Ứng dụng phương pháp tọa độ để chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị và giải hệ phương trình.

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

----------

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC, TÌM CỰC TRỊ VÀ

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Giảng viên hướng dẫn : ThS. Nguyễn Thị Hà Phương

Sinh viên thực hiện : Nguyễn Thánh Trâm

Ngành : Sư phạm Toán

Lớp : 12ST

Khóa : 2012 - 2016

Đà Nẵng, tháng 5 năm 2016

1

Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm

– Đại học Đà Nẵng nói chung, các thầy cô giáo trong khoa Toán nói riêng đã tận tình

giảng dạy tôi trong suốt thời gian học tập tại trường.

Tôi xin chân thành cảm ơn cô giáo hướng dẫn: Thạc sỹ Nguyễn Thị Hà Phương

đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và chỉ bảo cho tôi trong suốt quá trình hoàn thành

khóa luận này. Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô phản biện, các thầy cô

trong hội đồng chấm khóa luận đã dành thời gian đọc và cho nhận xét.

2

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU.........................................................................................................4

I. Lý do chọn đề tài ............................................................................4

II. Mục đích nghiên cứu ......................................................................4

III. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu ......................................................5

IV. Nhiệm vụ nghiên cứu......................................................................5

V. Phương pháp nghiên cứu ................................................................5

PHẦN NỘI DUNG .....................................................................................................6

CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN ...........................................................6

1.1 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng..........................................................6

1.1.1 Khái niệm về hệ trục tọa độ trong mặt phẳng..................................6

1.1.2 Tọa độ của một điểm và của vectơ trong mặt phẳng .......................6

1.1.3 Liên hệ giữa tọa độ của vectơ và tọa độ của 2 điểm mút.................7

1.1.4 Phương trình đường thẳng ...............................................................7

1.1.5 Góc và khoảng cách .........................................................................8

1.1.6 Đường tròn .......................................................................................9

1.2 Phương pháp tọa độ trong không gian.......................................................10

1.2.1 Khái niệm về hệ trục tọa độ trong không gian...............................10

1.2.2 Tọa độ của một điểm và của vectơ trong không gian ....................10

1.2.3 Liên hệ giữa tọa độ của vectơ và tọa độ của 2 điểm mút...............11

1.2.4 Tích có hướng của hai vectơ..........................................................11

1.2.5 Các công thức tính diện tích và thể tích.........................................12

1.2.6 Phương trình mặt phẳng trong không gian ....................................12

1.2.7 Phương trình đường thẳng trong không gian.................................13

1.2.8 Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng ..............................................13

1.2.9 Góc và khoảng cách .......................................................................14

1.2.10 Mặt cầu...........................................................................................15

3

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ KIẾN THỨC VẬN DỤNG ............................................18

2.1 Sử dụng các bất đẳng thức .........................................................................18

2.2 Sử dụng một số kết quả về các bài toán cực trị thường dùng....................18

2.3 Một số dấu hiệu nhận biết..........................................................................21

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ CHỨNG MINH

BẤT ĐẲNG THỨC, TÌM CỰC TRỊ VÀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH..............22

3.1 Ứng dụng phương pháp tọa độ vào bài toán chứng minh bất đẳng thức...29

BÀI TOÁN ĐỀ NGHỊ...............................................................................39

3.2 Ứng dụng phương pháp tọa độ vào bài toán tìm cực trị của biểu thức......40

BÀI TOÁN ĐỀ NGHỊ...............................................................................50

3.3 Ứng dụng phương pháp tọa độ vào các bài toán hệ phương trình.............51

BÀI TOÁN ĐỀ NGHỊ...............................................................................60

KẾT LUẬN...........................................................................................................62

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO..............................................................63

4

PHẦN MỞ ĐẦU

I. Lý do chọn đề tài

Trong giảng dạy môn toán, ngoài việc giúp học sinh nắm chắc chắn kiến thức

cơ bản thì việc phát huy tính tích cực của học sinh, biết lựa chọn các phương pháp đã

học vào giải các bài toán là điều rất cần thiết. Bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm

giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức, giải hệ phương trình là các dạng toán

phổ biến và quan trọng trong chương trình phổ thông, thường gặp trong các đề tuyển

sinh đại học – cao đẳng và còn là một chuyên đề hay gặp trong các đề thi chọn học

sinh giỏi ở phổ thông.

Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị

nhỏ nhất của biểu thức, giải hệ phương trình, việc vận dụng nhìn chung phụ thuộc rất

nhiều vào đặc thù bài toán. Đứng trước bài toán này, học sinh phổ thông thường lúng

túng về phương pháp giải, nên sử dụng phương pháp hàm số, bất đẳng thức Côsi hay

sử dụng Bunhiacopski…

Nói đến phương pháp tọa độ, mọi người thường hay nghĩ đến các bài toán hình

học giải tích. Thực tế cho thấy nhiều bài toán đại số nếu giải theo cách nhìn Đại số

thì rất khó hoặc phức tạp, nhưng nếu khéo léo chuyển sang cách nhìn Hình học và sử

dụng phương pháp tọa độ vào thì lời giải ngắn gọn, dễ hiểu hơn so với các phương

pháp khác. Sẽ không có nhiều người nghĩ rằng phương pháp tọa độ còn cho ta những

lời giải hay đối với các bài toán đại số: Chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn

nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức, giải hệ phương trình,… Cùng với nhiều phương

pháp khác, phương pháp tọa độ là một trong những phương pháp hữu hiệu để giải

nhiều bài toán sơ cấp. Phương pháp tọa độ dùng để giải quyết các bài toán chứa trong

nó “Cái hồn hình học” mà thoạt nhiên ta chưa nhìn thấy nó.

Vì những lý do trên, tôi đã chọn đề tài “Ứng dụng phương pháp tọa độ để

chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức, giải

hệ phương trình” làm khóa luận tốt nghiệp của mình.

II. Mục đích nghiên cứu

 Hệ thống hóa một cách chi tiết các vấn đề lý thuyết về phương pháp tọa độ.

5

 Xây dựng hệ thống bài tập vận dụng để từ đó thấy được tầm quan trọng và tính

thiết thực của lý thuyết phương pháp tọa độ đối với các dạng toán.

III. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

 Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết phương pháp tọa độ và một số bài tập sử

dụng phương pháp tọa độ để giải.

 Phạm vi nghiên cứu: Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn

nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức, giải hệ phương trình.

IV. Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình, trang web liên quan đến phương pháp tọa

độ để rút ra một số dạng toán và phương pháp giải các bài toán liên quan về ứng dụng

của phương pháp tọa độ.

V. Phương pháp nghiên cứu

 Phương pháp nghiên cứu lí luận: đọc giáo trình, tài liệu tham khảo để hệ thống

hóa, phân dạng các bài toán.

 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: tích lũy kinh nghiệm có được của bản

thân, thầy cô, bạn bè, anh chị khóa trước để nghiên cứu sâu hơn, kĩ hơn.

 Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: hỏi trực tiếp thầy cô hướng dẫn các kiến

thức có liên quan đến đề tài.