Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

--------------------------------

LƯƠNG THỊ THANH GIANG

PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ ĐẠO HÀM VỚI ĐỘ

CHÍNH XÁC BẬC CAO VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

--------------------------------

LƯƠNG THỊ THANH GIANG

PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ ĐẠO HÀM VỚI ĐỘ

CHÍNH XÁC BẬC CAO VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. VŨ VINH QUANG

THÁI NGUYÊN - 2017

i

Mục lục

Lời cảm ơn iii

Bảng ký hiệu 1

Danh sách bảng 2

Mở đầu 3

1 Một số kiến thức cơ bản 5

1.1 Công thức khai triển Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Nội suy và xấp xỉ hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Bài toán xấp xỉ hàm số tổng quát . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 Bài toán nội suy hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.3 Lý thuyết về đa thức nội suy . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.4 Đa thức nội suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.5 Chọn mốc nội suy tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.6 Sai phân và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.7 Một số quy tắc nội suy hàm số trên lưới đều . . . . . 14

1.2.8 Nội suy hàm số trên lưới không đều . . . . . . . . . . 20

1.2.9 Bài toán nội suy ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2.10 Lý thuyết về hàm ghép trơn Spline . . . . . . . . . . 25

2 Một số phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc

cao 29

2.1 Trường hợp lưới đều sử dụng đa thức nội suy . . . . . . . . . 29

2.1.1 Mô tả phương pháp tổng quát . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.2 Một số kết quả trong trường hợp lưới 5 điểm . . . . . 31

2.2 Phương pháp xấp xỉ đạo hàm trong trường hợp lưới không

đều dựa trên thuật toán đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Một số ứng dụng xây dựng thuật toán số giải phương trình

vi phân cấp cao 42

3.1 Hệ truy đuổi 3 đường chéo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2 Thuật toán số giải bài toán biên tuyến tính cấp 2 . . . . . . 44

3.2.1 Thuật toán thông thường . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2.2 Thuật toán sai phân với độ chính xác bậc cao . . . . 45

3.3 Thuật toán số giải phương trình vi phân phi tuyến cấp cao . 49

3.3.1 Phương trình phi tuyến cấp 4 . . . . . . . . . . . . . 49

3.3.2 Phương trình phi tuyến cấp 6 . . . . . . . . . . . . . 52

Kết luận 57

Tài liệu tham khảo 58

Phần phụ lục 59

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy tôi TS. Vũ Vinh Quang,

người đã trực tiếp hướng dẫn luận văn, đã tận tình chỉ bảo và hướng dẫn

tôi tìm ra hướng nghiên cứu, tìm kiếm tài liệu, giải quyết vấn đề... nhờ đó

tôi mới có thể hoàn thành luận văn cao học của mình. Từ tận đáy lòng,

tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới Thầy của tôi và

tôi sẽ cố gắng hơn nữa để xứng đáng với công lao của Thầy.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo trường Đại

học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tôi trong

suốt thời gian học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Khoa Toán

- Tin và đặc biệt là PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy, trưởng Khoa Toán -

Tin, đã luôn quan tâm, động viên, trao đổi và đóng góp những ý kiến quý

báu trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luân văn.

Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thân

trong gia đình, đặc biệt là bố mẹ - những người luôn động viên, chia sẽ

mọi khó khăn cùng tôi trong suốt thời gian qua và đặc biệt là trong thời

gian tôi theo học khóa thạc sỹ tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái

Nguyên.

Thái Nguyên, ngày 27 tháng 6 năm 2017

Tác giả luận văn

Lương Thị Thanh Giang

1

Bảng ký hiệu

R trường số thực

R

n không gian Euclide n-chiều

f

(n) đạo hàm cấp n của hàm số f(x)

∆n

f(x) sai phân cấp n của hàm số f(x)