Xử lý số tín hiệu

NG)~ CL

i & é ý

' i n

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1: TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC

LỜI NÓI ĐẦU................................................................ .................................................5

1. Nhập môn..................................................................................................................... 6

1.1. Khái niệm về tín hiệu.............................................................................................6

1.2. Phân loại tín hiệu................................................ .................................................. 6

2. Tín hiệu thời gian-rời rạc.........................................................................;.............. ...7

2.1. Các dãy cơ sở .........................................................................................................9

2.2. Các phép toán đối với các dãy số....................................................................... 12

2.2.1. Phép dịch tuyến tính ............................................................................... 12

2.2.2. Tổng đại số của các dãy...............................................................................13

2.2.3. Phép nhân các dãy................................................................. ......................13

2.2.4. Phép nhân một dãy với hằng số...................................................................13

3. Các hệ thống tuyến tính bất biến................................................................................14

3.1. Các hệ thống thời gian-rời rạc..........................................................................14

3.2. Các hệ thống không có nhớ..............................................................................14

3.3. Các hệ thống tuyến tính................................................................................... 15

3.4. Các hệ thống bất biến với thời gian................................................................. 16

3.5. Tính chất nhân quả..............................................................................................17

3.6. Tính ổn định..... ....................;............................................................................. 17

3.7. Các hệ thống tuyến tính và bất biến với thời gian.......................................... 18

4. Các phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng...................................................... 20

5. Tương quan của các tín hiệu....................................... .............................................. 23

5.1. Hàm tương quan..................................................................................................23 ì

5.2. Hàm tự tương quan..............................................................................................26

CHƯƠNG 2: BIÊU DIỄN HỆ THỐNG VÀ TÍN HIỆU

RỜI RẠC TRONG MIÈN z

1. Mờ đầu......................................................................................................................... 30

2. Biến đổi z .....................................................................................................................30

2.1. Biến đổi z thuận................................................................................................... 30

2.1.1. Biến đổi z hai phía.......................................................................................30

2.1.2. Biển đổi z một phía...................................................................................... 31

2.2. Miền hội tụ của biến đổi z........ ..........................................................................32

2.3. Hàm X(z) dạng phân thức hữu tỷ...............................................,......................... 32

3. Biến đổi z ngược.........................................................!............................................... 32

3.1. Phương pháp thặng dư....... L........................................................ị....................33

3.2. Phương pháp khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa............................................ 35

3.3. Phương pháp phân tích X(z) thành tổng các phân thức.....................................35

c c o ọ .o -9 $

1

#

3.3.1. Trường hợp hàm X(z) chỉ có các cực đơn là số thực.....................................36

3.3.2. Trường hợp hàm X(z) có nhiều cực dạng phức tạp....................................37

4. Tính chất của biến đổi z .................................. "............................................................ 39

4.1. Tính chất tuyến tính............................................................................................... 39

4.2. Tính chật trễ ...........................................................................................................40

4.3. Tính chất tỷ lệ.........................................................................................................40

4.4. Tính chất biến đảo................................................................................................. 41

4.5. Tính chất đạo hàm ................................................................................................. 41

4.6. Tính chất tích chập..... .......................................................................................... 41

4.7. Hàm ảnh z của tích hai dãy................................................................................... 42

4.8. Định lý giá trị đầu của dãy nhân quả....................................................................42

4.9. Hàm ảnh z của dãy liên hợp phức........................................................................ 42

4.10. Biến đổi z của hàm tương quan rXy(m)...............................................................42

4.11. Biến đổi z của hàm tự tương quan rx(m)............................................................ 42

4.12. Bảng các biến đổi z cơ bản.................................................................................43

5. Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền z ............................ 44

5.1. Hàm truyền đạt...................................................................................................... 44

5.^.1. Miền n......................... 44

5.1.2. lyiiên z ............................................................................................................. 44

5.2. Liên hệ với phương trình sai phân........................................................................45

5.3. Thực hiẹn hệ thqng................................................................................................45

5.3.1. Phần tử trễ.......................................................................................................45

5.3.2. Phẳn tử cộng..................................................................................................46

5.3.3. Phần tử nhân với hằng số.............................................................................. 46

5.4. Cách mắc sơ đồ hệ thống trong miền z................................................................46

5.5. Độ ổn định..............................................................................................................47

CHƯƠNG 3: BIỂU DIỄN HỆ THỐNG VÀ TÍN HIỆU

RỜI RẠC TRONG MIÊN TẦN SÓ LIÊN TỤC

1. Mở đầu...........................................................................................................................52

2. Biến đổi Fourier của các tín hiệu rời rạc.................................................................... 52

2.1. Biến đổi Fourier thuận......................................................................................... 52

2.2. Sự tồn tại của biến đổi Fourier.............................................................................53

2.3. Các dạng biểu diễn của hàm X ( é 10) ...................................................................... 53

2.3.1. Dạng phần thực và phần ảo...........................................................................53

2.3.2. Dạng mô đun và argument............................................................................54

2.3.3. Dạng độ lớn và pha........................................................................................54

2.4. Biếri đổi Fourier ngược........................................................................................ 55

3. Các tính chất của biến đổi Fourier...............................................................................56

3.1. Tính chất tuyến tính...............................................................................................56

3.2. Tính chất trễ ....................... 56

3.3. Tính chất trễ của hàm tần s ố .................................................................................57

3.4. Tính chất biến đảo.................................................................................................57

3.5. Hàm tần sổ của tích chập hai dãy......................................................................... 57

3.6. Hàm tần số của tích hai dãy................................................................................57

3.7. Công thức Parseval..............................................................................................58

3.8. Đạo hàm của hàm tần số..................................................................................... 58

3.9. Phổ tần số của hàm tương quan rXy(m)...............................................................58

3.10. Phổ tần số của hàm tự tương quan rx(m )................................... ..................... 59

4. Quan hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi z ..............................................................59

5. Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục............................... 60

5.1. Đặc tính tần số và hàm truyền đạt phức của hệ xử lý số tuyến tính bất biến nhân

quả (TTBBNQ)...............................!............ ............................................................60

* 5.2. Đặc tính biên độ tần số và đặc tính pha tần số................................................... 60

5.3. Tìm hàm truyền đạt phức H (ém) theo phương trình sai phân............................ 62

5.4. Phân tích hệ xử lý số theo hàm truyền đạt phức H(eía>) ......................................62

6. Lấy mẫu tín hiệu.......................................................................................................... 63

6.1. Định lý lấy m ẫu.................................................. .................................................63

6.2. Phổ của tín hiệu liên tục x(t) và phổ của tín hiệu lấy m ẫux(n.T)............ 63

CHƯƠNG 4: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THÓNG

RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC

1. Mở đầu............................................................. .......................................................... 70

2. Biến đổi Fourier rời rạc đối với các tín hiệu tuần hoàn có chu k ỳ ........................... 70

3. Biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn.....72

3.1. Biến đổi Fourier rời rạc (DFT)........................................................................ ...72

3.2. Quan hệ giữa DFT với FT và Z T ...................................................................... 75

3.2.1. Quan hệ giữa DFT với FT và ZT, khái niệm về lấy mẫu tần số ................75

3.2.2. Nội suy hàm X(z) từ N mẫu của dàyDFT X(k)u...................*.....................77

3.2.3. Nội suy X (ém) từ AAmẫu của dãy DFTX(k)N..............................................77

CHƯƠNG 5: TỎNG HỢP CÁC BỘ LỌC SỐ CÓ ĐẢP ỨNG XUNG

CHIỀU DÀI HỮU HẠN FIR

1. Tổng quan.................................... ............................................................................... 80

2. Các đặc trưng của bộ lọc FIR tuyến tính....................................................................80

2.1. Các bộ lọc số lý tưởng....................................................................................... 80

• 2.2. Bộ lọc thông thấp lý tưởng.................................................................................. 81

2.2.1. Định nghĩa.......................................... 81

2.2.2. Các tham số thực của bộ lọc thông thấp lý tưởng....................................... 81

2.2.3. Đặc tính xung htp(n) của bộ lọc thông thấp lý tưởng...................................81

2.3. Bộ lọc thông cao lý tưởng...................................................................................82

2.3.1. Định nghĩa..................................................................................................... 82

2.3.2. Các tham số thực của bộ lọc thông cao lý tưởng........................................ 82

2.3.3. Đặc tính xung hhp(n) của bộ lọc thông cao lý tưởng...................................83

2.4. Bộ lọc dải thông lý tưởng...................................................................................84

2.4.1. Định nghĩa................................................................................................... 84

'2

2.4.2. Các tham số thực của bộ lọc dải thông lý tưởng..........................................84

2.4.3. Đặc tính ?ạmg hbp(n) của bộ lọc dải thong....................................................85

2.5. Bộ lọc dải chặn lý tương...................................................................................... 86

2.5.1. Định nghĩa...................................................................................................... 86

2.5.2. Các tham số thực của bộ lọc dải chặn lý tưởng........................................... 86

2.5.3. Đặc tính xung hbs(n) của bộ lọc dải chặn lý tưởng.......................................86

2.6. Tham số của các bộ lọc số thực tế....................................................................... 88

3. Đáp ứng tần số của các bộ lọc số FIR pha tuyến tính...............................................89

3.1. Đặc tính xung h(n) của các bộ lọc sô FIR pha tuyên tính............................ 89

3.1.1. Trường hợp >9 = 0, 0(ữ>) = - CCŨ).................................................................... 89

3.1.2. Trường hợp p * 0, <p(ũ)ị = p - acù.... ............................................................91

3.2. Đặc tính tần số của bộ lọc số FIR pha tuyến tính................................................93

3.2.1. Đặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 .................93

3.2.2. Đặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 2 .................95

3.2.3. Đặc tính tận số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 .......................96

3.2.4. Đặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 4 ....................... 98

CHƯƠNG 6: TỎNG HỢP CÁC BỘ LỌC SỐ CÓ ĐÁP ỨNG XUNG

CHIỀU DÀI VÔ HẠN (B ộ LỌC IIR)

1. Mở đầu.... ....................................................................................................................101

2. Các tính chất tổng quát của bộ lọc.............................................................................101

2.1. Bộ lọc IIR thực hiện được.................................................................................. 101

2.2. Hàm truyền đạt....................................................................................................101

2.3. Đá]>ứng tần số của bộ lọc IIR............................................................................102

3. Các phương pháp tổng hợp bộ lọc số IIR từ bộ lọc tương tự ..................................103

3.1. Nguyen tắc...... ................................................................................................... 103

3.2. Thiết kế bộ lọc IIR bằng phương pháp tương đương vi phân...........................103

3.3. Thiết kệ bộ lọc IIR bằng phương pháp bất biến xung.......................................106

3.4. Thiết kế bộ lọc số IIR bằng phép biến đổi song tuyến......................................109

3.5. Thiết kế bộ lọc số IIR bằng biến đổi z tương thích........................................... 111

4. Tổng hợp các bộ lọc tương tự ...................................................................................112

4.1. Bộ lọc Butterworth..............................................................................................112

4.2. Bộ lọc Chebyshev................................................................................................113

5. Biến đổi tần số ..................... 115

5.1. Biến đổi tần số trong miền tương tự..................................................................115

5.2. Chuyển đổi tần số trong miền số....................................................................... 116

Tài liệu tham khảo.......................................................................................................... 119

LỜI NÓI ĐÀU

Xử lý tín hiệu số (Digital Signal Processing - DSP) là một môn cơ sở không thể

thiếu đuợc đối với các sinh viên ngành Công nghệ kĩ thuật điện tử truyền thông. Trong

đó, tín hiệu liên tục theo thời gian được xử lý một cách hiệu qúảÉheo qui trình: biến

đổi tín hiệu tương tự thành tín hiệu số (biến đổi A/D), xử lý tín tiííệu số (lọc, biến đổi,

tách lây thông tin, nén, lưu trữ, truyên,...) và sau đó, nêu cân,.'được' phục hồi lại thành

tín hiệu tương tự (biến đổi D/A) để phục vụ cho các ứng dụng cụ thể.

Công nghệ xử lý tín hiệu số là công nghệ bùng nổ nhanh ■•chóng trong ngành

công nghiệp điện tử và viễn thông hiện nay. Xử lý tín hiệu số có nhiều ứng dụng đa

dạng, ví dụ như trong lĩnh vực điện tử y sinh, trong điều chỉnh động cơ diesel, xử lý

thoại, các cuộc gọi điện thoại khoảng cách xa, xử lý tiếng nói, xử lý âm thanh, và tăng

cường chât lượng hình ảnh, truyền hình. Các công nghệ nén MPEG hay WMV hiện

nay đều dựa trên tiến bộ của công nghệ xử lý tín hiệu số. Các hệ tfyống xử lý tín hiệu

số, hệ thống rời rạc, có thể là phần cứng hay phần mềm hay kết hợp cả hai.

Xử lý tín hiệu số có nội dung khá rộng dựa trên một cơ sở toán học tương đối

phức tạp. Nó có nhiều ứng dụng đa dạng, trong nhiều lĩnh vực khác nhau, các ứng

dụng trong từng lĩnh vực lại mang tính chuyên sâu. Có thể nói, xừ lý tín hiệu số ngày

nay đã trở thành một ngành khoa học chứ không phải là một môn học. Vì vậy, chương

trình giảng dạy bậc cao đẳng chỉ có thể bao gồm các phần cơ bản nhất, sao cho có thể

làm nền tảng cho các nghiên cứu ứng dụng sau này.

Với mục đích xây dựng tài liệu hướng dẫn học tập cho sinh viên chuyên ngành

Công nghệ kĩ thuật điện tử truyền thông tại khoa Điện - Điện tử, nội dung tài liệu được

xây dựng dựa trên các giáo trình của nhiều tác giả, tài liệu giảng dạy “Xử lý tín hiệu

số” được biên soạn thành 6 chương:

Chương 1: Tín hiệu rời rạc và hệ thống rời rạc

Chương 2: Biễu diễn hệ thống và tín hiệu rời rạc trong miền z

Chương 3: Biểu hệ thống và tín hiệu rời rạc trong miền tần số liên tục

Chương 4: Hệ diễn hệ thống và tín hiệu rời rạc trong miền tần s’ố rời rạc

Chương 5: Tổng hợp các bộ lọc số có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn FER

Chương 6: Tổng hợp các bộ lọc số có đáp ứng xung chiều dài vô hạn IIR

Do đây là lần biên soạn đầu tiên chắc không tránh khỏi những thiếu sót, mong

các bạn sinh viên, người đọc thông cảm và có các đóng góp ý kiến quý báu cho tác giả

trong quá trình giảng dạy, học tập, trao đổi.

TP. Hồ Chí Minh, tháng 1 năm 2013

Tác giả

CHƯƠNG 1: TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC

Mục tiêu: Trong chương này sẽ đề cập đến các vấn đề cơ bản về xử lý tín hiệu

và hệ thông trong miền thời gian rời rạc n, đây là miền biếu diễn tín hiệu sau khi đã

lấy mẫu tín hiệu, từ đó giúp sinh viên nắm rõ được:

- Khái niệm về tín hiệu, phân loại tín hiệu.

- Khải niệm về tín hiệu rời rạc, các tín hiệu cơ bàn, các phép toán đổi với tín

hiệu rời rạc.

- Khái niệm về hệ thong tuyến tính bất biến.

- Cách thiết lập quan hệ vào ra của hệ thống tuyến tính bất biến bằng phương

trình sai phân tuyến tính hệ số hằng.

- Mối tương quan của các tín hiệu.

1. Nhập môn

Đe xác định đối tượng và phạm vi nghiên cứu của lĩnh vực xử lý số tín hiệu,

trước hêt cân năm được các khái niệm và thuật ngữ cơ bản vê tín hiệu và các hệ xử lý

tín hiệu.

1.1. Khái niệm về tín hiệu

Tín hiệu là một dạng vật chất có một đại lượng vật lý được biến đổi theo quy

luật của tin tức.

Có nhiều loại tín hiệu khác nhau, ví dụ như các tín hiệu âm thanh, ánh sáng,

sóng âm, sóng điện từ, tín hiệu điện,... Mỗi lĩnh vực kỹ thuật thường sử dụng một số

loại tín hiệu nhất định. Trong các lĩnh vực có ứng dụng kỹ thuật điện tử, người ta

thường sử dụng tín hiệu điện và sóng điện từ, với đại lượng mang tin tức có thể là điện

áp, dòng điện, tần số hoặc góc pha.

Mỗi loại tín hiệu khác nhau có những tham số đặc trưng riêng, tuy nhiên tất cả

các loại tín hiệu đều có các tham sổ cơ bản là độ lớn (giá trị), năng lượng và công suất,

chính các tham số đó nói lên bản chất vật chất của tín hiệu.

Tín hiệu được biểu diễn dưới dạng hàm của biến thời gian x(t), hoặc hàm của

biến tần số X(f) hay X(co).

1.2. Phân loại tín hiệu

Theo dạng của biến thời gian t và giá trị hàm số x(t), người ta phân loại tín hiệu

như sau:

a. Tin hiệu liên tục xịt): là tín hiệu có biến thời gian t liên tục.

Tín hiệu liên tục xác định liên tục theo thời gian, với giá trị hàm số có thề biến

thiên liên tục hoặc được lượng tử hóa, và có thể tồn tại các điểm gián đoạn loại một

hoặc loại hai.

Hình 1.1: Đồ thị các tín hiệu liên tục

Trên hình l.l(aỹ ià đồ thị của tín hiệu liên tục có giá trị liên tục. Trên hình

1.1(b) là đồ thị của tín hiệu liên tục có giá trị lượng tử hóa từ tín hiệu trên hình 1.1(a).

Trên hình 1.1(c) là đồ thị của tín hiệu liên tục có giá trị gián đoạn loại một.

b. Tin hiệu rời rạc x(nT): là tín hiệu có biến thời gian giản đoạn t = nT.

Tín hiệu rời rạc chỉ xác định ở nhữnệ thời điểm gián đoạn t = nT, không xác

định trong các khoảng thời gian ở giữa hai điếm gián đoạn.

Có thể biến đôi tín hiệu liên tục x(t) thành tín hiệu rời rạc x(nT), quá trình đó

được gọi là rời rạc hóa tín hiệu liên tục. Định lý lấy mẫu là cơ sở để thực hiện rời rạc

hóa tín hiệu liên tục mà không làm thay đổi thông tin mang trong nó. Quá trình rời rạc

hóa tín hiệu liên tục còn được gọi là quá trình lấy mẫu.

Trên hình 1.2(a) là đồ thị của tín hiệu rời rạc có giá trị liên tục (có thể nhận giá

trị bất kỳ tại mỗi thời điểm rời rạc). Trên hình 1.2(b) là tín hiệu rời rạc cỏ giá trị được

lượng tử hóa từ tín hiệu trên hình 1.2(a).

(a) Giá trị liên tục (b) Giá trị được lưựng tử hóa

Hình 1.2: Đồ thị các tín hiệu rời rạc

c. Tín hiệu lượng tử: là tín hiệu chi nhận các giá trị xác định bằng số nguyên lần một

giá trị cơ sở gọi là giá trị lượng tử.

Quá trình làm tròn tín hiệu có giá trị liên tục hoặc gián đoạn thành tín hiệu

lượng tử được gọi là quá trình lượng tử hóa.

Trên hình 1.1(b) là tín hiệu liên tục được lượng tử hóa từ tín hiệu trên hình

1.1(a). Trên hình 1.2(b) là tín hiệu rời rạc được lượng tử hóa từ tín hiệu trên hình

1.2(a).

d. Tin hiệu tương tự: là tín hiệu liên tục có giá trị liên tục hoặc lượng tử.

Nhiều tài liệu gọi tín hiệu tương tự theo tiếng Anh là tín hiệu analog. Các tín

hiệu liên tục trên hình 1.1(a) và 1.1(b) là tín hiệu tương tự.

e. Tín hiệu xung: là tín hiệu có giá trị hàm sổ đoạn loại một.

Tín hiệu xung có thể là tín hiệu liên tục hoặc rời rạc. Trên hình 1.1(c) là tín

hiệu xung liên tục một cực tính, còn trên hình 1.2 là các tín hiệu xung rời rạc.

f. Tín hiệu số: là một nhóm xung được mã hóa theo giá trị lượng tử của tín hiệu tại

các thời điểm rời rạc cách đểu nhau.

Mỗi xung của tín hiệu số biểu thị một bit của từ mã, nó chi có hai mức điện áp,

mức thấp là giá trị logic “0”, mức cao là giá trị logic “ 1”.

Sô xung (sô bit) của tín hiệu sô là độ dài của từ mã. Tín hiệu sô có 8 bit được

gọi là một byte, ơòn tín hiệu số có 16 bit bằng hai byte được gọi là một từ (hoặc gọi

theo tiếng Anh là word).

2. Tín hiệu thời gian-rời rạc

về phương diện toán học, các tín hiệu thời gian-rời rạc được biểu diễn như các

dãy số. Một dãy sô X, trong đó sô thứ n của dãy đó được ký hiệu băng x(n), được viêt

một cách hình thức như sau:

X = (x(n)}, -00 < n < 00 (1.1)

ở đây n là một số nguyên. Trong thực tế, các dãy như vậy có thể phát sinh từ sự lấy

mẫu tuần hoàn của một tín hiệu tương tự. Trong trường hợp này, giá trị bằng số của số

thứ n trong dãy băng giá trị của tín hiệu tương tự, xa(t) tại thời điểm nT, tức là:

x(n) = Xa(nT), -00 < n < 00 (1.2)

Đại lượng T được gọi là chu kỳ lấy mẫu, nghịch đảo của nó là tần sổ lấy mẫu.

Mặc dù các dãy không phải bao giờ cũng được phát sinh từ việc lấy mẫu một tín hiệu

tương tự, nhưng sẽ rất tiện lợi khi coi x(n) như "mẫu thứ n " của dãy. Nói một cách

chặt chẽ thì x(n) biểu thị số thứ n ở trong dãy, vì vậy cách viết như; trong phương trình

(1.1) là không cần thiết và cồng kềnh, tiện lợi và rõ ràng là gọi "dãy x(n)" khi nghĩ về

toàn bộ dãy, đúng như chúng ta đã gọi "tín hiệu tương tự xa(t)". Tín hiệu thời gian-rời

rạc (tức là dãy số) thường được vẽ dưới dạng đồ thị như chỉ ra trong hình 1.3.

■» %

Hình 1.3: Biêu diên đô thị của một tín hiệu rời rạc

(b)

Hình 1.4: (a) Một đoạn của tín hiệu tiếng nói

(b) Một dãy các mẫu thu được từ phần (a) vói T = 125ps

Mặc dù trục hoành được vẽ như một đường liên tục, nhưng điều quan trọng cần

ghi nhận là x(n) được xác định chỉ bởi các giá trị nguyên của n. Sẽ không đúng đắn khi

nghĩ răng x(n) băng không khi n không phải là sô nguyên; đơn giản là x(n) không

được xác định cho các giá trị n không phải là những số nguyên.

Ví dụ, hình 1.4(a) chỉ ra một đoạn của tín hiệu tiếng nói tương ứng với sự thay

đổi của áp suất âm thanh như là một hàm số của thời gian, còn hình 1.4(b) biểu thị một

dấy các mẫu của tín hiệu tiếng nói. Mặc dù tín hiệu tiếng nói gốc được xác định tại tất

cả các giá trị của thời gian t, thế nhưng dãy chỉ chứa các thông tin về tín hiệu chỉ tại

các thời điểm gián đoạn. Từ định lý lấy mẫu, được thảo luận trong chương 3, tín hiệu

gốc có thể được khôi phục lại một cách chỉnh xác như mong muốn từ một dãy tương

ứng của các mẫu nếu các mẫu được lấy đủ dầy.

2.1. Các dãy cơ sở

Trong phân tích các hệ thống xử lý tín hiệu thời gian-rời rạc, các dãy được vận

hành trong nhiều phương pháp cơ sở. Tích và tổng của của hai dãy x(n) và y(n) được

xác định như tích và tổng của mẫu với mẫu một cách tương ứng. Phép nhân dãy x(n)

với một một số a nào đó được xác định như phép nhân của mỗi giá trị của mẫu với số a

đó. Dãy y(n) được gọi là trễ hoặc dịch tới một phiên bản của dãy x(n) nếu:

y(n) = x(n-no) (1.3)

ở đây n0 là một số nguyên.

Trong khi thảo luận về các tín hiệu và các hệ thống thời gian-rời rạc, nhiều dãy

cơ sở có tầm quan trọng đặc biệt. Các dãy này đã được chỉ ra trên hình 2.3 và sẽ được

thảo luận tiếp sau đó.

Dãy mẫu đơn vị: (hình 1.5a) được định nghĩa như dãy:

n * 0

n - 0

(1.4)

Như chúng ta sẽ thấy, đối với các tín hiệu và các hệ thống thời gian-rời rạc, dãy

mẫu đơn vị đóng vai trò giống như hàm xung đơn vị (hàm dleta Dirac) đối với các tín

hiệu thời gian-liên tục. Để thuận tiện, dãy mẫu đơn vị thường được coi như một xung

thời gian-rời rạc, hay đơn giản hơn là một xung. Điều quan trọng cần ghi nhớ là một

xung thời gian-rời rạc không phức tạp về phương diện toán học như một xung thời

gian-liên tục; Định nghĩa của nó đơn giản và chính xác.

Như chúng ta sẽ thấy trong khi thảo luận về các hệ thông tuyến tính, một trong

những khía cạnh quan trọng nhất của dãy xung là một dãy bất kỳ có thể được biểu thị

như một tổng của các xung bị trễ và được định mức. Chăng hạn, dãy p(n) trong hình

1.6 có thể được biểu thị như sau:

p(n) = a.3ô(n + 3) + a]8(n - 1) + a2ỗ(n - 2) + a7ô(n - 7) (1.5)

Tổng quát hơn, bất kỳ một dãy nào cũng có thể được biểu diễn như:

x(n) = Jx (k )5 (n -k ) ( 1.6)

—00

Chúng ta sẽ có sự sử dụng đặc biệt phương trình (1.6) trong khi thảo luận biểu

diễn của các hệ thống tuyến tính thời gian-rời rạc.

Dãy nhảy bậc đơn vị: (hình 1.5b) được cho bởi:

u(n)

Jl, n > 0

(1.7)

[0, n < 0

xung bằng hệ thức:

= Ẻ 5« (1.8)

Có nghĩa là giá trị của dãy nhảy bậc đơn vị tại (thời điểm) chỉ số n bằng tổng giá trị đã

được tích luỹ tại chỉ số n và tất cả các giá trị trước đó của dãy xung. Một biểu diễn

khác của tín hiệu nhảy bậc đơn vị theo các số hạng của xung đã thu được bằng cách

biêu thị tín hiệu nhảy bậc đơn vị trong hình 1.5(b) thành các số hạng của tổng của các

xung đã bị trễ như trong biểu thức (1.6). Trong trường hợp này, tất cả các giá trị khác

không đều bằng đơn vị, như vậy:

u(n) = õ(n) + 5(n - 1) + ỗ(n - 2) + ... (1,9a)

hoặc

u(n) = j]5 (n -k )

k=0

(1 -9b)

mẫu đơn vị

-•—•—•—•- 0 — ----------

a)

nhảy bậc đơn vị

• • • .... f Ỹ

-•—•—•—•-

b)

c)

Hình 1.5: Một số dãy cơ sở. Các dãy đã chỉ đóng vai trò quan trọng trong phân

tích và biểu diễn các tín hiệu và các hệ thống thời gian-rời rạc '

ai

a

<

<

-3

»

’ p(n)

-5 -4 -2 -ĩ õ

<

3 4 5 6

>

2 (

8 n

>

a7

Hình 1.6: Ví dụ của một dãy được biểu thị như một tổng của

các xung bị trễ và được định mức

Ngược lại dãy xung có thể được biểu thị như một hiệu lùi bậc nhất của dãy

nhảy bậc đơn vị, tức là:

ô(n) = u(n) - u(n - 1) (1.10)

Các dãy hàm luỹ thừa: là cực kỳ quan trọng trong việc biểu diễn và phân tích

các hệ thống thời gian-rời rạc tuyến tính và bất biến đối với thời gian. Dạng tổng quát

của dãy hàm Ịuỹ thừa là/

x(n) = Aan (1.11)

Nếu A và a là nhông số thực, khi đó dãy là thực. Còn nếu 0 < a < 1 và A là số dương

thì khi đó các gíá trị của dãy là những số dương và giảm với sự tăng của n, như trong

hình 1.5(c). Đổi với -1 < a < 0, thì các giá trị của dãy thay đổi dấu, nhưng vẫn giảm vê

giá trị khi n tăng. Nếu |a| > 1, thì dãy sẽ tăng về giá trị khi n tăng.

Dãy chữ nhật rectN(n): Dãy chữ nhật rectfịỵì) cỏ hàm số như sau:

Í 1 Khi n € [o ,(W-1)] n 1Tk rectN(n) = ị f \ (1.12)

N Ị o Khi /I Ể [o ,{N -\) ]

Dãy chữ nhật rectu(n) là dãy một phía, có độ dài hữu hạn N và xác định trong

miền n € [0, N - 1], tuần hoàn với chu kỳ bằng 1. Đồ thị của dãy chữ nhật rectN(n) trên

hình 17.

rectnịn)

Hình 1.7: Đồ thị dãy rectN(n)

Mở rộng có dãy chữ nhật rectìẶn - k), với k là hằng số dương hoặc âm:

f l Khi n e[k ,(N +Ă-1)]

rectN( n - k ) - ị ữ Khi n <Ề [k , (N + k - 1)]

ĐỒ thị của các dãy chữ nhật rectẶn - 2) và rectẶn + 2) trên hình 1.8.

(1.13)

Hình 1.8: Đồ thị các dãy rect4(n - 2) và rect4(n + 2)

Có thể biểu diễn dãy rectN(n) qua dãy ô(n) theo biểu thức:

rectN{n) = '^jS(n- k) = '£rect„(k)â(n - k) (1.14)

k - 0 k =0

Dãy rectN(n) được biểu diễn qua dãy u(n) theo biểu thức:

rectN (n) = u(n) - u(n - N)

Dãy hàm sin và hàm cosin:

Dãy hàm sin có dạng như sau:

(1.15)