Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Tài liệu Chương 4: Nguyên tử ppt
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
Chöông 4
NGUYEÂN TÖÛ
Ngay khi vöøa môøi ra ñôøi lyù thuyeát löôïng töû ñaõ ñöôïc öùng duïng ñeå giaûi quyeát baøi toaùn
nguyeân töû, laø lónh vöïc maø lyù thuyeát coå ñieån (cô hoïc, ñieän töø hoïc) khoâng giaûi thích ñöôïc.
Trong chöông naøy chuùng ta seõ khaûo saùt phöông trình Schroedinger cho electron
trong nguyeân töû; xem xeùt caùc keát quaû chính nhaän ñöôïc khi giaûi phöông trình naøy; ruùt ra
nhöõng keát luaän vaø so saùnh vôùi keát quaû thöïc nghieäm. Ñeå ñôn giaûn, chuùng ta seõ chæ xeùt
tröôøng hôïp nguyeân töû moät electron.
4.1) NGUYEÂN TÖÛ MOÄT ELECTRON
Xeùt heä goàm moät haït nhaân coù ñieän tích Ze (Z = 1,2,..) ñöùng yeân vaø moät electron khoái
löôïng me chuyeån ñoäng chung quanh nhaân. Theá naêng cuûa electron taïi khoaûng caùch r töø
haït nhaân laø (tröôøng Coulomb)
U = − Ze2
/4πεor.
1) Phöông trình Schroedinger
Thay U vaøo (3.7) vaø bieán ñoåi, ta ñöôïc phöông trình Schroedinger cho electron
∆ψ+ + = 2
4 2 0
2 m
E
Ze
r
e
h o
( )
πε
ψ . (4.1)
Ñaây laø baøi toaùn 3 chieàu, nhöng coù tính ñoái xöùng caàu, neân toát nhaát laø duøng heä toïa ñoä
caàu. Baèng caùch vieát daïng cuûa toaùn töû Laplace theo toïa ñoä caàu ta ñöôïc phöông trình
Schroedinger coù daïng
(E U(r)) 0 2m
r sin
1 sin
r sin
1
r
r
r r
1
2 2
2
2 2 2
2
2 + − Ψ = ∂ϕ
∂ Ψ
θ ⎟ +
⎠
⎞ ⎜
⎝
⎛
∂θ
∂Ψ θ
∂θ
∂
θ ⎟ +
⎠
⎞ ⎜
⎝
⎛
∂
∂Ψ
∂
∂
h (4.2)
Chuù yù tôùi toaùn töû moment goùc quó ñaïo bình phöông, phöông trình (4.2) coù theå vieát
goïn trong daïng:
42
(E U(r)) 0 2m Lˆ
r
1
r
r
r r
1
2
2
2 2
2
2 ⎟ − Ψ + − Ψ = ⎠
⎞ ⎜
⎝
⎛
∂
∂Ψ
∂
∂
h h (4.3)
Giaûi phöông trình baèng phöông phaùp phaân ly bieán soá, ta ñaët:
Ψ(r,θ,ϕ) = R(r)T(θ)F(ϕ) (4.4)
Ta coù theå chuyeån caùc ñaïo haøm rieâng thaønh ñaïo haøm thöôøng moät bieán:
2
2
2
2
2
2
d
d F RT F RT
d
dT RF T RF
dr
dR TF
r
R TF
r
ϕ = ∂ϕ
∂ = ∂ϕ
∂ Ψ
θ = ∂θ
∂ = ∂θ
∂Ψ
= ∂
∂ = ∂
∂Ψ
Thay (4.4) vaøo (4.3), sau khi chuyeån qua ñaïo haøm thöôøng, ta nhaân phöông trình thu
ñöôïc vôùi θ roài chia phöông trình cho 2 2
r sin R(r)T (θ )F(ϕ) ta ñöôïc:
E 0
r
e K 2mr sin
d
d F
F
1
d
dT sin
d
d
T
sin
dr
dR
r
dr
d
R
sin 2
2
2 2
2
2
2
2
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
θ
+
ϕ
⎟ +
⎠
⎞ ⎜
⎝
⎛
θ
θ
θ
θ ⎟ +
⎠
⎞ ⎜
⎝
θ ⎛
h
Saép xeáp laïi phöông trình, ñöa soá haïng chæ phuï thuoäc ϕ veà moät veá, caùc soá haïng chæ
phuï thuoäc (r , θ ) veà moät veá, ta ñöôïc:
2
2 2
2
2 2
2
2
d
d F
F
1 E
r
e K 2mr sin
d
dT sin
d
d
T
sin
dr
dR
r
dr
d
R
sin
ϕ = − ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
θ ⎟ +
⎠
⎞ ⎜
⎝
⎛
θ
θ
θ
θ ⎟ +
⎠
⎞ ⎜
⎝
θ ⎛
h
Phöông trình naøy chæ ñöôïc nghieäm ñuùng neáu caû hai veá ñeàu cuøng baèng moät haèng soá.
Ñeå thuaän lôïi cho vieäc tính toaùn ta ñaët haèng soá naøy laø ml
2
. Töø ñoù ta coù phöông trình cho
F(ϕ ):
2
2 l
2
m
d
d F
F
1 = ϕ − (4.5)
vaø:
2
l
2
2
2 2
2
2
E m
r
e K 2mr sin
d
dT sin
d
d
T
sin
dr
dR
r
dr
d
R
sin =⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
θ ⎟ +
⎠
⎞ ⎜
⎝
⎛
θ
θ
θ
θ ⎟ +
⎠
⎞ ⎜
⎝
θ ⎛
h
Chia hai veá phöông trình treân cho sin2
θ roài chuyeån caùc soá haïng phuï thuoäc r veà moät
veá, phuï thuoäc goùc θ veà veá coøn laïi. Moãi veá baây giôø cuõng phaûi baèng cuøng moät haèng soá.
Haèng soá naøy ta ñaët laø l(l+1). Ta thu ñöôïc:
l(l 1) d
dT sin
d
d
Tsin
1
sin
m
2
2
l ⎟ = + ⎠
⎞ ⎜
⎝
⎛
θ
θ
θ θ −
θ (4.6)
43