sự hội tụ của dãy các tập hợp iđêan nguyên tố liên kết

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

-------------------------

Tống Văn Thành

SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY CÁC TẬP HỢP

IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

T.S TRẦN TUẤN NAM

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2011

Lời Cảm Ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của

Tiến sĩ Trần Tuấn Nam. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Thầy, người

đã từng bước hướng dẫn tôi phương pháp nghiên cứu đề tài cùng những

kinh nghiệm thực hiện đề tài, cung cấp nhiều tài liệu và truyền đạt những

kiến thức quí báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn.

Chân thành cảm ơn quý Thầy - Cô trong tổ Đại Số, khoa Toán - Tin trường

Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã giúp tôi nâng cao trình độ

chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học.

Chân thành cảm ơn quý Thầy - Cô phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại

học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện luận văn này.

Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu cùng các đồng nghiệp trường THPT

CưMgar đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học.

Sau cùng chân thành cảm ơn các bạn cùng lớp với những trao đổi góp ý

và động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn.

Tp. Hồ Chí Minh, năm 2011

Tống Văn Thành

i

Mục lục

Lời Cảm Ơn i

Bảng kí hiệu iv

Mở Đầu 1

1 Kiến thức cơ bản 3

1.1 Địa phương hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Iđêan nguyên tố liên kết và giá . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Iđêan nguyên sơ và sự phân tích nguyên sơ . . . . . . . . . 6

1.4 Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Biến đổi iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Số chiều, chiều cao và hạng số học . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7 Vành và môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.8 Vành Rees và grI (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Sự hội tụ của dãy các tập hợp iđêan nguyên tố liên kết 22

2.1 Sự ổn định tiệm cận của tập các iđêan nguyên tố liên kết . 22

ii

iii

2.2 Sự hội tụ của dãy các môđun phân bậc trên vành phân bậc

tiêu chuẩn dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3 Áp dụng đối với dãy (Ass(N/InN))n và (Ass(I

nN/In+1N))n 46

Kết luận 52

Tài liệu tham khảo 54

Bảng kí hiệu

N : Tập hợp các số nguyên dương

N0 : Tập hợp các số nguyên không âm

Z : Tập hợp các số nguyên

Spec(R) : Tập hợp các iđêan nguyên tố của vành R

Ass(M) : Tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của M

Supp(M) : Giá của môđun M

E(M) : Bao nội xạ của môđun M

Hi

I

(M) : Môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M theo I

DI (M) : Biến đổi iđêan của môđun M tương ứng với iđêan I

ht(P) : Chiều cao của iđêan nguyên tố P

ara(I) : Hạng số học của iđêan I

∗Spec(R) : Tập hợp các iđêan nguyên tố phân bậc của R

gr(R) : Vành phân bậc liên kết của R

R(I) : Vành Rees của I

P roj(R) : Tập hợp các iđêan nguyên tố phân bậc của R mà không chứa

iđêan irrelevant

reg(M) : Chỉ số chính quy Castelnuovo của M

iv

Mở Đầu

Sự ổn định tiệm cận của tập các iđêan nguyên tố liên kết Ass là một kết

quả khá nổi tiếng được nhà toán học M.Brodmann đưa ra lần đầu tiên

trong [4] vào năm 1979. Nếu I là một iđêan của một vành Noether giao

hoán A, thì tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết Ass(A/In

) của lũy thừa

thứ n của I là không đổi với mọi n đủ lớn. Giả sử dãy (Ass(A/In

))n∈N có

các giá trị cuối không đổi, kí hiệu là Ass∗

(I), nhà toán học S.McAdam và

P.Eakin đã đưa ra một số trường hợp mà bảo đảm rằng một iđêan nguyên

tố P của A là nằm trong Ass∗

(I). Một câu hỏi được đặt ra: "Cho một iđêan

nguyên tố P của A, P ∈ Ass∗

(I), có thể xác định được một số nguyên nP

thỏa mãn tính chất rằng P ∈ Ass(A/In

) với mọi n > nP hay không?".

Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi trình bày một số kết quả về sự

hội tụ của dãy các tập hợp iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần

phân bậc của các môđun phân bậc hữu hạn sinh trên một vành Noether

giao hoán phân bậc tiêu chuẩn dương, những kết quả này sau đó được áp

dụng để trả lời cho câu hỏi ở trên.

1