Về mô đun Schur của nhóm GLm (C)

ON THE SCHUR MODULES OF GLm(C)

(Về môđun Schur của nhóm GLm(C))

Ngô Vˇan Định1

Abstract. This paper is a short review of the construction of Schur modules for the general linear group

GLm(C), in which we make clear some points and complete some elementary proofs.

Tóm tắt. Mục đích của bài báo này là trình bày cấu trúc của các môđun Schur E

λ

của nhóm tuyến tính

tổng quát GLm(C) = GL(E), trong đó E là một không gian véctơ phức m chiều. Các môđun Schur E

λ

là

các biểu diễn bất khả qui đa thức của nhóm GLm(C) được tham số hóa bởi các bảng Young λ với nhiều

nhất m hàng. Các môđun này được định nghĩa như vật thể phổ dụng của họ các ánh xạ đa tuyến tính

ϕ : E

×λ → F, từ tích Đề-các E

×λ đến các C-môđun F, thỏa mãn ba tính chất đặc trưng (các tính chất

(1), (2), (3) trong phần giới thiệu dưới). Trong mệnh đề 1, chúng tôi chứng minh rằng ta có thể thay thế

tính chất đặc trưng (3) bởi một điều kiện đơn giản hơn. Mỗi đồng cấu ϕ : E → F giữa các C-môđun hữu

hạn sinh đều cảm sinh một đồng cấu ϕ

λ

: E

λ → F

λ

. Chúng tôi chứng minh trong mệnh đề 2 rằng nếu ϕ là

một đơn cấu thì ϕ

λ

cũng là đơn cấu và ngược lại. Cuối cùng, chúng tôi chứng minh trong mệnh đề 3 công

thức cụ thể của tác động của đại số EndC(E) lên E

λ

.

Keywords: Schur module, Young diagram, Young tableau, complex representation, general linear group.

Introduction

We are interested in the problem to describe finite-dimensional irreducible representa￾tions of the general linear group GLm(C) = GL(E), where E is a m−dimensional complex

vector space, and to decompose finite-dimensional representations into irreducible compo￾nents. For more details of these, we refer the readers to [1], [2], or [3].

The aim of this paper is to give elementary proofs for some properties of Schur modules

Eλ which are irreducible polynomial representations of GLm(C), parametrized by Young

diagrams λ with at most m rows.

Let us recall that a Young diagram is a collection of boxes arranged in left-justified

rows, with a (weakly) decreasing number of boxes in each row. Listing the number of

boxes in each row we obtain a partition of the integer n that is the total number of boxes.

Conversely, every partition of n corresponds to a Young diagram. We usually identify

a partition, denoted by λ, with the corresponding diagram. It is given by a sequence

of weakly decreasing positive integers written λ = (λ1, λ2, . . . , λm). One writes by λ =

(d

a1

1

, da2

2

, . . . , das

s

) for the partition that has ai copies of the integer di

, 1 ≤ i ≤ s. The

notation λ ` n is used to say that λ is a partition of n, and |λ| is used for the number

partitioned by λ. Any way of putting a positive integer per box of a Young diagram will

be called a numbering or filling of the diagram. A Young tableau, or simply tableau, is a

filling that is:

1. weakly increasing across each row;

1Giảng viên Toán, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên. Email: [email protected]