Phương pháp Mann tìm nghiệm bài toán cân bằng và điểm bất động của ánh xạ không giãn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THỊ BÍCH THẢO

PHƯƠNG PHÁP MANN

TÌM NGHIỆM BÀI TOÁN CÂN BẰNG

VÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG

MÃ SỐ: 60.46.36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG

THÁI NGUYÊN - 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Mục lục

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Một số ký hiệu và chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Chương 1. Một số khái niệm và vấn đề cơ bản 7

1.1. Một số khái niệm cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1. Định nghĩa không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2. Một số khái niệm liên quan . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.3. Định nghĩa ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.4. Định nghĩa nửa nhóm không giãn . . . . . . . . . . . . 11

1.2. Một số tính chất của toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3. Bài toán tìm điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4. Bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5. Phương pháp Mann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.1. Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.2. Nội dung của phương pháp Mann . . . . . . . . . . . . 14

Chương 2. Nghiệm chung của bài toán cân bằng và điểm bất

động của họ các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert 19

1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2.1. Phương pháp tìm điểm bất động của nửa nhóm các ánh xạ

không giãn và nghiệm bài toán cân bằng trong không gian

Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1. Các kết quả đã được công bố. . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.2. Các bổ đề cần sử dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.3. Các kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.4. Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2. Phương pháp lặp cho bất đẳng thức biến phân trên tập các

điểm bất động của họ các ánh xạ không giãn trong không gian

Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.1. Bất đẳng thức biến phân và các kết quả liên quan. . . 35

2.2.2. Các bổ đề cần sử dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.3. Những kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2.4. Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học

Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của GS.TS. Nguyễn Bường. Trong suốt quá

trình làm luận văn, thầy đã luôn dành cho tôi sự hướng dẫn, chỉ bảo rất tận

tình, truyền cho tôi nhiều kiến thức và kinh nghiệm quý báu. Tác giả xin bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy.

Trong quá trình học tập và làm luận văn, thông qua các bài giảng, các

buổi hội thảo tác giả thường xuyên nhận được sự quan tâm giúp đỡ và đóng

góp những ý kiến quí báu của PGS. TS Lê Thị Thanh Nhàn, TS. Nguyễn

Thị Thu Thủy và sự quan tâm giảng dạy nhiệt tình của các thầy và các cô

công tác tại trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên, Viện Công

Nghệ Thông Tin và Viện toán học thuộc Viện khoa học và Công nghệ Việt

Nam. Từ đáy lòng mình tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy,

các cô.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy và các cô trong Ban giám hiệu,

Tổ Toán - Trường THPT Trại Cau - Đồng Hỷ - Thái Nguyên đã tạo điều

kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận

văn cao học.

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, các anh chị em

học viên cao học toán K3 và bạn bè đồng nghiệp động viên và khích

lệ tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và làm luận văn.

Tác giả

3

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Mở đầu

Bài toán tìm điểm bất động cho ánh xạ nói chung đã được rất nhiều nhà

toán học nghiên cứu như Định lý Brouwer được phát biểu năm 1912 bởi nhà

toán học Hà Lan Luizen Egbereis Jan Brouwer còn có tên Nguyên lý điểm

bất động Brouwer. Đây là một trong những định lý toán học quan trọng của

thế kỷ 20 và sau đó vẫn được nhiều nhà toán học tiếp tục nghiên cứu.

Nguyên lý điểm bất động Brouwer: Một ánh xạ liên tục f từ hình cầu

đóng trong Rn vào chính nó phải có điểm bất động, tức tồn tại x sao cho

f(x) = x.

Ví dụ 0.0.1. Trong mặt phẳng phức mọi ánh xạ liên tục của hình tròn đơn

vị vào chính nó sẽ có điểm bất động.

Sau đó, Schauder (1930), Tikhonov (1935) đã mở rộng nguyên lý này và ở

dạng tổng quát nó được gọi là nguyên lý Brouwer- Schauder- Tikhonov phát

biểu như sau: Một ánh xạ liên tục f từ một tập lồi compac trong một không

gian topo lồi địa phương Hausdorff vào chính nó phải có điểm bất động, tức

tồn tại x sao cho f(x) = x.

Cho đến nay các nhà toán học cả trong và ngoài nước vẫn đang tiếp tục

mở rộng định lý này cho các vấn đề như đối với ánh xạ đa trị, ánh xạ không

giãn hay đối với nửa nhóm không giãn. Trong khuôn khổ của luận văn này

chúng tôi xin được trình bày một đề tài: "Phương pháp Mann tìm nghiệm

của bài toán cân bằng và điểm bất động cho ánh xạ không giãn". Đây là vấn

đề gặp nhiều trong nhiều lĩnh vực khoa học và ứng dụng. Đã có rất nhiều

nhà toán học nghiên cứu vấn đề này như Martinet đưa ra để giải bài toán

4

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn