Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp 4

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

HÀ HOÀNG VIỆT

PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN

CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

PHI TUYẾN CẤP 4

THÁI NGUYÊN, 10/2018

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

HÀ HOÀNG VIỆT

PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN

CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

PHI TUYẾN CẤP 4

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 846 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

TS. VŨ VINH QUANG

THÁI NGUYÊN, 10/2018

1

Mục lục

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt 3

Danh mục các bảng 4

Danh mục các hình vẽ, đồ thị 5

Lời nói đầu 6

Chương 1 Một số kiến thức cơ bản 9

1.1. Một số kiến thức cơ bản về phương pháp lưới . . . . 9

1.1.1. Lưới sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.2. Hàm lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.3. Đạo hàm lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.4. Quy ước viết vô cùng bé . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.5. Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.6. Liên hệ giữa đạo hàm và hàm lưới . . . . . . . . . . . . 11

1.2. Phương pháp số giải bài toán Cauchy . . . . . . . . . . 12

1.2.1. Phương pháp Euler 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.2. Phương pháp Euler 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.3. Thuật toán RK4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3. Phương pháp số giải bài toán biên cho phương trình

vi phân tuyến tính cấp 2 với độ chính xác cấp cao . . 15

1.3.1. Thuật toán truy đuổi 3 đường chéo . . . . . . . . . . . 15

1.3.2. Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao 17

1.3.3. Lược đồ sai phân giải bài toán biên cho phương trình

cấp hai với độ chính xác bậc cao . . . . . . . . . . . . . 21

Chương 2 Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương

trình vi phân phi tuyến cấp bốn 26

2.1. Mô hình bài toán phi tuyến tổng quát . . . . . . . . . 26

2.2. Mô hình bài toán phi tuyến cấp 4 với hệ điều kiện

biên thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2

2.2.1. Sự tồn tại duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.2. Phương pháp lặp xây dựng dãy lặp đơn điệu . . . . . . 31

2.3. Mô hình bài toán phi tuyến cấp 4 với hệ điều kiện

đầu thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.1. Mô hình bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.2. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm . . . . . . . . . . . 33

Chương 3 Một số kết quả thực nghiệm 41

3.1. Mô hình bài toán cấp 4 phi tuyến với giá trị biên . . 41

3.2. Mô hình bài toán cấp 4 phi tuyến với giá trị ban đầu 47

Kết luận 54

Tài liệu tham khảo 55

Phần phụ lục 57

3

Danh mục các ký hiệu, các chữ

viết tắt

N Lưới sai phân

Ωk Không gian lưới

ρ(h) Vô cùng bé so với h

h

α Vô cùng bé bậc α

∆x Số gia hàm

RK4 Phương pháp Runge-Kutta

A Ma trận Aij cấp n × n

Pn(x) Đa thức bậc n

Lk(x) Nhân tử Lagrange bậc k

kvk Chuẩn trong không gian Rn

G(x, t) Hàm Green

B[O, M] Hình cầu tâm O, bán kính M

R+ Nửa dương của đường thẳng thực

4

Danh mục các bảng

Bảng 1.1: Sai số ε trên lưới điểm c0 = 1; c1 = 2; d0 = 2; d1 = 3

Bảng 1.2: Sai số ε trên lưới điểm c0 = 1; c1 = 0; d0 = 1; d1 = 0

Bảng 3.1: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.1)

Bảng 3.2: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.2)

Bảng 3.3: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.3)

Bảng 3.4: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.4)

Bảng 3.5: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.5)

Bảng 3.6: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.6)

Bảng 3.7: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.7)

Bảng 3.8: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.8)