Tài liệu Chương 1 - Bài 1 (Dạng 4): Hàm số đơn điệu trên tập con của R docx

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt .

20

Dạng 4 : Hàm số đơn điệu trên tập con của
.

Phương pháp:

* Hàm số y f x m = ( , ) tăng ∀ ∈x I ' 0 min ' 0

x I

y x I y

∈

⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔ ≥ .

* Hàm số y f x m = ( , ) giảm ' 0 max ' 0

x I

x I y x I y

∈

∀ ∈ ⇔ ≤ ∀ ∈ ⇔ ≤ .

Ví dụ 1 : Tìm m để các hàm số sau

1. mx 4

y

x m

+

=

+

luôn nghịch biến khoảng (−∞;1) .

2. ( )

3 2

y x x m x m = + + + + 3 1 4 nghịch biến trên khoảng (−1;1).

Giải :

1. mx 4

y

x m

+

=

+

luôn nghịch biến khoảng (−∞;1) .

* Hàm số đã cho xác định trên khoảng (−∞;1) .

* Ta có

( )

2

2

4

' , m

y x m

x m

−

= ≠ −

+

Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;1) khi và chỉ khi ( )

( )

' 0, ;1

;1

y x

m



 < ∀ ∈ −∞





− ∉ −∞ 

( )

2

4 0 2 2 2 2

2 1

;1 1 1

m m m

m

m m m

   − <   − < < − < <

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − < ≤ −   

− ∉ −∞ − ≥ ≤ −     

Vậy : với − < ≤ − 2 1 m thì thoả yêu cầu bài toán .

2. ( )

3 2

y x x m x m = + + + + 3 1 4 nghịch biến trên khoảng (−1;1).

* Hàm số đã cho xác định trên khoảng (−1;1) .

* Ta có : 2

y x x m ' 3 6 1 = + + +

Cách 1 :

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (−1;1) khi và chỉ khi

y x ' 0, 1;1 ≤ ∀ ∈ −( ) hay.

Xét hàm số ( ) ( ) ( )

2

g x x x x = − + + ∀ ∈ − 3 6 1 , 1;1

⇒ g x x x g x ' 6 6 0, 1;1 ( ) = − − < ∀ ∈ −( ) ⇒ ( ) nghịch biến trên khoảng (−1;1)

và ( ) ( )

1 1

lim 2,lim 10

x x

g x g x

→− → + −

= − = −

* Bảng biến thiên.