Phương trình lượng giác cơ bản

Chöông 2: PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC CÔ BAÛN

⎡ =+ π

= ⇔ ⎢

⎣ =π− + π

u v k2

sin u sin v

u vk2

cos u cos v u v k2 = ⇔ =± + π

⎧ π ⎪ ≠ +π

= ⇔ ⎨

⎪

⎩ =+ π

u k

tgu tgv 2

u v k'

(k, k ' Z ∈ )

u k

cot gu cot gv u v k'

⎧ ≠ π

= ⇔ ⎨

⎩ =+ π

Ñaëc bieät : sin u 0 u k = ⇔ =π π

cos u 0 u k = ⇔ = +π

2

sin u 1 u k2 k Z ( 2

π

=⇔= + π ∈ ) cos u 1 u k2 = ⇔= π ( ) k Z ∈

sin u 1 u k2

2

π

=− ⇔ =− + π cos u 1 u k2 = − ⇔ =π+ π

Chuù yù : sin u 0 cos u 1 ≠ ⇔ ≠±

cos u 0 sin u 1 ≠ ⇔ ≠±

Baøi 28 : (Ñeà thi tuyeån sinh Ñaïi hoïc khoái D, naêm 2002)

Tìm x 0,14 ∈ [ ] nghieäm ñuùng phöông trình

cos 3x 4 cos 2x 3cos x 4 0 * − + −= ( )

Ta coù (*) : ⇔ ( ) ( ) 3 2 4 cos x 3cos x 4 2 cos x 1 3cos x 4 0 − − −+ − =

⇔ 3 2 4 cos x 8cos x 0 − = ⇔ ( ) 2 4 cos x cos x 2 0 − =

⇔ cos x 0 hay cos x 2 loaïi vì cos x 1 = = ( ≤ )

⇔ x kk( ) 2

π

= +π ∈ Z

Ta coù : x 0,14 0 k 1 [ ] 2

4 π ∈ ⇔ ≤ + π≤

⇔ k 14

2 2

π π − ≤ π≤ − ⇔

1 14 1 0,5 k 3, 9 2 2

− =− ≤ ≤ − ≈

π

Maø k ∈ Z neân k ∈ {0,1, 2, 3} . Do ñoù : 357

x ,,,

22 2 2

⎧π πππ⎫

∈ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭

Baøi 29 : (Ñeà thi tuyeån sinh Ñaïi hoïc khoái D, naêm 2004)

Giaûi phöông trình :

( )( ) 2 cos x 1 2sin x cos x sin 2x sin x * − += − ( )