Sử dụng lý thuyết đại số giải một số bài toán trong hình học

Ôn Ngũ Minh Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 78(02): 8 - 11

8

SỬ DỤNG LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG HÌNH HỌC

Ôn Ngũ Minh*

Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp – ĐHTN

TÓM TẮT

Lý thuyết về không gian véc tơ trong đại số tuyến tính có vai trò rất quan trọng. Bài báo này trình

bày một số phép biến đổi affine dựa trên phép đổi cơ sở trong không gian véc tơ. Trong phần cuối

có đƣa ra một số ví dụ minh hoạ và mã nguồn đƣợc viết bằng ngôn ngữ C++.

Từ khoá: Phép tịnh tiến song song, phép xoay quanh gốc toạ độ, toạ độ homogen

MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN*

1. Phép tịnh tiến song song

Giả sử M(x, y) là điểm bất kỳ. Xác định toạ độ

của M trong hệ O'x'y' với O' có toạ độ (x0, y0)

và các trục toạ độ của hai hệ đồng phƣơng

chiều.

Gọi (x', y') là toạ độ của M trong hệ trục O'x'y'.

Khi đó

0

0

x x ' x

y y' y

     

             

hay

0

0

x ' x x

y' y y

      

             

(1)

Nhƣng để thực hiện đƣợc bởi phép nhân ma

trận, ta sử dụng toạ độ homogen, khi đó (1)

đƣợc viết lại dƣới dạng:

0

0

x ' 1 0 x x

y' 0 1 y y

1 0 0 1 1

      

     

       

           

ta có

0

0 1

x ' 1 0 x x x

y' 0 1 y y H y

1 0 0 1 1 1

        

       

          

               

2. Phép xoay hệ Oxy quanh gốc toạ độ

Giả sử M(x, y) là điểm bất kỳ. Xác định toạ độ

của M trong hệ Ox'y' nhận đƣợc từ hệ Oxy

sau khi xoay theo chiều dƣơng một góc .

Trong R2

, xét hai cơ sở:

S = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} và

S' = {e1' = (cos, sin), e2' = (–sin, cos)}

*

Tel: 0913351286

Rõ ràng e1 và e2 tƣơng ứng là các véc tơ đơn

vị của các trục Ox và Oy, còn e1' và e2' tƣơng

ứng là các véc tơ đơn vị của các trục Ox' và

Oy'. Dễ thấy, ma trận của phép biến đổi từ cơ

sở S sang cơ sở S' chính là

P =

sin

sin

cos

cos

    

     

Vì là phép biến đổi trực giao nên P–1

= Pt

, do

đó sử dụng toạ độ homogen ta có:

2

x ' c sin 0 x x

y' sin c 0 y H y

1 0 0 1 1 1

os

os

         

       

            

               

3. Phép lấy đối xứng qua trục Ox

Gọi M'(x', y') là điểm đối xứng của điểm M(x,

y) qua trục Ox, dễ thấy x' = x, y' = –y. Trong

R

2

, xét hai cơ sở:

S = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)}

và S' = {e1' = (1,0), e2' = (0, –1)}

Dễ thấy, ma trận của phép biến đổi từ cơ sở S'

sang cơ sở S chính là:

P =

1 0

0 1

 

    

Viết theo toạ độ homogen ta có

3

x ' 1 0 0 x x

y' 0 1 0 y H y

1 0 0 1 1 1

       

       

          

               

.

MỘT SỐ ỨNG DỤNG

1. Xác định toạ độ của điểm N(xN, yN) là đối

xứng của điểm M(x, y) qua đƣờng thẳng có

phƣơng trình y = ax + b

Ta thực hiện 5 bƣớc sau: