Tài liệu xử lý số liệu - chương 3

Xử lý số tín hiệu Chương 3: Biến đổi z

Trang 36 GV: Phạm Hùng Kim Khánh

Chương 3

BIẾN ĐỔI Z

3.1. Biến đổi z

3.1.1. Biến đổi z trực tiếp

Định nghĩa: Biến đổi z của tín hiệu rời rạc x(n) định nghĩa như sau:

X(z) =









n

n

x(n)z

(3.1)

Trong đó z là biến phức và được biểu diễn như sau:

X(z) = Z[x(n)] (3.2)

Hay:

x(n) X(z) z

(3.3)

Do chuỗi biến đổi là vô hạn nên chỉ tồn tại một số giá trị của z để X(z) hội tụ.

Tập hợp tất cả các giá trị của z để X(z) hội tụ gọi là miền hội tụ của X(z) ROC (Region

Of Convergence).

VD: Xác định biến đổi z của các tín hiệu rời rạc hữu hạn sau:

 x(n) = {1,2,5,7,0,1}



X(z) = 1 + 2z-1

+ 5z-2

+ 7z-3

+ z-5

hữu hạn khi z  0  ROC = C\{0}

 x(n) = {1,2,5,7,0,1}



X(z) = z2

+ 2z + 5 + 7z-1

+ z-3

hữu hạn khi z  0 và z   ROC = C\{0,}

 x(n) = (n)

X(z) = 1  ROC = C

 x(n) = (n - k), k > 0

X(z) = z-k

, k > 0  ROC = C\{0}

 x(n) = (n + k), k > 0

X(z) = zk

, k > 0  ROC = C\{}

Như vậy, đối với tín hiệu hữu hạn thì ROC là toàn bộ mặt phẳng z và có thể trừ

các giá trị z = 0 và z = .

VD: Xác định biến đổi z của tín hiệu

x(n) =

u(n)

2

1

n













x(n) = {1,

2

1

,

2

2

1













, …}

Xử lý số tín hiệu Chương 3: Biến đổi z

Trang 37 GV: Phạm Hùng Kim Khánh

X(z) =









n

n

x(n)z

=





















n

n

n

u(n)z

2

1

=





















n 0

n

1

z

2

1

X(z) =





































1

N 1

1

N

z

2

1

1

z

2

1

1

lim

hội tụ về















1

z

2

1

1

1

khi

z 1

2

1 1

 









 

 ROC: |z| > ½

Do z là biến phức nên ta biểu diễn như sau:

z = rej

(3.4)

X(z) =







  

n

n j n

x(n)r e

|X(z)| =







  

n

n j n

x(n)r e









  

n

n j n

x(n)r e

=









n

n

x(n)r

(3.5)

|X(z)| 

 















n 0

n

1

n

n

x(n)r x(n)r

=

 









 

n 0

n

n 1

n

r

x(n)

x( n)r

(3.6)

ROC của X(z) là các giá trị của r để 2 chuỗi ở vế phải của (3.6) hội tụ. Số hạng

đầu tiên hội tụ khi r đủ nhỏ (r < r1) và số hạng thứ hai hội tụ khi r đủ lớn (r > r1).

Hình 3.1 – ROC của X(z)

ROC của









n 1

n

x( n)r

r1

r2

ROC của





n0

n

r

x(n)

Re(z) Re(z)

Im(z) Im(z)

ROC với r1 > r2

r1

Không tồn tại ROC với r1 < r2

r2

r2

r1

Re(z)

Im(z)

Re(z)

Im(z)