Sự hội tụ đều của khoảng cách Kobayashi trên dãy các miền giảm

T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 3(47) Tập 1/N¨m 2008

88

Sù héi tô ®Òu cña kho¶ng c¸ch Kobayashi trªn d·y c¸c miÒn gi¶m

TrÇn HuÖ Minh (Tr−êng §H S− ph¹m - §H Th¸i Nguyªn)

1. Më ®Çu

Trong thêi gian gÇn ®©y, viÖc nghiªn cøu sù héi tô cña kho¶ng c¸ch Kobayashi trªn c¸c dGy

®¬n ®iÖu gi¶m (t¨ng) cña c¸c kh«ng gian phøc ®G ®−îc nhiÒu nhµ to¸n häc quan t©m.

N¨m 1981, V. Hristo ([1], [4]) ®G chØ ra r»ng nÕu mét kh«ng gian phøc X lµ hîp cña dGy

®¬n ®iÖu t¨ng {X j} cña c¸c miÒn con cña nã th× lim . X X j

k = k (*). MÆc dï vËy, ®iÒu kiÖn cÇn vµ

®ñ cho ®¼ng thøc (*) khi {X j}lµ dGy gi¶m cña c¸c kh«ng gian phøc héi tô tíi mét kh«ng gian

phøc X vÉn lµ mét bµi to¸n më.

N¨m 2002, M. Kobayashi [3] ®G chøng minh mét ®Þnh lý vÒ sù héi tô cña kho¶ng c¸ch

Kobayashi trªn dGy gi¶m cña c¸c miÒn hyperbolic ®Çy nh− sau:

§Þnh lý [3]: Cho D lµ mét miÒn bÞ chÆn trong C

n

víi biªn líp C1

sao cho tån t¹i mét hµm

peak yÕu t¹i mçi ®iÓm cña ∂D . LÊy { }

∞

j=1

Dj

lµ mét dgy gi¶m cña c¸c miÒn hyperbolic ®Çy héi tô

tíi D. Khi ®ã dgy { }

∞

j=1

D j

k héi tô tíi D

k ®Òu trªn c¸c tËp compact.

ë ®©y, mét hµm P trong mét l©n cËn cña D ®−îc gäi lµ mét hµm peak yÕu t¹i mét ®iÓm

biªn ξ ∈ ∂D nÕu P(ξ ) = 1 vµ P(ξ ) < 1 víi ∀z ∈ D.Trong bµi b¸o nµy, t«i ®−a ra c¸c ®iÒu kiÖn

yÕu h¬n cho sù héi tô ®Òu cña dGy { }

∞

j=1

D j

k tíi D

k , cô thÓ lµ tæng qu¸t ho¸ ®Þnh lý trªn cho mét

miÒn taut bÞ chÆn trong C

n

.

2. Mét sè kiÕn thøc c¬ së

Trong suèt bµi b¸o nµy, ta lu«n ký hiÖu D lµ mét miÒn trong C

n

, D

k lµ kho¶ng c¸ch

Kobayashi trªn miÒn D, ∆ = {z ∈ C : z < }1 lµ ®Üa ®¬n vÞ trong C vµ Hol(X,Y) lµ tËp c¸c ¸nh x¹

chØnh h×nh tõ X vµo Y.

2.1. §Þnh nghÜa [2]: Mét dGy c¸c miÒn {Dj} trong C

n gäi lµ mét dGy gi¶m cña c¸c miÒn

héi tô tíi mét miÒn D trong C

n nÕu c¸c ®iÒu kiÖn sau ®−îc tho¶ mGn:

i) Dj+1

lµ tËp con compact t−¬ng ®èi cña Dj

, ( j ≥ )1 ;

ii) ,

1

D D

j

j =

∞

=

∩ víi D lµ bao ®ãng cña D trong C

n

.

2.2. Víi z,ω ∈ D. Ta ký hiÖu

{ }

















= =

∈ ∆ ∈ ∆ = =

ℑ =

+

=

ϕ ϕ ϕ ω

ϕ ϕ ϕ

ω

( ) ),0( ( )

( , : , ( , ), 1,..., )0( ,

:

1

1 1

( , , )

i i i m m

i i i

m

m i i i

z D

a a

a a Hol D i n z

vµ

{ }

.

( ) ),0( lim ( )

( , : , ( , ), 1,..., )0( ,

:

1

1 1

( , , )

















= =

∈ ∆ ∈ ∆ = =

ℑ =

→∞

+

∞ =

ϕ ϕ ϕ ω

ϕ ϕ ϕ

ω

m m

m

i i i

i i i

m

i i i

z D

a a

a a Hol D i n z

2.3. §Þnh nghÜa [4]