Tính toán và đánh giá các tổng hữu hạn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

==========

PHẠM QUỐC KHÁNH

TÍNH TOÁN VÀ ĐÁNH GIÁ

CÁC TỔNG HỮU HẠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

==========

PHẠM QUỐC KHÁNH

TÍNH TOÁN VÀ ĐÁNH GIÁ

CÁC TỔNG HỮU HẠN

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2010

Môc lôc

1 Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn hµm luü thõa 5

1.1 Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn hµm luü thõa cña c¸c sè tù nhiªn . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn hµm lòy thõa vµ c¸c sè Bernoulli . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Kh¸i niÖm vÒ sè Bernoulli vµ ®a thøc Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2 Mét sè hÖ thøc gi÷a tæng lòy thõa vµ sè Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Tæng ®an dÊu vÒ lòy thõa cña sè tù nhiªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn lòy thõa vµ giai thõa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5 Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn hµm luü thõa vµ hµm mò . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn tæ hîp 21

2.1 Tæ hîp vµ nhÞ thøc Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1 Tæ hîp vµ c¸c tÝnh chÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.2 NhÞ thøc Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Mét sè bµi to¸n th«ng dông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Mét sè mÖnh ®Ò vµ c¸c bµi to¸n míi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn hµm l­îng gi¸c 34

3.1 Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn ®a thøc l­îng gi¸c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2 Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn ph©n thøc l­îng gi¸c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3 Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn lòy thõa c¸c hµm sè l­îng gi¸c . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.1 Tæng lòy thõa cña secant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.2 Tæng lòy thõa cña cosecant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3.3 Tæng lòy thõa cña tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.4 Tæng lòy thõa cña cotangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4 Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn hµm luîng gi¸c vµ hµm mò . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.5 Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn hµm l­îng gi¸c vµ tæ hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 Mét sè ph­¬ng ph¸p tÝnh tæng h÷u h¹n 56

1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2

4.1 TÝnh tæng b»ng ph­¬ng ph¸p sö dông c¸c cÊp sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.1.1 CÊp sè céng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.1.2 CÊp sè nh©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.1.3 CÊp sè ®iÒu hßa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.1.4 D·y sè Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2 TÝnh tæng b»ng ph­¬ng ph¸p dù ®o¸n vµ quy n¹p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3 TÝnh tæng b»ng ph­¬ng ph¸p truy håi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.4 TÝnh tæng b»ng ph­¬ng ph¸p ph­¬ng tr×nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.5 TÝnh tæng b»ng ph­¬ng ph¸p khö liªn tiÕp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.6 TÝnh tæng b»ng ph­¬ng ph¸p sai ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.6.1 Kh¸i niÖm vÒ sai ph©n vµ c¸c tÝnh chÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.6.2 C¸c bµi to¸n ¸p dông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5 §¸nh gi¸ c¸c tæng h÷u h¹n 76

5.1 C¸c bµi to¸n vÒ bÊt ®¼ng thøc liªn quan tíi tæng h÷u h¹n . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.2 Mét sè bµi to¸n vÒ tæng h÷u h¹n trong c¸c ®Ò thi quèc tÕ . . . . . . . . . . . . . . . 80

Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Më ®Çu

C¸c bµi to¸n tÝnh tæng th­êng xuÊt hiÖn trong c¸c kú thi häc sinh giái, Olympiad,

To¸n quèc tÕ hay kú thi vµo c¸c tr­êng phæ th«ng chuyªn d­íi nhiÒu h×nh thøc kh¸c

nhau. C¸c bµi to¸n trªn, ®¹i bé phËn lµ nh÷ng bµi to¸n khã mµ häc sinh phæ th«ng,

nhÊt lµ phæ th«ng c¬ së kÓ c¶ häc sinh chuyªn to¸n tá ra rÊt lóng tóng khi gÆp c¸c

bµi to¸n d¹ng nµy.

HiÖn nay tµi liÖu tham kh¶o vÒ tÝnh tæng h÷u h¹n b»ng tiÕng ViÖt ch­a cã nhiÒu,

cßn ph©n t¸n vµ c¸c bµi to¸n khã còng cßn Ýt. CÇn thiÕt ph¶i cã sù tæng hîp, ph©n

lo¹i, giíi thiÖu c¸c ph­¬ng ph¸p tÝnh tæng mét c¸ch hÖ thèng vµ c¸c bµi to¸n khã

h¬n.

V× vËy, viÖc t×m hiÓu vµ ph¸t triÓn s©u thªm vÊn ®Ò " TÝnh to¸n vµ ®¸nh gi¸

c¸c tæng h÷u h¹n" lµ cÇn thiÕt cho c«ng viÖc häc tËp vµ gi¶ng d¹y to¸n ë bËc phæ

th«ng. B¶n luËn v¨n nµy nh»m tr×nh bµy mét sè ph­¬ng ph¸p vÒ tÝnh tæng h÷u h¹n

vµ giíi thiÖu c¸c bµi to¸n trªn ë c¸c møc ®é kh¸c nhau.

LuËn v¨n gåm c¸c phÇn: Më ®Çu, n¨m ch­¬ng néi dung, KÕt luËn vµ Tµi liÖu

tham kh¶o.

Ch­¬ng mét Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn hµm lòy thõa

Ch­¬ng nµy tr×nh bµy c¸c kiÕn thøc vÒ tæng h÷u h¹n cña hµm lòy thõa d¹ng:

Sp(n) = X

n

k=1

k

p

, Lp(n) = X

n

k=1

(2k − 1)p

,

Tp(n) = X

n

k=1

(−1)k

k

p

, Fp(n) = X

n

j=1

j!j

p

.

VËn dông vµ tÝnh to¸n c¸c bµi to¸n nµy lµ sö dông c¸c ph­¬ng ph¸p kh¸c nhau nh­:

Ph­¬ng ph¸p sö dông c¸c cÊp sè, ph­¬ng ph¸p ®¹o hµm, nhÞ thøc Newton, ph­¬ng

ph¸p truy håi, ph­¬ng ph¸p khö liªn tiÕp vµ ph­¬ng ph¸p quy n¹p.

Ch­¬ng hai Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn tæ hîp

Ch­¬ng nµy sö dông vµ kÕt hîp c¸c ph­¬ng ph¸p kh¸c nhau nh­ ph­¬ng ph¸p ®¹o

hµm, nhÞ thøc Newton vµ mét sè c¸c phÐp biÕn ®æi ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n tÝnh tæng

3

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

4

liªn quan ®Õn tæ hîp. Qua ®ã giíi thiÖu mét sè mÖnh ®Ò vµ bµi to¸n míi chØ ®­îc

giíi thiÖu qua c¸c nghiªn cøu cña c¸c nhµ chuyªn m«n.

Ch­¬ng ba Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn hµm l­îng gi¸c

Ch­¬ng nµy tr×nh bµy c¸c bµi to¸n tÝnh tæng cña c¸c hµm l­îng gi¸c liªn quan ®Õn

c¸c chuçi l­îng gi¸c, chuçi lòy thõa, ®a thøc trùc giao, ®a thøc chebyshev hay hµm

mò vµ tæ hîp. Ph­¬ng ph¸p chñ yÕu lµ sö dông c¸c phÐp biÕn ®æi l­îng gi¸c, khö

liªn tiÕp, nhÞ thøc Newton vµ sè phøc.

Ch­¬ng bèn Mét sè ph­¬ng ph¸p tÝnh tæng h÷u h¹n

Tr×nh bµy c¸c bµi to¸n vÒ tæng h÷u h¹n, trong ®ã sö dông c¸c ph­¬ng ph¸p kh¸c

nhau ®Ó tÝnh to¸n, nh­ ph­¬ng ph¸p sö dông c¸c cÊp sè, ph­¬ng ph¸p dù ®o¸n vµ

quy n¹p, ph­¬ng ph¸p truy håi, ph­¬ng ph¸p ph­¬ng tr×nh, ph­¬ng ph¸p khö liªn

tiÕp vµ ph­¬ng ph¸p sai ph©n.

Ch­¬ng n¨m §¸nh gi¸ c¸c tæng h÷u h¹n

Tr×nh bµy mét sè bµi to¸n vÒ bÊt ®¼ng thøc ®èi víi c¸c tæng h÷u h¹n. Ph­¬ng ph¸p

chñ yÕu ®Ó gi¶i bµi to¸n lo¹i nµy lµ sö dông mét sè thñ thuËt nh­: nhãm c¸c sè

h¹ng, t¸ch c¸c sè h¹ng, chÆn trªn, chÆn d­íi, thªm, bít, quy n¹p. §Æc biÖt lµ sö

dông c¸c bÊt ®¼ng thøc quan trong nh­ bÊt ®¼ng thøc Cauchy - Schawrz vµ bÊt ®¼ng

thøc trung b×nh. Qua ®ã giíi thiÖu mét sè ®Ò thi häc sinh giái vµ thi v« ®Þch To¸n

quèc tÕ.

LuËn v¨n ®­îc hoµn thµnh t¹i tr­êng §¹i häc Khoc häc - §HTN d­íi sù h­íng

dÉn khoa häc cña TS. NguyÔnV¨n Ngäc. Tõ ®¸y lßng m×nh t¸c gi¶ xin ®­îc bµy tá

lßng biÕt ¬n ch©n thµnh vµ s©u s¾c nhÊt tíi ThÇy h­íng dÉn.

T¸c gi¶ xin bµy tá lßng c¶m ¬n tíi c¸c ThÇy C« trong Ban gi¸m hiÖu nhµ tr­êng,

Khoa To¸n - Tin, Phßng §µo T¹o, cïng toµn thÓ c¸c ThÇy C« tr­êng §¹i Häc Khoa

Häc, c¸c ThÇy c« gi¶ng d¹y vµ h­íng dÉn Khoa häc líp cao häc K2. §· chØ b¶o

vµ gióp ®ì t¸c gi¶ trong suèt thêi gian theo häc.

T¸c gi¶ xin c¶m ¬n tíi Së GD&§T tØnh Hµ Giang, tr­êng THCS - THPT Linh

Hå ®· t¹o ®iÒu kiÖn cho t¸c gi¶ häc tËp vµ hoµn thµnh khãa häc.

Tuy nhiªn do sù hiÓu biÕt cña b¶n th©n nªn trong qu¸ tr×nh nghiªn cøu kh«ng

tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt. T¸c gi¶ kÝnh mong ®­îc sù chØ d¹y, ®ãng gãp ý kiÕn

cña c¸c ThÇy C« vµ c¸c ®éc gi¶ quan t©m tíi luËn v¨n nµy.

Th¸i Nguyªn, ngµy 10 th¸ng 09 n¨m 2010

T¸c gi¶

Ph¹m Quèc Kh¸nh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Ch­¬ng 1

Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn hµm luü thõa

Ch­¬ng nµy tr×nh bµy c¸c kiÕn thøc vÒ tæng h÷u h¹n cña hµm lòy thõa liªn quan

tíi sè tù nhiªn, sè Bernulli, tæng ®an dÊu, tæng giai thõa vµ hµm mò.

1.1 Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn hµm luü thõa cña c¸c sè tù nhiªn

Trong môc nµy sÏ tr×nh bµy c¸ch tÝnh c¸c tæng d¹ng

Sp(n) = X

n

k=1

k

p

, (1.1)

trong ®ã ta sö dông c¸c tÝnh chÊt cña cÊp sè céng, cÊp sè nh©n (®­îc tr×nh bµy ë

ch­¬ng 4) ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n. Chóng ta ®· biÕt

S1(n) = n(n + 1)

2

. (1.2)

Bµi to¸n 1.1. TÝnh S2(n) vµ S3(n).

6Lêi gi¶i. a) TÝnh S2(n). Sö dông c«ng thøc

k

3 − (k − 1)3 = 3k

2 − 3k + 1 ⇔ 3k

2 = k

3 − (k − 1)3 + 3k − 1.

Ta cã

3

X

n

k=1

k

2 =

X

n

k=1

[k

3 − (k − 1)3 + 3k − 1] = X

n

k=1

[k

3 − (k − 1)3

] + 3X

n

k=1

k −

X

n

k=1

1

= n

3 + 3

n(n + 1)

2

− n =

n(n + 1)(2n + 1)

2

.

VËy

S2(n) = n(n + 1)(2n + 1)

6

. (1.3)

5

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

6

b) TÝnh S3(n). Tõ c«ng thøc

k

4 − (k − 1)4 = 4k

3 − 6k

2 + 4k − 1 ⇔ 4k

3 = k

4 − (k − 1)4 + 6k

2 − 4k + 1.

Ta cã

4

X

n

k=1

k

3 =

X

n

k=1

[k

4 − (k − 1)4 + 6k

2 − 4k + 1]

=

X

n

k=1

[k

4 − (k − 1)4

] + 6X

n

k=1

k

2 − 4

X

n

k=1

k + n

= n

4 + 6S2(n) − 4S1(n) + n

= n

4 + n(n + 1)(2n + 1) − 2n(n + 1) + n.

VËy

S3(n) = n

2

(n + 1)2

4

. (1.4)

Bµi to¸n 1.2. TÝnh c¸c tæng Sp(n), p ∈ N, p ≥ 4.

6Lêi gi¶i. Sö dông nhÞ thøc Newton

(a + b)

p =

X

p

i=0

C

i

pa

p−i

b

i

, Ci

p =

p!

i!(p − i)!.

Ta cã

(k − 1)p =

X

p

i=0

C

i

pk

p−i

(−1)i = k

p − pkp−1 +

X

p

i=2

C

i

pk

p−i

(−1)i

,

suy ra

pkp−1 = k

p − (k − 1)p +

X

p

i=2

C

i

pk

p−i

(−1)i

. (1.5)

Céng tõng vÕ c¸c ®¼ng thøc trong c«ng thøc (1.5) theo k = 1, 2, ..., n, ta ®­îc

pSp−1(n) = n

p +

X

p

i=2

C

i

p

(−1)iSp−i(n) (1.6)

Theo c«ng thøc truy håi (1.6) vµ c¸c c«ng thøc (1.2) - (1.4) chóng ta tÝnh Sp−1 th«ng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

7

qua c¸c gi¸ trÞ p ®ñ nhá.

S4(n) = 1

30

n(n + 1)(2n + 1)(3n

2 + 3n − 1), (1.7)

S5(n) = 1

12

n

2

(n + 1)2

(2n

2 + 2n − 1), (1.8)

S6(n) = 1

42

n(n + 1)(2n + 1)(3n

4 + 6n

3 − 3n + 1), (1.9)

S7(n) = 1

24

n

2

(n + 1)2

(3n

4 + 6n

3 − n

2 − 4n + 2), (1.10)

S8(n) = 1

90

n(n + 1)(2n + 1)(5n

6 + 15n

5 + 5n

4 − 15n

3 − n

2 + 9n − 3), (1.11)

S9(n) = 1

20

n

2

(n + 1)2

(n

2 + n − 1)(2n

4 + 4n

3 − n

2 − 3n + 3). (1.12)

Bµi to¸n 1.3. TÝnh c¸c tæng luü thõa cña c¸c sè tù nhiªn lÎ

Lp(n) = X

n

k=1

(2k − 1)p

, p ∈ N

∗

. (1.13)

6Lêi gi¶i. Ta cã

L1(n) = 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n

2

. (1.14)

Víi p > 1 chóng ta biÕn ®æi c«ng thøc (1.13) nh­ sau

Lp(n) = 1p + 3p + 5p + ... + (2n − 1)p

= [1p + 2p + 3p + 4p + ... + (2n − 1)p + (2n)

p

]

− [2p + 4p + 6p + ... + (2n)

p

]

= Sp(2n) − 2

pSp(n).

VËy ta cã c«ng thøc

Lp(n) = Sp(2n) − 2

pSp(n), (1.15)

trong ®ã Sp(n) ®­îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (1.1). Theo c«ng thøc (1.15) ta cã

L2(n) = S2(2n) − 2

2S2(n) = 4

3

n

3 −

1

3

n, (1.16)

L3(n) = S3(2n) − 2

3S3(n) = 2n

4 − n

2

, (1.17)

L4(n) = S4(2n) − 2

4S4(n) = 16

5

n

5 −

8

3

n

4 +

7

15

n, (1.18)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn