Sự ổn định của hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TẠ VĂN HƯỞNG

SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH

VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2013

Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TẠ VĂN HƯỞNG

SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH

VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành: Giải tích

Mã số : 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Đào Thị Liên

Thái Nguyên - 2013

Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

i

Mục lục

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Chương 1. Kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1. Hệ phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Hệ phương trình vi phân đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Hệ chuyển mạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Chương 2. Sự ổn định của hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến

tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1. Hàm Lyapunov đối với hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính.

28

2.2. Hệ phương trình chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính và những

ví dụ chuyển động. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3. Sự ổn định của hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính . . . . 37

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

1

MỞ ĐẦU

Trong khoa học và ứng dụng thực tiễn hiện nay có nhiều bài toán, chẳng

hạn mô tả hệ thống chuyển mạch của mạng điện, hệ thống mạng viễn

thông,... đòi hỏi phải giải và xét tính ổn định của hệ chuyển mạch vi phân

thường dạng:

x˙ = fσ(x) (0.1)

trong đó σ : R → {1, 2, ..., N} , N ∈ N, là tín hiệu chuyển mạch, x là tín

hiệu trong R

n

, n ∈ N, cũng như hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính

dạng:

Eσx˙ = Aσx (0.2)

trong đó Ep, Ap ∈ R

n×n

, là ma trận hằng với mỗi tham số p ∈ {1, 2, ..., N},

detEp = 0, σ là tín hiệu chuyển mạch.

Khi mỗi ma trận Ep là khả nghịch thì hệ (0.2) đưa về hệ chuyển mạch vi

phân thường (0.1)(hoặc gọi tắt hệ chuyển mạch).

Bài toán về ổn định của hệ chuyển mạch đã nhận được rất nhiều sự chú

ý của các nhà khoa học trong hai thập niên qua và nó đang là vấn đề mang

tính thời sự. Có những ví dụ chỉ ra rằng trong hệ chuyển mạch mặc dù tất

cả các hệ con ổn định nhưng hệ chuyển mạch vẫn không ổn định, cũng có

những ví dụ chỉ ra rằng trong hệ chuyển mạch tất cả các hệ con ổn định

thì hệ chuyển mạch ổn định nhưng tùy thuộc vào tín hiệu chuyển mạch. Hệ

chuyển mạch là ổn định tiệm cận với sự chuyển mạch tùy ý nếu và chỉ nếu

các hệ con có chung một hàm Lyapunov thích hợp.

Năm 1892 A. M. Lyapunov (1857-1918) nhà toán học người Nga đã giải

quyết bài toán ổn định bằng hai phương pháp, đó là phương pháp số mũ đặc

trưng Lyapunov (còn gọi là phương pháp phổ hay phương pháp thứ nhất

của Lyapunov) và phương pháp hàm Lyapunov (còn gọi là phương pháp

Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

2

thứ hai của Lyapunov). Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong luận văn là

phương pháp hàm Lyapunov.

Vấn đề đặt ra là ta cần phát triển đầy đủ các điều kiện đảm bảo sự ổn

định của hệ chuyển mạch vi phân đại số trên cơ sở tồn tại hàm Lyapunov

thích hợp. Nội dung chính của bản luận văn này là dựa trên kết quả trong

bài báo “ On stability of linear switched differential algebraic equations” của

tác giả D. Liberzon and S. Trenn, trong đó đã nêu được các điều kiện đủ về

sự ổn định cho hệ chuyển mạch vi phân đại số, tính ổn định của hệ chuyển

mạch vi phân đại số và vai trò của hàm Lyapunov thích hợp đối với hệ

chuyển mạch vi phân đại số.

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo. Luận văn gồm 2

chương:

Chương 1. Các kiến thức cơ sở

Nội dung chương này là trình bày những kiến thức cơ sở về hệ phương trình

vi phân thường, hệ phương trình vi phân đại số, các kiến thức mở đầu về

hệ chuyển mạch.

Chương 2. Trình bày tóm tắt các kết quả về chuyển mạch vi phân đại số

hệ số hằng, đưa ra một số ví dụ minh họa cho bài toán ổn định và không

ổn định của hệ chuyển mạch vi phân đại số, nghiên cứu tính ổn định của hệ

chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính.

Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/