Tính chất fréchet-urysohn trên không gian cầu trường được

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

VÕ THỊ TUYẾT NHU

TÍNH CHẤT FRÉCHET-URYSOHN

TRÊN KHÔNG GIAN CẦU TRƯỜNG ĐƯỢC

Chuyên ngành: Giải tích

Mã số: 60 46 01 02

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2017

Công trình được hoàn thành tại

Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN

——————————–

Người hướng dẫn khoa học: TS. LƯƠNG QUỐC TUYỂN

Phản biện 1: TS. Phan Đức Tuấn

Phản biện 2: TS. Hoàng Quang Tuyến

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận

văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Phân hiệu Kon

Tum - Đại học Đà Nẵng vào ngày 26 tháng 8 năm 2017

Có thể tìm hiểu luận văn tại

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

Nhóm topo đã được G. Birkhoff đưa ra vào năm 1936 trong. Sau đó,

nhiều tác giả trên thế giới đã giới thiệu nhiều khái niệm suy rộng của nó và

đã thu được những kết quả mở rộng của một số kết quả trong nhóm topo.

Đặc biệt, vào năm 1996, A. S. Gulko đã giới thiệu khái niệm không gian

cầu trường được (rectifiable space), đã chứng minh rằng mỗi nhóm topo là

một không gian cầu trường được, và không gian cầu trường được như là

một sự suy rộng của nhóm topo. Hơn nữa, tác giả cũng đưa ra ví dụ nhằm

chỉ ra rằng sự mở rộng này là không tầm thường. Gần đây, một số tác giả

đã nghiên cứu tính chất compact cũng như tính chất Fréchet-Urysohn, tính

chất Fréchet-Urysohn mạnh trên không gian cầu trường được và đã thu

được nhiều kết quả thú vị. Hơn nữa,các tác giả đã đặt ra bài toán sau.

Bài toán 1. Mỗi không gian cầu trường được chính quy có là không

gian hoàn toàn chính quy hay không?

Bài toán 2. Giả sử K là tập con compact và F là tập con đóng

của không gian cầu trường được G. Khi đó, KF có là tập con đóng

trong G hay không?

Hai bài toán trên đã thu hút nhiều nhà nghiên cứu topo đại cương trên

thế giới quan tâm nhưng đến nay vẫn còn mở.

Nhờ những lý do như trên cùng với sự định hướng của thầy giáo Lương

Quốc Tuyển, chúng tôi đã quyết định chọn đề tài: “Tính chất Fréchet-

2

Urysohn trên không gian cầu trường được” làm đề tài luận văn thạc sỹ.

2. Mục đích nghiên cứu

• Tìm hiểu mối quan hệ giữa các không gian: Không gian Fréchet￾Urysohn, không gian Fréchet-Urysohn mạnh, không gian dãy và không gian

thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất.

• Tìm hiểu một số tính chất của không gian cầu trường được. Tìm hiểu

tính chất Fréchet-Urysohn và tính chất Fréchet-Urysohn mạnh trên không

gian cầu trường được.

• Tìm hiểu phép chứng minh chi tiết cho Định lí 2.1.

3. Đối tượng nghiên cứu

Tính chất Fréchet-Urysohn và tính chất Fréchet-Urysohn mạnh trên

không gian cầu trường được.

4. Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về mối liên hệ giữa tính chất Fréchet-Urysohn và Fréchet￾Urysohn mạnh trên không gian cầu trường được.

5. Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong quá trình

thực hiện đề tài. Bằng cách thu thập những bài báo liên quan với đề tài

của các tác giả đi trước nhằm tìm được phép chứng minh chi tiết cho Định

lí 2.1.

6. Tổng quan và cấu trúc luận văn

3

Trong luận văn này, chúng tôi chứng minh chi tiết mối liên hệ giữa không

gian Fréchet-Urysohn, không gian Fréchet-Urysohn mạnh, không gian dãy

và không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất. Chứng minh chi tiết

mối liên hệ giữa tính chất Fréchet-Urysohn với tính chất Fréchet-Urysohn

mạnh trên không gian cầu trường được. Nội dung luận văn được trình bày

trong hai chương. Ngoài ra, luận văn có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục

lục, Phần mở đầu, phần Kết luận và Kiến nghị, Tài liệu tham khảo.

Trong chương thứ nhất, chúng tôi trình bày về các kiến thức cơ bản

của topo đại cương nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu Chương 2.

Trong chương thứ hai, chúng tôi trình bày về mối quan hệ giữa các

không gian Fréchet-Urysohn, Fréchet-Urysohn mạnh, không gian dãy, không

gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất. Chứng minh chi tiết mối quan

hệ giữa tính chất Fréchet-Urysohn và tính chât Fréchet-Urysohn mạnh trên

không gian cầu trường được.

4

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức về topo đại

cương, các khái niệm và các tính chất trong chương này được chúng tôi

trình bày và chứng minh chi tiết nhằm hiểu thấu đáo hơn các kiến thức về

topo, cũng như nhằm phục vụ cho việc chứng minh các kết quả chính của

chương sau. Sau đây là những ký hiệu được chúng tôi sử dụng trong toàn

bộ luận văn.

N = {1, 2, . . . }, ω = N ∪ {0}.

1.1. Không gian topo, tập hợp mở và lân cận của một tập hợp

Định nghĩa 1.1.1. Giả sử τ là họ nào đó gồm các tập con của tập hợp

X thỏa mãn các điều kiện sau.

(a) ∅, X ∈ τ ;

(b) Nếu U, V ∈ τ , thì U ∩ V ∈ τ ;

(c) Nếu {Uα}α∈Λ ⊂ τ , thì S

α∈Λ

Uα ∈ τ .

Khi đó,

1) τ được gọi là một topo trên X.

2) Cặp (X, τ ) được gọi là một không gian topo.

3) Mỗi phần tử của τ được gọi là một tập hợp mở.

4) Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm của nó.

5

Nhận xét 1.1.2. Đối với không gian topo X, các khẳng định sau là đúng.

1) ∅, X là các tập hợp mở;

2) Giao hữu hạn tập hợp mở là một tập hợp mở;

3) Hợp tùy ý các tập hợp mở là một tập hợp mở.

Ví dụ 1.1.3. Giả sử X là một tập hợp, τ1 là họ gồm tất cả các tập con

của X và τ2 = {∅, X}. Khi đó, τ1, τ2 là các topo trên X. Lúc này, ta nói

rằng τ1 là topo rời rạc và τ2 là topo thô trên X.

Ví dụ 1.1.4. Giả sử (X, d) là một không gian metric và

τ = {A ⊂ X : A là tập con mở trong (X, d)}.

Khi đó, τ là một topo trên X và ta nói rằng τ là topo được sinh bởi

metric d. Đặc biệt, nếu X = R và metric d là khoảng cách thông thường

trên R, nghĩa là

d(x, y) = |x − y| với mọi x, y ∈ R,

thì ta nói rằng τ là topo thông thường trên R.

Định nghĩa 1.1.5. Giả sử A là một tập con của không gian topo (X, τ ).

Khi đó, tập con U của X được gọi là một lân cận của A nếu tồn tại V ∈ τ

sao cho

A ⊂ V ⊂ U.

Ngoài ra, nếu U ∈ τ , thì ta nói rằng U là lân cận mở của A. Đặc biệt,

nếu A = {x}, thì ta nói rằng U là lân cận của x.

Nhận xét 1.1.6. Lân cận của một điểm không nhất thiết là một tập hợp

mở, nhưng mỗi tập hợp mở là lân cận của mọi điểm thuộc nó.

6

Bổ đề 1.1.7. Đối với không gian topo (X, τ ), các khẳng định sau là

tương đương.

1) U là tập hợp mở;

2) U là lân cận của mọi điểm thuộc nó;

3) Với mọi x ∈ U, tồn tại lân cận Vx của x sao cho x ∈ Vx ⊂ U.

Định nghĩa 1.1.8. Giả sử (X, τ ) là một không gian topo và B ⊂ τ . Ta

nói rằng B là cơ sở của (X, τ ) (hay là cơ sở của τ ) nếu mỗi phần tử của

τ là hợp nào đó các phần tử của B.

Nhận xét 1.1.9. Giả sử (X, τ ) là một không gian topo một B ⊂ τ .

Khi đó,

1) Nếu B là cơ sở của τ , thì mỗi phần tử của B là một tập hợp mở trong X,

nhưng mỗi tập hợp mở trong X có thể không thuộc B.

2) B là cơ sở của không gian topo (X, τ ) khi và chỉ khi với mọi U ∈ τ

và với mọi x ∈ U, tồn tại V ∈ B sao cho

x ∈ V ⊂ U.

Định nghĩa 1.1.10. Giả sử Ux là một họ gồm tất cả các lân cận của x

trong X. Ta nói rằng họ Bx ⊂ Ux là một cơ sở lân cận tại x nếu với mọi

U ∈ Ux, tồn tại V ∈ Bx sao cho

x ∈ V ⊂ U.

1.2. Tập hợp đóng và bao đóng của một tập hợp

Định nghĩa 1.2.1. Tập con A của một không gian topo (X, τ ) được gọi

là tập hợp đóng trong X nếu X\A ∈ τ .