Tính ổn định của nghiệm kỳ dị của mô hình tăng trưởng solow

Nguyễn Văn Minh và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 124(10): 45 - 47

45

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM KỲ DỊ CỦA MÔ HÌNH

TĂNG TRƯỞNG SOLOW

Nguyễn Văn Minh1*, Nguyễn Văn Thảo2 Nguyễn Thị Thu Hằng1

1Trường Đại học Kinh tế và Quản trị Kinh doanh - ĐH Thái Nguyên 2Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - ĐH Thái Nguyên

TÓM TẮT

Mô hình Solow nghiên cứu sự tăng trưởng kinh tế được mô tả bởi bài toán Cauchy của phương

trình vi phân Bernoulli có nghiệm kỳ dị. Bài toán này với điều kiện ban đầu

y(0) 0 

luôn luôn

cho hai nghiệm, trong đó có một nghiệm kỳ dị. Người ta chỉ quan tâm tới nghiệm thường của bài

toán. Việc nghiên cứu sâu hơn về nghiệm kỳ dị chưa được quan tâm. Trong bài báo này chúng tôi

nghiên cứu về tính ổn định của các nghiệm, kể cả nghiệm kỳ dị, của mô hình Solow.

Từ khóa: Bài toán Cauchy, phương trình vi phân, tăng trưởng kinh tế, mô hình kinh tế, mô hình

tăng trưởng Solow, trạng thái ổn định

MÔ HÌNH TĂNG TRƯỞNG SOLOW*

Mô hình tăng trưởng Solow được mô tả bởi

bài toán Cauchy sau đây

0

( ) . ( ( )) . ( ) (1.1)

(0) (1.2)

k t s f k t k t

k k

  



  

Với

( ) ( )

( )

K t k t

L t



là tỷ số vốn/lao động. Biến

này biểu thị hàm lượng vốn tính bình quân

trên một đơn vị lao động. s là hằng số dương

nhỏ hơn 1, biểu thị tiết kiệm cận biên.



là

hệ số tăng trưởng lao động.

0

(0)

(0)

K

k

L



là

điều kiện ban đầu, biểu thị tỷ số vốn/lao động

tính tại thời điểm ban đầu.

Nghiên cứu về định tính của bài toán (1.1)-

(1.2) đã được trình bày trong hầu hết các tài

liệu về toán kinh tế.

Trong bài báo này ta quan tâm phân tích định

lượng và đặc biệt là tính không ổn định của

nghiệm kỳ dị của bài toán (1.1)-(1.2).

PHÂN TÍCH ĐỊNH LƯỢNG

Xét trường hợp hàm sản xuất là hàm Cobb￾Douglas có dạng

1 Q t aK t L t a ( ) ( ) ( ) ( 0;0 1)   



   

Khi đó bài toán (1.1)-(1.2) được viết lại:

* Tel: 0912 119767, Email: [email protected]

0

( ) . ( ) . ( ) (2.3)

(0) (2.4)

k t k t s ak t

k k

    



  

Phương trình (1.3) là phương trình Bernoulli.

Phương trình này luôn luôn có hai nghiệm,

trong đó một nghiệm là nghiệm tổng quát,

một nghiệm là nghiệm kỳ dị:

Nghiệm tổng quát

1

1

(1 )

.

t sa

y c e



 



          

,

ở đây c là hằng số tích phân.

Nghiệm kỳ dị

y  0.

Bài toán Cauchy (2.3)-(2.4) tùy theo giá trị

của

0

k

mà bài toán có duy nhất nghiệm hay

hai nghiệm, có hai trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1. Nếu

0

k  0

, bài toán (2.3)-

(2.4) cho nghiệm duy nhất là:

1

1

1 (1 )

0

. . ( ) s a s a t

k t k e



  

 

                  

Trường hợp 2. Nếu

0

k  0

, bài toán (2.3)-

(2.4) có hai nghiệm là:

 

1

1 1

1

1 1 (1 ) (1 ) 1

2

( ) 0 (2.5)

. . ( ) 1 (2.6) t t

k t

s a s a sa k t e e

      

  

 

    



                