Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Tính chất Acyclic của tập nghiệm của một số phương trình tích phân trong không gian Fréchet
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
176
TÍNH CHẤT ACYCLIC CỦA TẬP NGHIỆM CỦA MỘT SỐ
PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN FRÉCHET
Lê Hoàn Hóa 1
, Đỗ Hoài Vũ 2
TÓM TẮT
Trong báo cáo chúng tôi trình bày các nghiên cứu cấu trúc topo (dạng Aronszajn) của
các phương trình:
( ) = ( ) ( , , ( ( ))) ( , ) ( , (
2
( ))) , 0
( )
2
0
1
( )
1
0
x t t f s t x s ds K s t g s x s ds t
t t
(1)
( ) = ( ) ( , ( ( ))) ( , , ( ( ))) ( , , (
2
( ))) , 0
( )
2
0
1
( )
1
0
x t t v t x t f t s x s ds w t s x s ds t
t t
(2)
Với
i
,i
, :[0, ) [0, ),i =1,2
;
w f E E
2
, :[0, )
;
g,v :[0,)E E ,
:[0, ) ( , )
2 K L E E (các hàm f, g, w có thể không liên tục tại một số giá trị s và cùng thêm
nhiều giả thiết khác sẽ đặt sau); E là không gian Banach thực với chuẩn
| . |
và
L(E,E)
là
không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ E vào E .
Các kết quả mà chúng tôi thu được tổng quát hơn các nghiên cứu trước đó.
1 Giới thiệu
Khi khảo sát phương trình tích phân (hoặc vi phân) nói chung ngoài việc chứng minh
sự tồn tại nghiệm thì cấu trúc của tập nghiệm cũng được xem xét (trong trường hợp phương
trình có nhiều nghiệm). Theo [8] năm 1890 Peano khi nghiên cứu bài toán Cauchy:
,t [0, ].
(0) =
( ) = ( , ( ))
0
a
x x
x t g t x t
(1)
Với
n n
g :[0, a] R R
là hàm liên tục đã chứng minh được trong trường hợp n=1 tập
nghiệm S của (1) là continuum (khác rỗng, compact và liên thông) (xét topo trên đường thẳng
thực) với t thuộc lân cận
0
t , kết quả này được mở rộng bởi Kneser (1923) khi xét n tùy ý.
Năm 1928 Hukuhara cũng đạt được kết quả tương tự nhưng xét trên không gian Banach của
các hàm liên tục với chuẩn sup.
Năm 1942 N.Aronszajn đã chứng minh được ngoài tính chất continuum của tập
nghiệm S của (1), S còn đồng phôi với giao của một dãy giảm các không gian compact co rút
(compact contractible) nghĩa là S là acyclic, như vậy mặc dù S không đơn trị nhưng đứng trên
1
PGS.TS Khoa Toán-Tin ĐHSP Tp.HCM
2 Th.S Khoa KHCB ĐHCN Tp.HCM