Tính chất của môđun e-đối cốt yếu và e- địa phương.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

ĐOÀN THỊ KIM CHI

TÍNH CHẤT

CỦA MÔ ĐUN E-ĐỐI CỐT YẾU VÀ

E-ĐỊA PHƯƠNG

CHUYÊN NGÀNH : Phương pháp toán sơ cấp

MÃ SỐ : 60.46.40

TÓM TẮT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2014

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. TRƯƠNG CÔNG QUỲNH

Phản biện 1: TS. PHẠM QUÝ MƯỜI

Phản biện 2: GS.TS LÊ VĂN THUYẾT

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp

thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 10 tháng 01 năm

2015

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Bách Khoa, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

Việc nghiên cứu lý thuyết môđun cho đến nay được phát triển

mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng trong nghiên cứu lý thuyết vành

và môđun. Một trong các hướng để nghiên cứu vành là đặc trưng

vành qua tính chất của một lớp xác định nào đó các môđun trên

chúng.

Việc mở rộng các lớp môđun là một trong những vấn đề đang

được nhiều tác giả nghiên cứu về lý thuyết vành và môđun quan

tâm.

Tác giả Er và Nil Orhan đã nghiên cứu một vài thuộc tính của

vành hoàn chỉnh và nửa hoàn chỉnh thông qua môđun nâng. Tác

giả D.X. Zhou và X. R. Zhang cũng đã giới thiệu môđun e-đối cốt

yếu và một số tính chất của nó cũng đã được nghiên cứu. Hơn

nữa, năm 2006 Yousif – Zhou nghiên cứu lớp vành δ-hoàn chỉnh

và δ-nửa hoàn chỉnh đã đạt được nhiều kết quả và nó trở thành

công cụ hữu ích để khảo sát tiếp các lớp vành khác.

Tác giả Kosan đã giới thiệu khái niệm δ-phần phụ và nghiên

cứu nhiều tính chất của lớp môđun này và mối quan hệ của môđun

δ-phần phụ và môđun phần phụ. Gần đây, tính chất cơ bản của

môđun cốt yếu và e-cốt yếu cũng được nhiều tác giả chú ý đến

để nghiên cứu các tính chất của vành và môđun. Tác giả Rachid

Tribak đã nghiên cứu khái niệm của môđun δ-địa phương và δ￾phần phụ nhiều và cũng chứng minh được một vài tính chất của

2

chúng.

Dựa trên những kết quả của các bài báo đó, bằng phương pháp

tương tự chúng tôi nghiên cứu lớp môđun e-phần phụ, e-nâng, e￾địa phương. Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu luận văn là:

“Tính chất của môđun e-đối cốt yếu và e-địa phương ”.

2. Mục đích nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài này là phát biểu một số khái niệm và tính

chất của môđun con e-đối cốt yếu và môđun e-địa phương nhằm

tạo ra một số kết quả làm cơ sở để khảo sát tiếp và mở rộng thêm

một số thuộc tính của môđun với điều kiện trên môđun con e-đối

cốt yếu.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

− Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu một số thuộc tính của

môđun con e-đối cốt yếu và e-địa phương. Áp dụng lớp môđun

e-phần phụ và e-nâng trong lớp vành các số nguyên.

− Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu từ các tài liệu của giáo viên

hướng dẫn, các bạn học viên trong lớp, và các tài liệu sưu tầm

được, đồng thời sử dụng các trang wed như: diendantoanhoc.net,

math.vn,. . .

4. Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu từ các tài liệu, các giáo trình về lớp môđun e-phần

phụ, e-nâng, e-địa phương và e-phần phụ nhiều.

3

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề

tài

Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, có thể sử dụng như là

tài liệu tham khảo dành cho học viên và một số người quan tâm

nghiên cứu về Lý thuyết vành và môđun.

6. Bố cục đề tài

Ngoài phần mở đầu (3 trang), kết luận (1 trang), và 6 tài liệu

tham khảo, luận văn gồm có 3 phần:

Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương 2. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN E-PHẦN

PHỤ VÀ E-NÂNG

Chương 3. MÔĐUN E-ĐỊA PHƯƠNG VÀ E-PHẦN PHỤ

NHIỀU

4

CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi nêu một số kí hiệu, khái niệm và

các kết quả liên quan đến đề tài và chúng được trích dẫn từ các

tài liệu tham khảo [1] và [5].

Trong toàn bộ đề tài này, vành R đã cho là vành có đơn vị

1 6= 0, không nhất thiết phải giao hoán. Các môđun được xét là

các R-môđun phải.

1.1 Một số khái niệm và kết quả liên quan

Định nghĩa 1.1.1. Môđun con cốt yếu (lớn).

Định nghĩa 1.1.2. Môđun con đối cốt yếu (nhỏ).

Mệnh đề 1.1.3. Cho M là R-môđun với các môđun con K ≤ N ≤

M và H ≤ M. Khi đó, chúng ta có:

(1) K ≤e M ⇐⇒ K ≤e N và N ≤e M.

(2) H ∩ K ≤e M ⇐⇒ H ≤e M và K ≤e M.

Mệnh đề 1.1.4. Cho M là R-môđun với các môđun con K ≤ N ≤

M và H ≤ M. Khi đó:

(1) N  M nếu và chỉ nếu K  M và N/K  M/K.

(2) (H + K)  M nếu và chỉ nếu H  M và K  M.

Định lý 1.1.5. Cho M, N là các R-môđun. Khi đó:

5

(1) Nếu M có dãy các môđun con A ≤ B ≤ C thì B  C kéo theo

A  M.

(2) Nếu Ai  M, ∀i = 1, n thì Pn

i=1

Ai  M.

Mệnh đề 1.1.6. Nếu K  M và f : M −→ N là một đồng cấu

thì f(K)  N. Đặc biệt, nếu K  M ≤ N thì K  N.

Bổ đề 1.1.7. Môđun con K ≤ M là cốt yếu trong M nếu và chỉ

nếu với mỗi 0 6= x ∈ M tồn tại r ∈ R sao cho 0 6= xr ∈ K.

Mệnh đề 1.1.8. Cho K1 ≤ M1 ≤ M, K2 ≤ M2 ≤ M và M =

M1 ⊕ M2. Khi đó:

(1) K1 ⊕ K2 ≤e M1 ⊕ M2 nếu và chỉ nếu K1 ≤e M1 và K2 ≤e

M2.

(2) K1 ⊕ K2  M1 ⊕ M2 nếu và chỉ nếu K1  M1 và K2  M2.

Bổ đề 1.1.9. Cho K, L và N là các môđun con của M. Giả sử

K + L = M và (K ∩ L) + N = M. Khi đó K + (L ∩ N) =

L + (K ∩ N) = M.

Mệnh đề 1.1.10. Cho K, L và N là các môđun con của M.

(1) Nếu M = K+L, L ≤ N và N/L  M/L thì (K ∩ N)/(K ∩ L) 

M/(K ∩ L).

(2) Nếu M = K ⊕ L, M = N + L và (N + K)/K  M/K thì

(N + K)/N  M/N.

Mệnh đề 1.1.11. Mọi môđun con N ≤ M có một M-phần bù.

Hơn nữa, nếu N0

là một M-phần bù của N, thì