Tài liệu Tài liệu ôn thi ĐH năm 2010 - Câu 2 doc

Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 1

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG

TRÌNH ðẠI SỐ

A. Tóm tắt lí thuyết

I. Phương trình lượng giác

1. Các hằng ñẳng thức:

* 2 2 sin cos 1 α α + = với mọi α

* tan .cot 1 α α = với mọi

2

kπ

α ≠

* 2

2

1

1 tan

cos

α

α

+ = với mọi α π ≠ k2

* 2

2

1

1 cot

sin

α

α

+ = với mọi α π ≠ k

2. Hệ thức các cung ñặc biệt

a.Hai cung ñối nhau: α và −α

1) cos( ) cos −α = α 2) sin( ) sin −α = − α

3) tan( ) tan −α = − α 4) cot( ) cot −α = − α

b. Hai cung phụ nhau: α và

2

π

− α

1) cos( ) sin

2

π

− α = α 2) sin( ) cos

2

π

− α = α

3)tan( ) cot

2

π

− α = α 4)cot( ) tan

2

π

− α = α

c. Hai cung bù nhau: α và π α−

1) sin( ) sin π − α = α 2) cos( ) cos π − α = − α

3) tan( ) tan π − α = − α 4)cot( ) cot π − α = − α

d) Hai cung hơn kém nhau π :α và π α+

1) sin( ) sin π + α = − α 2) cos( ) cos π + α = − α

3)tan( ) tan π + α = α 4)cot( ) cot π + α = α

3. Các công thức lượng giác

a. Công thức cộng

1) cos(a b) cosa.cosb sina.sinb ± = ∓

2) sin(a b) sina.cosb cosa.sinb ± = ±

Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 2

tana tanb 3) tan(a b)

1 tana.tanb

±

± =

∓

b) Công thức nhân

1) sin2a 2sinacosa =

2 2 2 2 2)cos2a cos a sin a 1 2sin a 2cos a 1 = − = − = −

3

3) sin3a 3sina 4sin a = −

3

4) cos3a 4cos a 3cosa = −

c. Công thức hạ bậc

2 1 cos2a 1) sin a

2

−

=

2 1 cos2a 2) cos a

2

+

=

3) 2 1 cos2a

tan a

1 cos2a

−

=

+

d. Công thức biến ñổi tích thành tổng

1

1) cosa.cosb [cos(a b) cos(a b)]

2

= − + +

1

2) sina.sinb [cos(a b) cos(a b)]

2

= − − +

1

3) sina.cosb [sin(a b) sin(a b)]

2

= − + + .

e. Công thức biến ñổi tổng thành tích

a b a b 1) cosa cosb 2cos .cos

2 2

+ −

+ =

a b a b 2) cosa cosb 2sin .sin

2 2

+ −

− = −

a b a b 3)sina sinb 2sin .cos

2 2

+ −

+ =

a b a b 4)sina - sinb 2cos .sin

2 2

+ −

=

sin(a b) 5) tana tanb

cosa cosb

+

+ =

sin(a b) 6) tana tanb

cosa cosb

−

− = .

4. Phương trình lượng giác cơ bản

1. Phương trình: sin (1) x m=

* Nếu: m 1 > ⇒ Pt vô nghiệm

* Nếu: m 1 [ ; ]: sin m

2 2

π π ≤ ⇒ ∃α ∈ − α =

Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 3

⇒ (1) sin x sin ⇔ = α ⇔

x k2

x k2

 = α + π 

= π − α + π 

( k Z ∈ ).

Chú ý : * Nếu α thỏa mãn 2 2

sin m

 π π − ≤ α ≤ 

 α = 

thì ta viết α = arcsin m .

*Các trường hợp ñặc biệt:

1) sin x 1 x k2

2

π

= ⇔ = + π 2) sin x 1 x k2

2

π

= − ⇔ = − + π

3) sin x 0 x k = ⇔ = π

2. Phương trình: cos x m (2) =

* Nếu: m 1 > ⇒ phương trình vô nghiệm

* Nếu: m 1 [0; ]: cos m ≤ ⇒ ∃α ∈ π α =

⇒ (2) cos x cos ⇔ = α ⇔

x k2

x k2

 = α + π 

= −α + π 

( k Z ∈ ).

Chú ý : * Nếu α thỏa mãn

0

cos m

 ≤ −α ≤ π



α = 

thì ta viết α = arccos m .

* Các trường hợp ñặc biệt:

1) cos x 1 x k2 = ⇔ = π 2) cos x 1 x k2 = − ⇔ = π + π

3) cos x 0 x k

2

π

= ⇔ = + π

3. Phương trình :tan x m (3) =

Với m ( ; ) :

2 2

π π ∀ ⇒ ∃α ∈ − tan m α =

⇒ (3) tan x tan x k ⇔ = α ⇔ = α + π .

Chú ý : * Nếu α thỏa mãn 2 2

tan m

 π π − < α < 

 α = 

thì ta viết α = arctan m .

* Các trường hợp ñặc biệt:

Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 4

1) tan x 1 x k

4

π

= ⇔ = + π 2) tan x 1 x k

4

π

= − ⇔ = − + π

3) tan x 0 x k = ⇔ = π

4. Phương trình: cot x m (4) =

Với m ( ; ) :

2 2

π π ∀ ⇒ ∃α ∈ − cot m α =

⇒ (4) cotx cot x k ⇔ = α ⇔ = α + π.

Chú ý : * Nếu α thỏa mãn 2 2

cot m

 π π − < α < 

 α = 

thì ta viết α = arc co tm .

* Các trường hợp ñặc biệt:

1) cot x 1 x k

4

π

= ⇔ = + π 2) co t x 1 x k

4

π

= − ⇔ = − + π

3) cot x 0 x k

2

π

= ⇔ = + π

Ghi chú:

*

u v k2

sin u sin v

u v k2

 = + π

= ⇔ 

 = π − + π 

(k Z) ∈

* cos u cos v u v k2 = ⇔ = ± + π (k Z) ∈

* tan u tan v u v k = ⇔ = + π (k Z) ∈

* cotu cot v u v k = ⇔ = + π (k Z) ∈

5. Phương trình lượng giác thường gặp

1. Phương trình bậc hai một hàm số lượng giác: Là phương trình có

dạng

2

sin x sin x

cos x cos x

a. b. c 0

tan x tan x

cot x cot x

   

   

+ + =

   

(1)