Về định lý Vevanlinna Cartan cho đường cong chỉnh hình

T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 2(46) Tập 2/N¨m 2008

148

VỀ ĐNNH LÝ NEVANLINNA - CARTAN CHO ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH

Nguyễn Trường Giang (Trường Cao đẳng Công nghệ và Kinh tế công nghiệp)

1. Giới thiệu

Năm 2004, M. Ru đã chứng minh một dạng định lý cơ bản thứ hai cho các ánh xạ chỉnh hình

giao với các siêu mặt ở vị trí tổng quát. Ông đã giải quyết một giả thuyết của B.Shiffman đặt ra vào

năm 1979 về quan hệ số khuyết cho các ánh xạ dạng này. Năm 2006 Yan – Chen đã chứng minh:

Cho đường cong chỉnh hình n

f : P ( ) ℂ ℂ → không suy biến đại số, Dj

, 1 j q ≤ ≤ là các

siêu mặt trong n

P ( ) ℂ ở vị trí tổng quát với bậc dj

. Với mỗi ε > 0 , tồn tại một số nguyên dương

M sao cho: −

=

− + − ε ≤ + ∑

q

1 M

f j f j f

j 1

(q (n 1) )T (r) d N (r, D ) o(T (r)),trong đó bất đẳng thức đúng với mọi

r đủ lớn nằm ngoài một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn.

2. Kết quả nghiên cứu

Trước hết, chúng ta đưa ra các ký hiệu chuNn trong lý thuyết Nevanlinna.

Giả sử

n

f : P ( ) ℂ ℂ → là một ánh xạ chỉnh hình khác hằng, f = (f0 :…: fn) là dạng rút gọn

của f, trong đó f0, …, fn là những hàm nguyên trênℂ không có không điểm chung và ít nhất một

trong chúng khác hằng. Hàm đặc trưng Nevanlinna - Cartan Tf(r) của hàm f được định nghĩa

như sau

2

i

f

0

1

T (r) log f(re ) d

2

π

θ

= θ

π

∫

trong đó f(z) max f (z) ,..., f (z) = { 0 n }.

Giả sử D là một siêu mặt trong n

P ( ) ℂ có bậc d, gọi Q là đa thức thuần nhất (n + 1)

biến, bậc d với các hệ số trong ℂ định nghĩa D. Hàm xấp xỉ của hàm f ứng với siêu mặt D được

định nghĩa bởi

θ π

θ

= = θ

π

∫

d

i 2

f f i

0

1 f (re )

m (r, D ) m (r, Q ) log d .

2 Q(f )(re )

Gọi nf(r, D) là số các không điểm của hàm Q f trong đĩa z r < kể cả bội, M

f

n (r, D) là số

các không điểm của hàm Q f trong đĩa z r < bội chặn bởi một số nguyên dương M.

Hàm đếm được định nghĩa bởi

−

= = + ∫

r

f f

f f f

0

n (t, D) n (0, D) N (r, D) N (r,Q) dt n (0,D) log r.

t

Tương tự, chúng ta có định nghĩa về hàm đếm bị chặn

M N (r,D). f

Bây giờ, chúng ta định nghĩa thứ tự từ điển cho các bộ m – tuples m

1 m (i ,...,i )∈ℕ của

các số nguyên. Nghĩa là, 1 m 1 m (j ,..., j ) (i ,...,i ) > nếu và chỉ nếu tồn tại b 1,....,m ∈{ } ta có jl

= il

với mọi l < b và jb > ib. Với một bộ n-tuples (i) = (i1,…,in) các số nguyên không âm, ta kí hiệu

j

j

σ = (i) i ∑ . Với một số nguyên dương lớn N, ta kí hiệu VN là không gian các đa thức thuần

nhất bậc N trong 0 n ℂ[x ,..., x ].