Tài liệu Chương 1 - Bài 1 (Dạng 6): Dùng đơn điệu hàm số để giải và biện luận phương trình và bất

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt .

35

Dạng 6 : Dùng đơn điệu hàm số để giải và biện luận phương trình và

bất phương trình .

Chú ý 1 :

Nếu hàm số y f x = ( ) luôn đơn điệu nghiêm cách trên D ( hoặc luôn đồng biến

hoặc luôn nghịch biến trên D ) thì số nghiệm của phương trình : f x k ( ) = sẽ

không nhiều hơn một và f x f y ( ) = ( ) khi và chỉ khi x y = .

Chú ý 2:

• Nếu hàm số y f x = ( ) luôn đơn điệu nghiêm cách trên D ( hoặc luôn đồng

biến hoặc luôn nghịch biến trên D ) và hàm số y g x = ( ) luôn đơn điệu nghiêm

ngoặc ( hoặc luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến ) trên D , thì số nghiệm trên

D của phương trình f x g x ( ) = ( ) không nhiều hơn một.

• Nếu hàm số y f x = ( ) có đạo hàm đến cấp n trên D và phương trình

( )( ) 0 k

f x = có m nghiệm, khi đó phương trình ( 1)( ) 0 k

f x −

= có nhiều nhất là

m + 1 nghiệm.

Ví dụ 1 : Giải các phương trình

1. 2 2

3 (2 9 3) (4 2)( 1 1) 0 x x x x x + + + + + + + =

2. 3

3 2 2

x x x x x − − + = + − 4 5 6 7 9 4

Giải :

1. 2 2

3 (2 9 3) (4 2)( 1 1) 0 (1) x x x x x + + + + + + + =

Phương trình ( ) 2 2

(1) 3 (2 ( 3 ) 3) (2 1)(2 (2 1) 3) (2) ⇔ − + − + = + + + + x x x x

Đặt u x v x u v = − = + > 3 , 2 1, , 0

Phương trình 2 2 (1) (2 3) (2 3) (3) ⇔ + + = + + u u v v

* Xét hàm số

4 2 f t t t t ( ) 2 3 = + + liên tục trên khoảng (0;+∞)

* Ta có ( )

3

4 2

2 3 '( ) 2 0, 0

3

t t f t t f t

t t

+

= + > ∀ > ⇒

+

đồng biến trên khoảng

(0;+∞).

Khi đó phương trình 1

(3) ( ) ( ) 3 2 1

5

⇔ = ⇔ = ⇔ − = + ⇔ = − f u f v u v x x x