Ứng dụng hình học giải tích vào giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ THU NGUYỆT

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH VÀO GIẢI

PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ

HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

Chuyên ngành: Phƣơng pháp toán sơ cấp

Mã số:60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2016

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG

Phản biện 1: TS. Phạm Quý Mười

Phản biện 2: TS. Trịnh Đào Chiến

Luận văn đã sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt

nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng.Vào ngày 13

tháng 8 năm 2016

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài:

Hình học giải tích là môn học cơ bản của chương trình toán

bậc phổ thông cũng như ở đại học, là một trong các kiến thức cơ sở

có liên quan mật thiết với các môn học khác như đại số, lượng

giác,...Chính vì vậy, việc tìm hiểu và vận dụng các kiến thức của hình

học giải tích là rất cần thiết và giúp việc học tập các môn học khác

được hiệu quả hơn.

Hình học giải tích được sáng lập ra đồng thời do hai nhà bác

học người Pháp là Descartes (1596-1650) và Ferma (1601-1655) với

đặc trưng của môn học này là ứng dụng phương pháp tọa độ và đại số

vectơ để khảo sát các bài toán hình học. Phương pháp này không chỉ

ứng dụng để giải các bài toán hình học trong mặt phẳng hay trong

không gian ba chiều mà còn ứng dụng trong trong các không gian

nhiều chiều với hình dạng phức tạp và việc vẽ hình để giải toán là

điều rất khó thực hiện.

Gần đây, trong nhiều kì thi tuyển sinh đại học, thi học sinh

giỏi, thi toán Olympic quốc tế hay trên các tạp chí toán học có nhiều

bài toán không liên quan đến hình học nhưng có thể vận dụng kiến

thức hình học để giải. Một trong các dạng bài toán đó là bài toán giải

phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số với nhiều

phương pháp giải đặc thù, mới lạ và tương đối khó vận dụng đối với

học sinh lẫn giáo viên.

2

Được sự định hướng của thầy giáo hướng dẫn và với mong

muốn tìm hiểu thêm về chủ đề này nhằm nâng cao trình độ chuyên

môn của bản thân, tôi đã chọn đề tài “Ứng dụng hình học giải tích

vào giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số”

cho đề tài luận văn Thạc sĩ của mình.

2. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của đề tài:

Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu và tìm hiểu các bài toán

về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số, vận

dụng các phương pháp thích hợp trong hình học giải tích để giải các

bài toán nêu trên trong chương trình phổ thông trung học.

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các bài toán ứng dụng hình

học giải tích vào giải phương trình, bất phương trình và hệ phương

trình đại số.

Phạm vi nghiên cứu của đề tài là vận dụng các phương pháp

giải toán thích hợp trong hình học giải tích để giải quyết các bài toán

phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu:

- Thu thập, tổng hợp các tài liệu liên quan đến nội dung đề tài

luận văn.

- Phân tích, nghiên cứu các tài liệu thu thập được để thực hiện

đề tài.

- Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi

các kết quả đang nghiên cứu.

3

5.Cấu trúc của luận văn:

Mở đầu

Chương 1.Kiến thức cơ sở về hình học giải tích.

Chương 2.Ứng dụng hình học giải tích vào giải phương trình,

bất phương trình và hệ phương trình.

Kết luận.

CHƢƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ sở về hình học phẳng

và hình học giải tích liên quan đến việc nghiên cứu trong chương tiếp

theo. Các nội dung trình bày trong chương chủ yếu được tham khảo

từ các tài liệu [1], [2], [3], [4], [5].

1.1. KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ HÌNH HỌC PHẲNG

1.1.1. Các hệ thức lƣợng trong tam giác

1.1.2.Các bất đẳng thức trong tam giác

1.1.3. Công thức tính chu vi, diện tích của đa giác, đƣờng

tròn

1.2. KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG

MẶT PHẲNG

1.2.1. Tích vô hƣớng giữa hai vectơ

1.2.2.Đƣờng thẳng và tƣơng giao giữa các đƣờng thẳng

1.2.3.Đƣờng tròn và ba đƣờng conic

4

1.3. KIẾN THỨC VỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG

GIAN

1.3.1. Tích vô hƣớng giữa hai vectơ

1.3.2. Tích có hƣớng và tích hỗn hợp

1.3.3.Đƣờng thẳng và mặt phẳng

1.3.4.Mặt cầu

CHƢƠNG 2

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH VÀO GIẢI PHƢƠNG

TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH

Trong chương này chúng tôi vận dụng các kiến thức về hình

học giải tích để giải một số dạng bài toán về phương trình, bất

phương trình và hệ phương trình trong chương trình toán phổ thông.

Các kiến thức trình bày trong chương được tham khảo từ các tài liệu

[6], [7], [8], [9], [10].

2.1. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT

PHẲNG

Phương trình, bất phương trình và hệ phương trình là những

phân môn quan trọng của Đại số. Có rất nhiều phương pháp để giải

như: biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, dùng bất đẳng thức, lượng

giác hóa, phương pháp hàm số…Tuy nhiên thực tế có nhiều bài toán

đại số nếu giải theo cách nhìn đại số thì rất khó hoặc phức tạp, nhưng

nếu khéo léo chuyển sang cách nhìn hình học và sử dụng các kết quả

đã biết của hình học thì lời giải sẽ ngắn gọn, đẹp và dễ hiểu hơn so

5

với các phương pháp khác. Trong phần này chúng tôi khảo sát và ứng

dụng hình học giải tích trong mặt phẳng để giải một số dạng bài toán

liên quan đến phương trình, bất phương trình và hệ phương trình.

2.1.1. Ứng dụng vào giải phƣơng trình

a. Ứng dụng phương pháp vectơ

Để sử dụng tọa độ vectơ trong mặt phẳng giải phương trình ta

cần nắm vững các kiến thức sau đây:

Trong mặt phẳng Oxy xét các vectơ

1 1 2 2 u x ;y ,v x ;y .

Ta có:

Tích vô hướng:

u.v x x y y 1 2 1 2

.

2 2

1 1 u x y .

Bất đẳng thức:

u.v u . v . (2.1)

u v u v . (2.2)

u v u v . (2.3)

Dấu đẳng thức trong (2.1) và (2.2) xảy ra khi và chỉ khi

u,v

cùng hướng. Dấu đẳng thức trong (2.3) xảy ra khi và chỉ khi xảy ra

một trong hai trường hợp:

v 0

hoặc

u,v

ngược hướng.

Để giải phương trình

f (x) g(x)

. Ta biến đổi đồng thời

f (x)

trở thành vế trái,

g(x)

trở thành vế phải của một trong các hệ thức

sau đây:

u.v u . v . u v u v . u v u v .

6

u.v u v . u v u v . u v u v .

Từ đó ứng dụng các điều kiện về dấu đẳng thức xảy ra ở trên

để tìm nghiệm của phương trình.

Dưới đây là một số ví dụ minh họa.

Ví dụ 1.1. Giải phương trình:

2 2 x 2x 10 x 6x 13 41 .

Ví dụ 1.2. Giải phương trình:

2 2 2 45 x 2x 5 x 4x 40 x 5x

4

.

Ví dụ 1.3. Giải phương trình:

2 2

2 2

1 1 16 32 x 2 x x

2 2 5 5

1 1 4 8 x 4x 10 x x

2 2 5 5

4 2 2

.

Ví dụ 1.4. Giải phương trình:

2 2 2 2 10 13 13 2y 6y 9 2y xy x x 4x 4 13

3 9 9

.

Ví dụ 1.5. Giải phương trình:

2

x x 1 3 x 2 x 1 .

Ví dụ 1.6. Giải phương trình:

2 3 3 x x 1 5 2x 40 34x 10x x .

Một số ví dụ tham khảo với phƣơng pháp giải tƣơng tự.

7

Ví dụ 1.7. Giải phương trình:

2 2 x 2x 5 x 2x 10 29 .

Ví dụ 1.8. Giải phương trình:

2 2 x 8x 816 x 10x 267 2003.

Ví dụ 1.9. Giải phương trình:

2 2 x 4x 5 x 4x 13 2.

Ví dụ 1.10. Giải phương trình:

2

x 3x 2 4 x 2 x 1 x 3 .

Ví dụ 1.11. Giải phương trình:

2 2 x x 9.

x 1

Ví dụ 1.12. Giải phương trình:

1 2x 1 2x 1 2x 1 2x .

1 2x 1 2x

Ví dụ 1.13. Giải phương trình:

2 2 2 2 x 4y 6x 9 x 4y 2x 12y 10 5 .

b. Ứng dụng tương giao giữa đường thẳng và các đường

conic

Một số phương trình đại số sau một số bước biến đổi sẽ xuất

hiện dạng tọa độ giao điểm của các đường cong nên ta có thể xét sự

tương giao của các đường cong để giải phương trình ban đầu. Đối với

các bài toán ứng dụng tương giao giữa đường thẳng và các đường

conic thường là những bài toán có dạng xác định số nghiệm của

phương trình. Trước hết chúng ta biến đổi phương trình đã cho về

8

một phương trình tương đương sao cho mỗi vế là phương trình của

một đường quen thuộc trong mặt phẳng. Từ đó tìm giao điểm của các

đường tương ứng và suy ra số nghiệm của phương trình ban đầu.

Dưới đây là một số ví dụ minh họa.

Ví dụ 1.14. Biện luận theo tham số thực m số nghiệm của

phương trình:

2

4 x mx 2 m .

Ví dụ 1.15. Giải và biện luận theo tham số thực m phương

trình:

m x m x m.

Ví dụ 1.16. Biện luận theo tham số thực m số nghiệm của

phương trình:

2

12 3x x m.

Ví dụ 1.17. Biện luận theo tham số thực m số nghiệm của

phương trình:

2

x 9 x m .

Ví dụ 1.18. Biện luận theo tham số thực m số nghiệm của

phương trình:

2

x 2x m 4 .

Một số ví dụ tham khảo với phƣơng pháp giải tƣơng tự:

Ví dụ 1.19. Xác định tham số thực k để phương trình sau có

hai nghiệm phân biệt:

2

x 1 x k.

Ví dụ 1.20. Biện luận theo tham số thực m số nghiệm của

phương trình: