Ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải toán hình học sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

BÙI THỊ ANH ĐÀO

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC XẠ ẢNH

VÀO GIẢI TOÁN HÌNH HỌC SƠ CẤP

Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2013

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU

Phản biện 1: TS. PHẠM QUÝ MƯỜI

Phản biện 2: PGS. TS. TRẦN ĐẠO DÕNG

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp

Thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 14 tháng 12

năm 2013.

* Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

Hình học xạ ảnh xuất hiện từ thế kỉ XVII do các nhà toán học

G. Desargues và B. Pascal đặt nền móng. Đến cuối thế kỉ XVIII

đầu thế kỉ XIX, hình học xạ ảnh đã trở thành môn hình học độc

lập nhờ các công trình nghiên cứu của G. Monge và J. V. Pencelet.

Hiện nay, hình học xạ ảnh được đưa vào hầu hết các chương trình

đào tạo sinh viên ngành Toán của các trường Đại học trong cả nước,

cung cấp cho sinh viên cái nhìn tổng quan về các loại hình học và

mối quan hệ giữa chúng. Hình học xạ ảnh và hình học sơ cấp có

mối quan hệ mật thiết với nhau, chẳng hạn chúng ta có thể dùng

hình học xạ ảnh để giải những bài toán hình học sơ cấp và ngược

lại; đồng thời, từ một bài toán hình học sơ cấp thông qua hình học

xạ ảnh ta có thể sáng tạo ra nhiều bài toán mới.

Nhằm mục đích tìm hiểu hình học xạ ảnh và ứng dụng của nó

trong giải toán hình học sơ cấp, tôi chọn đề tài: “Ứng dụng hình

học xạ ảnh vào giải toán hình học sơ cấp” cho luận văn thạc

sĩ của mình.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu hình học xạ ảnh, hình học sơ cấp, mối quan hệ giữa

bài toán xạ ảnh và bài toán hình học sơ cấp.

- Nghiên cứu việc vận dụng hình học xạ ảnh vào giải toán hình

học sơ cấp và việc sáng tạo những bài toán hình học sơ cấp.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Không gian xạ ảnh, mặt phẳng xạ ảnh và các bài toán xạ ảnh.

- Hình học sơ cấp và các bài toán hình học sơ cấp thuộc chương

trình phổ thông trung học.

2

- Các ứng dụng của hình học xạ ảnh trong giải toán hình học sơ

cấp.

4. Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập, hệ thống các tài liệu về hình học sơ cấp, hình học

xạ ảnh, đặc biệt là các tài liệu về mặt phẳng xạ ảnh, về ứng dụng

hình học xạ ảnh trong hình học sơ cấp.

- Khảo sát, phân tích, nghiên cứu các tài liệu thu thập được để

thực hiện luận văn.

- Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn.

5. Cấu trúc của luận văn

Nội dung luận văn được chia thành 3 chương

Chương 1. Không gian xạ ảnh.

Chương này trình bày sơ lược các kiến thức cơ bản về không

gian xạ ảnh, mặt phẳng xạ ảnh đủ để làm cơ sở cho các chương sau.

Chương 2. Mối quan hệ giữa bài toán xạ ảnh và bài toán hình học

sơ cấp.

Chương này xây dựng các mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh

và mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin. Từ đó, chỉ ra mối quan hệ

giữa hình học xạ ảnh và hình học sơ cấp, mối quan hệ giữa bài toán

xạ ảnh và bài toán hình học sơ cấp.

Chương 3. Ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải và sáng tạo những bài

toán hình học sơ cấp.

Chương này dùng các kết quả của hình học xạ ảnh như: Định

lý Desargues, Định lý Pappus, tính chất hình bốn cạnh toàn phần,

nguyên tắc đối ngẫu. . . để giải và sáng tạo một số bài toán hình học

sơ cấp.

3

CHƯƠNG 1

KHÔNG GIAN XẠ ẢNH

Chương này trình bày sơ lược các kiến thức cơ bản về không gian

xạ ảnh, mặt phẳng xạ ảnh đủ để làm cơ sở cho các chương sau.

1.1. KHÔNG GIAN XẠ ẢNH

1.1.1. Định nghĩa

Định nghĩa 1.1.1. Cho K là một trường, V

n+1 là không gian vectơ

n + 1 chiều (n ≥ 0) trên trường K và X là một tập không rỗng tùy

ý. Kí hiệu [V

n+1] là tập hợp các không gian vectơ con một chiều của

V

n+1. Nếu có một song ánh

f : [V

n+1] −→ X

thì bộ ba (X, f, V n+1) được gọi là không gian xạ ảnh n chiều liên kết

với không gian vectơ V

n+1 trên trường K và được kí hiệu P

n

. Như

vậy P

n = (X, f, V n+1).

Khi n = 2, ta có không gian xạ ảnh hai chiều, gọi là mặt phẳng xạ

ảnh.

1.1.2. Điểm, đường thẳng trong không gian xạ ảnh

Cho không gian xạ ảnh P

n = (X, f, V n+1). Nếu V

m+1 là không

gian vectơ con m + 1 chiều của V

n+1(0 ≤ m ≤ n) thì tập hợp con

f([V

m+1]) của X được gọi là m-phẳng xạ ảnh của không gian xạ

ảnh P

n

.

Các 0 - phẳng xạ ảnh được gọi là các điểm và thường được kí

hiệu bằng các chữ cái in hoa: A, B, M, N...Như vậy, mỗi điểm A là

ảnh của một không gian con một chiều V

1

của V

n+1 qua song ánh

f, tức là A = f(V

1

).

4

Các 1 - phẳng xạ ảnh được gọi là đường thẳng, (n - 1) - phẳng

được gọi là siêu phẳng. Như vậy, với mỗi không gian vectơ con V

2

của V

n+1 thì tập con f([V

2

]) của X là một đường thẳng của không

gian xạ ảnh và thường được kí hiệu bởi các chữ in thường a, b, c..

Trong P

n

, cho điểm A = f(V

1

) và đường thẳng d = f([V

2

]).

Nếu f(V

1

) ∈ f([V

2

]) thì ta nói điểm A thuộc đường thẳng d hay

đường thẳng d đi qua điểm A.

Nếu ba điểm A, B, C cùng thuộc một đường thẳng, ta nói ba

điểm A, B, C thẳng hàng.

1.1.3. Ví dụ (Mô hình bó)

Trong không gian afin An+1 liên kết với không gian vectơ V

n+1

ta lấy một điểm O tùy ý. Gọi X là tập hợp tất cả các đường thẳng

của An+1 cùng đi qua điểm O (gọi là bó đường thẳng tâm O).

Ta thiết lập tương ứng f : [V

n+1] −→ X sao cho với mỗi không

gian con một chiều V

1

của V

n+1 ta cho tương ứng với một đường

thẳng của X có phương là không gian con V

1 đó. Khi đó, f là một

song ánh và do đó (X, f, V n+1) là không gian xạ ảnh n chiều và

được gọi là mô hình bó của không gian xạ ảnh.

Hình 1.1

Trong mô hình đó,

- Mỗi điểm là một đường thẳng của bó.

- Mỗi đường thẳng là một mặt phẳng afin chứa hai đường thẳng

phân biệt của bó.

5

1.1.4. Vectơ đại diện cho một điểm

Gọi P

n

là không gian xạ ảnh n chiều liên kết với không gian

vectơ V

n+1 qua song ánh f. Trong V

n+1, mỗi vectơ −→a 6=

−→0 sinh ra

một không gian con một chiều và qua song ánh f không gian này

ứng với một điểm A duy nhất của P

n

. Ta nói vectơ −→a đại diện cho

điểm A.

1.1.5. Mục tiêu xạ ảnh. Tọa độ xạ ảnh

Một hệ r điểm (r ≥ 1) của không gian xạ ảnh P

n được gọi là hệ

điểm độc lập nếu hệ r vectơ đại diện cho chúng là hệ vectơ độc lập

tuyến tính trong V

n+1

.

Cho không gian xạ ảnh P

n

liên kết với không gian vectơ V

n+1

.

Một tập hợp có thứ tự gồm n + 2 điểm của P

n

: {S0, S1, ..., Sn; E}

được gọi là một mục tiêu xạ ảnh của P

n nếu bất kì n+ 1 điểm trong

n + 2 điểm đó đều độc lập.

Một mục tiêu xạ ảnh còn được kí hiệu {Si

; E}, i = 0, n. Các điểm

Si được gọi là các đỉnh; điểm E được gọi là điểm đơn vị; các đường

thẳng SiSj (i 6= j) được gọi là các trục tọa độ của mục tiêu đó.

Với mỗi mục tiêu xạ ảnh {Si

; E}, i = 0, n, luôn tìm được một

cơ sở {

−→e0,

−→e1, ...,

−→en} của V

0n+1 sao cho vectơ −→ei đại diện cho các

điểm Si và −→e =

−→e0 +

−→e1 + ... +

−→en đại diện cho điểm E. Khi đó,

{

−→e0,

−→e1, ...,

−→en} được gọi là cơ sở đại diện của mục tiêu đó.

Với mỗi điểm M ∈ P

n

có vectơ đại diện là −→x 6=

−→0 . Khi đó, tọa

độ của vectơ −→x đối với cơ sở {

−→e0,

−→e1, ...,

−→en} được gọi là tọa độ xạ

ảnh của điểm M đối với mục tiêu xạ ảnh {Si

; E}, i = 0, n và được

kí hiệu M(xi), i = 0, n.

Với mỗi đường thẳng d ⊂ P

n

có phương trình u0x0 + u1x1 +

... + unxn = 0 thì bộ số (u0, u1, ..., un) được gọi là tọa độ của đường