Ứng dụng hình học xạ ảnh để giải và sáng tạo ra các bài toán sơ cấp

O

A

B

D

C

M

I

J

N J

I

M

C

D

B

A

O

(a) (b)

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC XẠ ẢNH VÀO GIẢI VÀ SÁNG

TẠO CÁC BÀI TOÁN SƠ CẤP

Tóm tắt: Bài viết trình bày một số ví dụ về việc ứng dụng hình học xạ ảnh để giải và

sáng tạo ra các bài toán sơ cấp trong hình học phẳng. Nội dung tập trung chủ yếu vào

việc thể hiện, khai thác các kết quả cơ bản của hình học xạ ảnh trong mặt phẳng xạ

ảnh P2

như: Định lí Desagues, hình bốn đỉnh, hình bốn cạnh toàn phần , tỉ số kép,

phép phối cảnh, phép đối hợp,… vào việc giải và sáng tạo các bài toán hình học sơ

cấp.

1. Mở đầu:

2. Một số kiến thức cơ bản của hình học xạ ảnh trong mặt phẳng.

* Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afine(ơclit).

* Hình ba đỉnh và định lí Desagues.

* Hình bốn đỉnh và tính chất của hình bốn đỉnh.

* Tỉ số kép

.* Liên hệ xạ ảnh, liên hệ phối cảnh, phép đối hợp

3. Ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải và sáng tạo các bài toán sơ cấp.

a) Tứ giác toàn phần và các bài toán sơ cấp:

Rất nhiều bài toán trong hình học phẳng khi chuyển qua bài toán xạ ảnh tương ứng ta

thì bài toán đó chính là nội dung định lí Desagues hoặc áp dụng tính chất của hình bốn

cạnh toàn phần..

*) Các bài toán chứng minh:

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng cho hình thang ABCD có đáy là AB và CD. CMR đường

thẳng đi qua giao điểm của hai cạnh

bên và giao điểm của hai đường chéo

sẽ đi qua trung điểm của hai cạnh

đáy.

Giải: Đây chính là bài toán Afine

trong A2

. Gọi O = AD ∩ BC, M =

AC ∩ BD. Ta cần chứng minh OM đi

qua trung điểm của AB và CD.

Ta bổ sung vào mặt phẳng A2

đường

thẳng vô tận ∆ ta thu được mặt phẳng

xạ ảnh P2

. Trong mặt phẳng này hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại một điểm nằm

trên đường thẳng vô tận. Ta thu được bài toán xạ ảnh sau: Trong mặt phẳng xạ ảnh cho

đường thẳng ∆ và hình bốn cạnh toàn phần ABCD sao cho giao điểm N = AB ∩ CD ∈