Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN pps
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN
cos2
3α = a CÓ NHIỀU VẬN DỤNG
Nguyễn Lái
GVTHPT Chuyên LƯƠNG VĂN CHÁNH
Tài liệu này được rút ra một bài toán được đăng trong tạp chí Toán Học và Tuổi trẻ
Về mục TIẾN TỚI OLYMPIC TOÁN số 367 tháng 1/2008.
Xét phương trình : cos2
3α = a (0 ≤ a ≤1) (1).
Ứng với một giá trị a ∈[0;1], giả sử α = x là một nghiệm phương trình (1) nghĩa là
cos2
3x = a ( đúng ) ⇒α = ( 3
π
- x) và α = ( 3
π
+x) cũng là nghiệm phương trình (1) ,
vì cos2
3(
3
π
- x) = cos2
3x = a ; cos2
3(
3
π
+ x) = cos2
3x = a.
Phương trình (1) viết lại : (4cos3α - 3cosα)
2
= a ⇔ 16cos6α - 24cos4α + 9cos2α - a = 0
Đặt t = cos2α, t∈ [ 0; 1] . Phương trình trở thành: 16t3
– 24t2
+ 9t – a = 0 (2)
Nhận xét : Nếu α = x là nghiệm phương trình (1) thì :
t1 = cos2
x ;t2 = cos2
(
3
π
- x ) ; t3 = cos2
(
3
π
+ x) là 3 nghiệm của phương trình (2) và ngược lại.
• Từ phương trình (2) theo định lý Viét ta có:
t1+t2+t3 =
2
3
; t1.t2+t2.t3+t3.t1 = 16
9
; t1.t2.t3 = 16
a
.
Từ đó ta có nhiều sự vận dụng lý thú sau:
Ví dụ 1 .Chứng minh rằng các biểu thức sau đây độc lập với x ,
1. S1 = cos2
x+cos2
(
3
π
- x) +cos2
(
3
π
+ x).
2. S2= cos2
x.cos2
(
3
π
- x) + cos2
(
3
π
- x). cos2
(
3
π
+ x) + cos2
(
3
π
+ x).cos2
x.
3. S3= cos4
x + cos4
(
3
π
- x) +cos4
(
3
π
+ x) .
Lời giải :Ta có S1 = cos2
x+cos2
(
3
π
- x) +cos2
(
3
π
+ x) = t1+t2+t3 =
2
3
.
S2= cos2
x.cos2
(
3
π
- x)+cos2
(
3
π
- x).cos2
(
3
π
+ x)+cos2
(
3
π
+ x).cos2
x = t1.t2+t2.t3+t3.t1 = 16
9
S3= cos4
x+cos4
(
3
π
- x)+cos4
(
3
π
+x)= t1
2+t2
2+t3
2
= (t1 + t2 + t3)
2
–2(t1 t2 + t2 t3 + t3 t1) =
8
9
.
Ví dụ 2:Chứng minh rằng :
6 6 6 5 7 63
cos cos cos
18 18 18
.
64
π π π
+ + =
Lời giải :Ta có cos6
x + cos6
(
3
π
- x) + cos6
(
3
π
+x) = t1
3
+ t2
3
+ t3
3
=
=(t1 + t2 + t3)
3
–3(t1 + t2 + t3)(t1 t2 + t2 t3 + t3 t1) + 3t1 t2 t3 =
16
3
32
27 a
+ (*)
Cho
18
π
x = từ phương trình (1) ta có :
4
3
)
18
cos (3.
2
= a ⇒ a =
π
.
Vậy (*) tương đương: .
64
63
4
3
.
16
3
32
27
18
7
cos
18
5
cos
18
cos6 6 6
+ + = + =
π π π
Ví dụ 3 : Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số :