Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính và tính ổn định hóa được của các hệ điều khiển tuyến tính.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

KHOA TOÁN

− − − ? − − −

PHAN THỊ THANH NGA

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG

TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH HÓA ĐƯỢC

CỦA CÁC HỆ ĐIỀU KHIỂN

TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành: Cử Nhân Toán

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn:

Th.S NGUYỄN HOÀNG THÀNH

Đà Nẵng, 5/2014

Mục lục

1 Một số kiến thức chuẩn bị 7

1.1 Đại số tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Giải tích thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.2 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.4 Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.5 Phiếm hàm tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.6 Toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.7 Giải tích lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.8 Toán tử nửa nhóm liên tục . . . . . . . . . . . . . 17

1.3 Phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Tính điều khiển được 26

2.1 Các khái niệm về tính điều khiển được . . . . . . . . . . . 26

2.2 Tiêu chuẩn hạng Kalman đối với hệ tuyến tính dừng . . . 28

2.3 Ma trận tích phân điều khiển được đối với hệ (2.1) . . . . 34

2.4 Hệ điều khiển dừng có hạn chế . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5 Các hệ điều khiển vô hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Tính ổn định hóa của hệ điều khiển tuyến tính 45

3.1 Các khái niệm ổn định trong phương trình vi phân . . . . 45

3.2 Bài toán ổn định Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3 Ổn định các hệ tựa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 55

− 2 −

3.4 Phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.5 Khái niệm ổn định hóa của hệ điều khiển . . . . . . . . . 61

3.6 Điều kiện đủ để hệ điều khiển tuyến tính là ổn định hóa . 62

3.7 Tính ổn định hóa mạnh của hệ điều khiển tuyến tính . . . 65

3.8 Ổn định hóa các hệ tựa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . 69

Tài liệu tham khảo 73

− 3 −

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hoàng Thành,

người đã giới thiệu đề tài, cung cấp tài liệu và đã tận tình giúp đỡ em

trong suốt quá trình thực hiện khóa luận. Em cũng xin bày tỏ lòng biết

ơn chân thành đến toàn thể các thầy cô trong khoa Toán, trường Đại học

Sư phạm, Đại học Đà Nẵng đã cho em những kiến thức toán bổ ích trong

suốt quá trình học tập tại trường. Nhân dịp này em cũng xin được gửi

lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động

viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt

nghiệp.

Đà Nẵng, ngày 20 tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Phan Thị Thanh Nga

− 4 −

LỜI MỞ ĐẦU

Lý thuyết điều khiển toán học là một trong những lĩnh vực toán học

ứng dụng quan trọng mới được phát triển khoảng vài chục năm trở lại

đây. Công cụ chính của lý thuyết điều khiển toán học là những mô hình

và các phương pháp toán học ứng dụng để giải quyết những vấn đề định

tính của các hệ thống điều khiển. Rất nhiều bài toán thực tiễn trong khoa

học, công nghệ, kinh tế được mô tả bởi các phương trình toán học điều

khiển thuần túy và cần đến những công cụ toán học tinh vi, hiện đại để

tìm lời giải.

Một trong những vấn đề quan trọng trong lý thuyết điều khiển hệ thống

là lý thuyết điều khiển được, nghĩa là tìm một chiến lược điều khiển sao

cho có thể chuyển hệ thống từ một trạng thái này sang một trạng thái

khác. Bài toán điều khiển được liên quan chặt chẽ đến các bài toán khác

như bài toán ổn định và ổn định hóa, bài toán điều khiển tối ưu,...

Mục đích của vấn đề ổn định hóa một hệ thống điều khiển là tìm các

hàm điều khiển ngược sao cho hệ thống đã cho ứng với điều khiển đó trở

thành hệ thống ổn định được tại trạng thái cân bằng.

Bố cục của khóa luận bao gồm ba chương.

• Chương 1 của khóa luận này trình bày những định nghĩa, khái niệm

và định lý cơ bản của giải tích thực, đại số tuyến tính, giải tích hàm

và phương trình vi phân.

• Chương 2 của khóa luận này đề cập đến các kiến thức cơ sở về bài

toán điều khiển được của các hệ động lực với thời gian liên tục. Các

tiêu chuẩn và điều kiện để các hệ điều khiển có cấu trúc từ đơn giản

đến phức tạp là điều khiển được.

• Chương 3 của khóa luận này giới thiệu bài toán ổn định Lyapunov,

phương pháp hàm Lyapunov và tính ổn định hóa các hệ điều khiển.

Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế

nên khi làm khóa luận không tránh khỏi sai sót. Em rất mong nhận được

− 5 −

những góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và các bạn. Xin

chân thành cảm ơn!

Đà Nẵng, ngày 20 tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Phan Thị Thanh Nga

− 6 −

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Đại số tuyến tính

Định nghĩa 1.1. Cho m, n là hai số nguyên dương. Một ma trận cấp

(m × n) là một bảng số có dạng





a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

.

.

.

.

.

.

...

.

.

.

am1 am2 · · · amn





m×n

hoặc













a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

.

.

.

.

.

.

...

.

.

.

am1 am2 · · · amn













m×n

.

Trong đó aij ∈ R, ∀ i = 1, m, j = 1, n

Người ta thường kí hiệu ma trận bởi A = (aij )m×n

Cho A = (aij )m×n. Đặt A0 = (bij )n×m với aij = bij . Khi đó A0 được gọi

là ma trận chuyển vị của A.

Định nghĩa 1.2. Cho ma trận A = (aij )m×n. Lấy k là số nguyên sao

cho k ≤ min{m, n}. Từ ma trận A lấy k hàng, k cột theo thứ tự từ nhỏ

− 7 −