 7. Ch´u.

ng minh r˘a`ng:

a) H l`a nh´om con cu’a nh´om GL(2,Z7) c´o 14 phˆa`n tu.

’ .

b) Mo.i phˆa`n tu.

’ cu’a H c´o thˆe’ viˆe´t d¯u.

o.

. c duy nhˆa´t du.

´o.

i da.ng Ai

Bj, trong

d¯´o 0 ≤ i < 7, 0 ≤ j < 2 v`a A =

 1 1

0 1



, B =

−1 0

0 1



.

17. Cho G l`a nh´om nhˆan d¯u.

o

.

. c sinh bo.

’ i hai phˆa`n tu.

’ x v`a y v´o.

i c´ac quan hˆe.:

x3 = y2 = (xy)2 = 1.

a) X´ac d¯i.nh c´ac phˆa`n tu.

’ cu’a nh´om G v`a lˆa.p ba’ng nhˆan cu’a G.

b) T`ım tˆa´t ca’ c´ac nh´om con cu’a nh´om G.

18. Cho G l`a nh´om v´o.

i ph´ep nhˆan ma trˆa.n, d¯u.

o

.

. c sinh bo.

’ i hai ma trˆa.n hˆe. sˆo´

thu.

. c A =

 0 1

−1 0 

v`a B =

 0 1

1 0 

.

a) X´ac d¯i.nh c´ac phˆa`n tu.

’ cu’a nh´om G.

b) T`ım tˆa´t ca’ c´ac nh´om con cu’a G.

19. Cho G l`a mˆo.t nh´om nhˆan v`a n l`a mˆo.t sˆo´ nguyˆen du.

o

.

ng sao cho

fn : G −→ G : x 7→ xn

l`a mˆo.t to`an cˆa´u nh´om. Ch´u.

ng minh r˘a`ng:

a) xn−1y = yxn−1, ∀x, y ∈ G.

b) V´o.

i n = 3, G l`a mˆo.t nh´om aben.

20. Cho G l`a mˆo.t nh´om sao cho c´o mˆo.t sˆo´ nguyˆen n > 1 thoa’ m˜an (xy)n =

xnyn, ∀x, y ∈ G. Go.i G(n) = {xn | x ∈ G} v`a G(n) = {x ∈ G | xn = 1}.

Ch´u.

ng minh r˘a`ng:

a) G(n) / G v`a G(n) / G.

b) G/G(n) ∼= G(n).

21. a) Cho H l`a nh´om con cu’a nh´om nhˆan C∗ = C \ {0} gˆo`m c´ac sˆo´ ph´u.

c c´o

mˆod¯un b˘a`ng 1, R∗

+ l`a nh´om nhˆan gˆo`m c´ac sˆo´ thu.

. c du.

o.

ng. Ch´u.

ng minh r˘a`ng

C∗/H d¯˘a’ ng cˆa´u v´o.

i R∗

+.

4

b) Cho f : G −→ H l`a mˆo.t to`an cˆa´u nh´om, M l`a mˆo.t nh´om con chuˆa’n t˘a´c

cu’a H , N = f −1(M). Ch´u.

ng minh r˘a`ng N l`a nh´om con chuˆa’n t˘a´c cu’a G v`a

G/N d¯˘a’ ng cˆa´u v´o.

i H/M.

22. Ch´u.

ng minh r˘a`ng:

a) Nˆe´u G l`a nh´om cyclic th`ı Aut(G) l`a nh´om aben.

b) Nˆe´u G l`a nh´om cyclic cˆa´p p nguyˆen tˆo´ th`ı Aut(G) l`a cyclic cˆa´p p − 1.

23. Cho f : G −→ K l`a mˆo.t d¯ˆo`ng cˆa´u nh´om. Ch´u.

ng minh r˘a`ng:

a) Nˆe´u cˆa´p cu’a G l`a h˜u.

u ha.n th`ı cˆa´p cu’a f(G) chia hˆe´t cˆa´p cu’a G.

b) Nˆe´u H l`a nh´om con c´o chı’ sˆo´ n trong G, Kerf ⊂ H v`a f l`a to`an cˆa´u th`ı

f(H) c´o chı’ sˆo´ n trong K.

24. Cho G l`a mˆo.t nh´om, Cg : G −→ G l`a ´anh xa. v´o.

i g ∈ G x´ac d¯i.nh bo.

’ i Cg(x) =

gxg−1. Go.i Aut(G) = {f : G −→ G | f l`a d¯˘a’ ng cˆa´u } , Inn(G) = {Cg | g ∈ G}.

Ch´u.

ng to’ r˘a`ng:

a) Cg l`a mˆo.t tu.

. d¯˘a’ ng cˆa´u, Aut(G) l`a mˆo.t nh´om v´o.

i ph´ep to´an ho.

. p th`anh

v`a Inn(G) l`a mˆo.t nh´om con chuˆa’n t˘a´c cu’a Aut(G).

b) Z(G) = {a ∈ G | ax = xa , ∀x ∈ G} l`a mˆo.t nh´om con chuˆa’n t˘a´c cu’a G

(go.i l`a tˆam cu’a nh´om G) v`a G/Z(G) ∼= Inn(G).

25. Cho G l`a mˆo.t nh´om, v´o.

i x, y ∈ G, k´y hiˆe.u [x, y] = x−1y−1xy (go.i l`a giao

ho´an tu.

’ cu’a x v`a y). Go.i [G, G] l`a nh´om con cu’a G sinh ra bo.

’ i tˆa.p {[x, y] | x, y ∈

G}. Ch´u.

ng minh r˘a`ng:

a) [G, G] l`a nh´om con chuˆa’n t˘a´c nho’ nhˆa´t cu’a G sao cho G/[G, G] l`a aben.

b) [xy, z] = y−1[x, z]y[y, z], ∀x, y, z ∈ G;

c) Nˆe´u [G, G] ⊂ Z(G) (tˆam cu’a G) th`ı v´o.

i a ∈ G, ´anh xa. f : G −→ G x´ac

d¯i.nh bo.

’ i f(x)=[x, a] l`a mˆo.t d¯ˆo`ng cˆa´u. T`ım Ker(f).

d) H˜ay x´ac d¯i.nh [S3, S3], trong d¯´o S3 l`a nh´om c´ac ho´an vi. cu’a 3 sˆo´ 1, 2, 3

v`a ch´u.

ng minh S3/S0

3 ∼= Z2.

26. Cho G l`a mˆo.t nh´om, a ∈ G l`a phˆa`n tu.

’ c´o cˆa´p h˜u.

u ha.n n. Ch´u.

ng minh

r˘a`ng v´o.

i mo.i sˆo´ nguyˆen du.

o.

ng m, cˆa´p cu’a phˆa`n tu.

’ am l`a

ord (am) = n

(m, n) ,

trong d¯´o (m, n) l`a u.

´o.

c chung l´o.

n nhˆa´t cu’a m v`a n.

27. a) Cho G =<g> l`a nh´om cyclic cˆa´p 168. T`ım cˆa´p cu’a phˆa`n tu.

’ g132.

b) T`ım tˆa´t ca’ c´ac phˆa`n tu.

’ cˆa´p 14 cu’a nh´om cˆo.ng Z140 c´ac sˆo´ nguyˆen mˆod¯ulˆo

140.

5