Tài liệu Giải tích hàm một biến biên soạn Viện toán học P5 docx

Bµi tËp vµ tÝnh to¸n thùc hµnh Ch−¬ng 11

19

9

4. Chuçi héi tô ®Òu________________________________

Bµi 1 Chøng minh r»ng ®Ó d·y hµm {f n (x)} héi tô ®Òu trªn tËp X tíi hµm f (x) , ®iÒu kiÖn

cÇn vµ ®ñ lµ limsup ( ) = 0 ∈ →∞ r x n x X n , trong ®ã r (x) f (x) f (x) n = − n .

Bµi 2 XÐt sù héi tô ®Òu cña c¸c d·y trªn c¸c kho¶ng t−¬ng øng

1) n

nf (x) = x , ; ) 0 1

2

1

a) ; 0 ≤ x ≤ b ≤ x ≤

2) ( ) , 0 1 1 = − ≤ ≤ − f x x x x n n

n ; 3) ( ) , 0 1 2 f x = x − x ≤ x ≤ n n

n ;

4) , 0 1

1 ( ) ≤ ≤

+ + = x

n x

nx f x n ; 5) = + − ∞ < x < ∞ n

f x x n , 1 ( ) 2

2 ;

6) = + − x < x < ∞ n

f x n x n ) , 0 1 ( ) ( ; 7) = − ∞ < x < ∞ n

nx f x n , sin( ) ( ) ;

8)  − ∞ < < ∞ 

 



 = x

n

x f x n ( ) sin , ; 9) f n (x) = arctan(nx) , 0 < x < ∞ ;

10) f n (x) = x arctan(nx) , 0 < x < ∞ ;

Bµi 3 Chuçi ∑

∞

=

−

0

2

(2 )! ( 1) n

n

n

n

x cã héi tô ®Òu trªn (−∞,+∞) hay kh«ng ?

Bµi 4 Chuçi ∑

∞

=

−

1

2 (1 )

n

n

n

x

x cã héi tô ®Òu trªn [− 2, 2] hay kh«ng ?

Bµi 5 Chøng tá d·y hµm

, 0 1, 1,2,3,... 1

1 ( ) < < = + = x n

nx

f x n ,

héi tô tíi f (x) = 0 trªn ( ,) 0 1 , nh−ng kh«ng héi tô ®Òu.

Bµi 6 Cho d·y hµm

, 0 1, 1,2,3,... (1 ) ( ) 2 2

2

≤ ≤ = + − = x n

x nx

x f x n .

Chøng minh r»ng { } f (x) n bÞ chÆn ®Òu trªn [0,1] vµ

lim ( ) = 0 , 0 ≤ ≤1, →∞

f x x n n

nh−ng kh«ng cã mét d·y con nµo héi tô ®Òu trªn [0,1].

Bµi tËp vµ tÝnh to¸n thùc hµnh Ch−¬ng 11

20

0

Bµi 7 Cho d·y hµm 2 1 ( )

nx

x f x n + = , n=1,2,3,..., x lµ sè thùc. Chøng minh r»ng { } f (x) n héi

tô ®Òu tíi hµm f vµ ta cã

'( ) lim ( ) ' f x f x n n→∞ =

®óng víi mäi x kh¸c 0, nh−ng kh«ng ®óng khi x = 0.

5. Chuçi lòy thõa__________________________________

Bµi 1 Ph©n tÝch

(1 )(1 )(1 )(1 )

1

2 4 8 + x + x + x + x

d−íi d¹ng chuçi lòy thõa.

Bµi 2 X¸c ®Þnh b¸n kÝnh, kho¶ng héi tô vµ nghiªn cøu d¸ng ®iÖu t¹i c¸c ®iÓm biªn cña

kho¶ng héi tô cña c¸c chuçi lòy thõa sau:

1) n

n

n n

x

n

( 1) 3 ( 2)

1

+

+ − ∑

∞

=

; 2) n

n

x

n

n ∑

∞

=1

2

(2 )!

( !) ; 3) n

n

n x

n ∑

∞

=

+ 1

2

)

1 (1 .

6. Chuçi Fourier___________________________________

Bµi 1 Ph©n tÝch hµm





 



 



 



 = π

x

y sin arcsin

d−íi d¹ng chuçi Fourier.

7. Thùc hµnh tÝnh to¸n _____________________________

7.1. Thùc hµnh tÝnh giíi h¹n cña d·y hµm hoÆc tæng cña chuçi hµm

§èi víi mét d·y hµm hoÆc chuçi hµm héi tô, ta cã thÓ dïng MAPLE ®Ó tÝnh hµm giíi

h¹n hoÆc tæng cña chuçi hµm. C¸c thao t¸c gièng hÖt nh− tÝnh giíi h¹n cña d·y hoÆc

tæng cña chuçi sè (xem thùc hµnh tÝnh to¸n ch−¬ng 2). KÕt qu¶ lµ mét hµm sè (nãi

chung phô thuéc vµo biÕn sè x).

Bµi 1 TÝnh tæng ∑

∞

=

= + 1 ! ( ) 1 n

n

n

x f x .

[> 1+sum(x^n/n!,n=1..infinity);

1 + exp(x) (1 - exp(-x))

[> simplify(");

exp(x) .

Bµi 2 TÝnh giíi h¹n f x x

n n

n ( ) lim( ) = + →∞

1 .

Bµi tËp vµ tÝnh to¸n thùc hµnh Ch−¬ng 11

20

1

[> limit((1+x/n)^n,n=infinity);

exp(x) .

Bµi 3 TÝnh giíi h¹n (1 )

lim 2 2 n x

x n

n→∞ + .

[> limit(x*n/(1+n^2*x^2),n=infinity);

0 .

Bµi 4 TÝnh ∑

∞

=

−

+

−

1

2

1

(1 )

( 1)

n

n

n

x .

[> sum((-1)^(n-1)/(1+x^2)^n,n=1..infinity);

2

1

2 x + .

Bµi 5 TÝnh ∑

∞

=1 + 2

2

n (1 )

n x

x .

[> sum(x^2/(1+x^2)^n,n=1..infinity);

1 .

NhËn xÐt Tæng trªn b»ng 0 khi x = 0 vµ b»ng 1víi mäi x kh¸c 0.

7.2. Nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt cña d·y hµm hoÆc tæng cña chuçi hµm

Nhê MAPLE, ta cã thÓ kiÓm tra tÝnh ®óng ®¾n cña c¸c phÐp to¸n: lÊy giíi h¹n, lÊy ®¹o

hµm, lÊy tÝch ph©n... thùc hiÖn trªn chuçi.

Bµi 1 Nghiªn cøu d·y

n

nx f x n

sin( ) ( ) = .

T×m hµm giíi h¹n:

[> limit(sin(n*x)/sqrt(n),n=infinity);

0

Nh− vËy hµm giíi h¹n b»ng f (x) = 0 víi mäi x.

LÊy ®¹o hµm cña hµm giíi h¹n:

[>diff(limit(sin(n*x)/sqrt(n),n=infinity),x);

0 .

LÊy ®¹o hµm cña f (x) n :

[> diff(sin(n*x)/sqrt(n),x);

cos(nx) n .

TÝnh ®¹o hµm cña t¹i x = 0:

[> subs(x=0,cos(n*x)*n^(1/2));

cos(0) n .

§¬n gi¶n: