Phương pháp lặp giải bài toán không thuần nhất giữa phương trình Elliptic và phương trình song điều hòa

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐINH NHƯ NGỌC

PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG THUẦN

NHẤT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PHƯƠNG

TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐINH NHƯ NGỌC

PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG THUẦN

NHẤT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PHƯƠNG

TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số: 60.46.36

Người hướng dẫn khoa học:

TS. VŨ VINH QUANG

THÁI NGUYÊN - NĂM 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

i

Mục lục

Mở đầu 1

1 Các kiến thức cơ bản 4

1.1 Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm . . . . . . . 4

1.1.1 Không gian C

k

(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 Không gian L

p

(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3 Không gian W1,p(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.4 Biên liên tục Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.5 Vết của hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.6 Không gian Sobolev với chỉ số âm . . . . . . . . . 11

1.2 Phương pháp lặp và các sơ đồ lặp cơ bản . . . . . . . . . 12

1.2.1 Lược đồ lặp hai lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.2 Lược đồ dừng, định lý cơ bản về sự hội tụ của phép

lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Khái niệm nghiệm yếu đối với phương trình Elliptic cấp hai 17

1.3.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình . . . . . 17

1.3.2 Phát biểu các bài toán biên . . . . . . . . . . . . 18

1.3.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu . . . . . . . . 20

2 Các phương pháp xác định nghiệm xấp xỉ của bài toán

cấp hai và cấp bốn 24

2.1 Phương pháp lặp giải bài toán cấp hai trên tư tưởng chia

miền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.1 Cơ sở của phương pháp chia miền . . . . . . . . . 24

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ii

2.1.2 Phương pháp chia miền giải bài toán biên elliptic 28

2.2 Phương pháp xấp xỉ xác định giá trị biên đối với bài toán

song điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Bài toán không thuần nhất và phương pháp tìm nghiệm

xấp xỉ 45

3.1 Mô hình toán học của bài toán không thuần nhất . . . . 45

3.2 Phương pháp xấp xỉ dựa trên sơ đồ Dirichlet-Neumann . 51

3.3 Phương pháp xấp xỉ dựa trên sơ đồ xấp xỉ biên . . . . . 58

3.4 Các kết quả thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Danh mục công trình đã công bố . . . . . . . . . . . . . 67

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

iii

Các ký hiệu

L Toán tử elliptic.

R

n Không gian Euclide n chiều.

Ω Miền giới nội trong không gian R

n

.

∂Ω Biên trơn Lipschitz.

C

k

(Ω) Không gian các hàm có đạo hàm cấp k liên tục.

L

2

(Ω) Không gian các hàm đo được bình phương khả tích.

W1,p(Ω) Không gian Sobolev với chỉ số p.

H1/2

(∂Ω) Không gian Sobolev với chỉ số 1/2.

H1

0

(Ω) Không gian các hàm có vết bằng không trên ∂Ω.

H−1

(∂Ω) Không gian đối ngẫu với H1

0

(Ω).

H−1/2

(∂Ω) Không gian đối ngẫu với H1/2

(∂Ω).

k . kV Chuẩn xác định trên không gian V .

(.)V Tích vô hướng xác định trên không gian V .

Cγ(Ω) Hằng số vết.

CΩ Hằng số Poincare.

E Ma trận đơn vị.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1

Mở đầu

Phương trình cấp bốn mà tiêu biểu là phương trình song điều hoà

xuất hiện trong ngành cơ học chất rắn với mô hình chuyển dịch ngang

của tấm đàn hồi hoặc trong ngành cơ học chất lỏng với mô hình dòng

chảy với phương trình Navier-Stokes trong môi trường chất lỏng không

nén được, khi được ghép với các phương trình bậc hai sẽ xuất hiện mô

hình không thuần nhất mô tả sự dịch chuyển ngang của cấu trúc tấm

đàn hồi đa hợp mà nó được làm bởi hai thành phần khác nhau, một

thành phần là tấm uốn và thành phần còn lại là màng mỏng. Đây là

một mô hình hỗn hợp đang được các nhà toán học trên thế giới quan

tâm. Năm 2005, trong tài liệu [4], tác giả P. Gervasio đã mô tả mô hình

toán học của bài toán không thuần nhất và đưa ra phương pháp xác

định nghiệm gần đúng dựa trên một sơ đồ lặp. Ngoài phương pháp trên,

để giải mô hình bài toán không thuần nhất có thể sử dụng phương pháp

phân rã bài toán về một bài song điều hoà và hai bài toán elliptic và

từ đó đề xuất sơ đồ lặp bằng cách xác định nghiệm xấp xỉ của bài toán

song điều hoà dựa trên phương pháp xấp xỉ biên và xác định nghiệm của

hai bài toán elliptic trên cơ sở phương pháp chia miền. Cơ sở lý thuyết

này đã được một số tác giả Việt Nam đưa ra trong các năm qua.

Nội dung chính của luận văn sẽ mô tả mô hình toán học của bài toán,

nghiên cứu các phương pháp giải và đề xuất sơ đồ lặp xác định nghiệm

xấp xỉ trên cơ sở phân hoạch về hai bài toán cấp hai và cấp bốn, thực

hiện tính toán bằng số xác định nghiệm xấp xỉ. Luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về các không gian hàm

và đặc biệt là không gian Sobolev, các khái niệm cơ bản về nghiệm yếu

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2

đối với phương trình elliptic, lý thuyết về phương pháp lặp giải phương

trình toán tử. Những kiến thức quan trọng này làm cơ sở để trình bày

và nghiên cứu về lý thuyết các mô hình toán học được trình bày trong

các chương tiếp theo của luận văn.

Chương 2: Trình bày cơ sở của phương pháp chia miền tổng quát,

các kết quả lý thuyết của phương pháp chia miền đối với phương trình

elliptic cấp hai dựa trên tư tưởng xác định giá trị đạo hàm trên biên

phân cách, lý thuyết về phương pháp xấp xỉ xác định giá trị biên đối với

bài toán song điều hòa. Đây là những kết quả đã được các tác giả Việt

Nam công bố trong các năm qua. Các kết quả này là cơ sở lý thuyết

chính để đề xuất sơ đồ lặp tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán không thuần

nhất trong chương 3 của luận văn.

Chương 3: Mô tả mô hình toán học của bài toán không thuần nhất,

trình bày phương pháp xấp xỉ dựa trên sơ đồ Dirichlet-Neumann do tác

giả P. Gervasio đề xuất. Xuất phát từ các lý thuyết trong chương 2, luận

văn đề xuất một phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ mới đối với bài toán

không thuần nhất bằng việc phân rã bài toán về 1 bài toán song điều

hoà và 2 bài toán elliptic tương ứng và từ đó xây dựng phương pháp lặp

xác định nghiệm xấp xỉ, tính toán thử nghiệm trên máy tính điện tử.

Phương pháp này có thể coi là ngược với phương pháp do P. Gervasio

đã đưa ra.

Các kết quả bằng số được lập trình trong môi trường MATLAB với

nhiều ví dụ khác nhau để kiểm tra tính đúng đắn của sơ đồ lặp đã đề

xuất.

Mặc dù đã rất cố gắng song nội dung bản luận văn không thể tránh

khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp

ý kiến của các Thầy Cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn thêm hoàn

thiện.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn TS. Vũ

Vinh Quang đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình làm

luận văn.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

3

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô, các bạn bè, đồng

nghiệp và gia đình đã luôn giúp đỡ, động viên, khích lệ tác giả trong

suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Tác giả

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn