Tính chất của môđun con s- cốt yếu và môđun e-cs.

B浦 GIÁO D影C VÀ ĐÀO T萎O

Đ萎I H窺C ĐĨ N允NG

ĐINH THANH HUYỀN

TÍNH CH遺T CỦA MÔĐUN CON S-C渦T YẾU

VÀ MÔĐUN E-CS

Chuyên ngành : Ph逢挨ng pháp Toán s挨 c医p

Mã s嘘 : 60.46.40

TÓM TẮT LU一N V;N TH萎C SĨ KHOA H窺C

ĐƠ N印ng - N<m 2015

Công trình đ逢ợc hoàn thành t衣i

Đ萎I H窺C ĐĨ N允NG

Ng逢ời h逢ớng d磯n khoa h丑c: TS. TR姶愛NG CÔNG QUỲNH

Phản biện 1: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Phản biện 2: GS.TS. Lê Văn Thuyết

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp

thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 11 tháng 01 năm

2015

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ Đ井U

1. Tính c医p thi院t c栄a đề tài

Lý thuyết vành và môđun đóng một vai trò quan trọng trong

đại số kết hợp. Với sự tổng quát hóa không gian vectơ ta có được

các môđun và các phạm trù đặc trưng vành R. Lớp môđun nội xạ là

một trong những công cụ để nghiên c泳u lý thuyết vành và môđun

trên vành không giao hoán. Trong những thập niên 60, 70 khái niệm

môđun nội xạ đã khẳng định được sự quan trọng trong lý thuyết

môđun và sự tổng quát c栄a nó trong đại số hiện đại. 永ng dụng

môđun nội xạ, người ta nghiên c泳u ra nhiều khái niệm mới chẳng

hạn như: Môđun liên tục, môđun nửa liên tục,…Các môđun này đều

có một tính chất chung đó là tính chất mở rộng c栄a các môđun con,

mọi môđun con là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp. Dựa vào tính

chất chung đó, vào năm 1977, Chatters và Hajarnavis đưa ra khái

niệm môđun CS (hay môđun mở rộng). Khi môđun CS ra đời thì lý

thuyết môđun đã phát triển mạnh mẽ và có nhiều 泳ng dụng quan

trọng trong việc nghiên c泳u lý thuyết vành…

Gần đây, việc nghiên c泳u môđun CS phát triển mạnh nhờ sự

nghiên c泳u về tính chất mở rộng c栄a các môđun con thương cyclic.

Trong những kết quả đã đạt được có Định lý Osofsky-Smith là một

định lý rất quan trọng. Nhờ có định lý này mà một số vấn đề trước

đây bị bác bỏ đã được giải quyết bằng phương pháp khác.

Trong đề tài này chúng tôi xét một trường hợp tổng quát c栄a

môđun CS đó là môđun e-CS thông qua khái niệm môđun con s-cốt

2

yếu và nghiên c泳u về những tính chất c栄a nó. Đây là một vấn đề

hoàn toàn mới và có nhiều tính chất cần được nghiên c泳u. Đó là lý

do chúng tôi chọn đề tài « Tính chất của môđun con s-cốt yếu và

môđun e-CS »

.

2. M映c tiêu nghiên c泳u c栄a đề tài

Từ các khái niệm cơ bản, chúng tôi xây dựng nên khái niệm

môđun con s-cốt yếu, môđun e-CS và nghiên c泳u về các tính chất c栄a nó.

3. Đ嘘i t逢ợng và ph衣m vi nghiên c泳u

3.1. Đối tượng nghiên cứu

Nghiên c泳u các khái niệm và tính chất c栄a lý thuyết

môđun.

3.2 . Phạm vi nghiên cứu

Nghiên c泳u từ các tài liệu, các giáo trình về lý thuyết

môđun và tài liệu liên quan đến môđun CS.

4. Ph逢挨ng pháp nghiên c泳u

Trong luận văn, các phương pháp sử dụng nằm trong các lĩnh

vực sau đây: Lý thuyết môđun, lý thuyết vành.

5. B嘘 c映c đề tài

Luận văn được chia làm ba chương cùng với phần mở đầu,

kết luận và kiến nghị, danh mục các ký hiệu và tài liệu tham khảo.

Chương 1: Trình bày các định nghĩa, ví dụ và các tính chất cơ

bản có liên quan đến luận văn.

Chương 2: Trình bày định nghĩa và một số tính chất c栄a

môđun CS.

Chương 3: Trình bày định nghĩa, một sô tính chất c栄a môđun

con s-cốt yếu, e-đối cốt yếu và môđun e-CS.

Luận văn bắt đầu từ tháng 7 năm 2013, được thực hiện và

hoàn thành tại Khoa sau đại học Trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng

3

dưới sự hướng dẫn c栄a TS.Trương Công Quỳnh.

CH姶愛NG 1

KIẾN TH永C C愛 B謂N

Trong toàn bộ luận văn, vành được xét là vành kết hợp có đơn

vị ký hiệu 1 và các môđun là các môđun phải unita trên một vành R

nào đó.

1.1. Đ卯NH NGHĨA VĨ Vệ D影

Đ鵜nh ngh┄a 1.1.1. Cho môđun M và N M. Môđun con N

được gọi là cốt yếu trong M, ký hiệu N e

 M, nếu bất kì môđun con

K c栄a M với N K0 suy ra K0.

Nếu N là môđun con cốt yếu c栄a M, thì ta nói rằng M là mở

rộng cốt yếu c栄a N.

Ví d映 1.1.2. Môđun M

e

 M; n

e

 ,  n 0.

Đ鵜nh ngh┄a 1.1.3. Cho môđun M và N M. Môđun con N

được gọi là đối cốt yếu trong M, ký hiệu N M, nếu bất kì môđun

con K c栄a M với N+KM suy ra KM.

Đ鵜nh ngh┄a 1.1.4. Môđun U được gọi là đều nếu bất kỳ

môđun con A và B khác 0 c栄a U thì A B 0, hay mọi môđun con

khác không c栄a U là môđun cốt yếu trong U.

Đ鵜nh ngh┄a 1.1.5. Cho R-môđun M.

M được gọi là có chiều Goldie (hay chiều đều) hữu hạn nếu

M không ch泳a tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không.

Ngược lại ta nói M có chiều Goldie vô hạn.

Số hạng tử khác không lớn nhất c栄a tổng trực tiếp các môđun

con M được gọi là số chiều Goldie (hay chiều uniform) c栄a M và

được kí hiệu là Gdim(M) (hay U dim(M)).

Ví d映 1.1.6

4

Đ鵜nh ngh┄a 1.1.7. Cho môđun M và N M. Môđun N được

gọi là đóng trong M nếu N không có một mở rộng thực sự trong M.

Nói cách khác, N được gọi là đóng trong M nếu với mọi môđun con

K 0 c栄a M mà N e

 K thì K=N.

Ví d映 1.1.8. Cho A và B là hai môđun con c栄a M thỏa mãn

M=A B thì môđun B là đóng trong M.

Đ鵜nh ngh┄a 1.1.9. Cho môđun M và N M. Môđun con K c栄a

M được gọi là bao đóng c栄a môđun con N trong M nếu K là một

môđun con tối đại trong M sao cho N e

 K.

Ví d映 1.1.10. Xét - môđun, 2 có bao đóng là .

Đ鵜nh ngh┄a 1.1.11. Cho MR

và N M N  . được gọi là hạng

tử trực tiếp c栄a môđun M nếu tồn tại môđun con P c栄a M sao cho

M N P   . Ta nói P là môđun con phụ c栄a N trong M.

Đ鵜nh ngh┄a 1.1.12. Cho các môđun M và N, H M. Môđun H

được gọi là một phần bù c栄a N trong M nếu H là môđun tối đại trong

các môđun con c栄a M thỏa mãn H  N=0.

Đ鵜nh ngh┄a 1.1.13.

(1) Một môđun M khác không được gọi là môđun đơn trong

trường hợp nó không có những môđun con không tầm thường.

(2) Cho họ

i I 

 Mi

là một tập hợp những môđun con đơn c栄a

M. Nếu M là tổng trực tiếp c栄a tập hợp này, thì M=

i I 

 Mi

là một sự

phân tích nửa đơnc栄a M. Một môđun M được gọi là môđun nửa đơn

trong trường hợp nó có một sự phân tích nửa đơn.

5

Đ鵜nh ngh┄a1.1.14.

(1) Một môđun M được gọi là không thể phân tích được trong

trường hợp nó khác không và không có những hạng tử trực tiếp

không tầm thường.

(2) Một hạng tử trực tiếp K c栄a môđun M được gọi là một

hạng tử trực tiếp tối đại c栄a M nếu và chỉ nếu K có một bù hạng tử

trực tiếp không phân tích được N trong M.

(3) Một sự phân tích M=

i I 

 Mi

c栄a một môđun M như một

tổng trực tiếp c栄a những môđun con khác không

i I 

 Mi được gọi là

bù hạng tử trực tiếp (bù hạng tử trực tiếp tối đại)trong trường hợp

cho mọi hạng tử trực tiếp K c栄a M có tập hợp con J c栄a I với

M = M K.

j

j J

 



   

 

Đ鵜nh ngh┄a 1.1.15. Cho hai môđun I và J.

(1) Môđun I được gọi là J-nội xạ nếu với mỗi đơn cấu

g: K J và với mỗi đồng cấu f: KI thì có một đồng cấu

f *

: J I( f

*

là một mở rộng c栄a f theo đơn cấu g) sao cho:

f *

.g = f.

I

K J

f

g

f

*