Phương pháp lặp đơn điệu giải bài toán giá trị biên cấp hai sử dụng nghiệm dưới và nghiệm trên

PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN ĐIỆU GIẢI BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN CẤP HAI

SỬ DỤNG NGHIỆM DƯỚI VÀ NGHIỆM TRÊN

Ngô Thị Kim Quy*

Trường Đại học Kinh tế và Quản trị Kinh doanh – ĐH Thái Nguyên

TÓM TẮT

Bài báo này đề cập đến phép xấp xỉ đơn điệu của nghiệm của bài toán giá trị biên sau:

     u f t u u u u     ( , , ) 0, (0) (1) 0. (1)

Ta xét sơ đồ lặp tuyến tính trong trường hợp f Lipschitz trong u và thỏa mãn một vế

điều kiện Lipschiz trong u. Trước tiên ta xét các trường hợp là nghiệm dưới và trên có thể sắp thứ

tự là    hoặc    và sau đó cũng xét đối với các bài toán Dirichlet và bài toán tuần hoàn.

Từ khóa: Phương pháp lặp đơn điệu, nghiệm dưới và nghiệm trên, bài toán Neumann,

xấp xỉ tính toán.

1. Các kiến thức chuẩn bị

Giả sử l R h C A R B R     0 , 0,1 , ,   ,

xét bài toán tuyến tính:

w lw h t w A w B         , 0 , 1 .     (2)

Nghiệm w xác định:

       

         

0

1 0 0 1 0 1 1 0

t z s h s A

w t z t ds

z s z s z s z s z

      

 

   

     

         

1

1

0

0 1 0 1 0 t 1

z s h s B z t ds

z s z s z s z s z

 

         

 (3)

trong đó 0 z là nghiệm của

    0 0 0 0 z lz z z 0, 0 1, 0 0,       

và 1 z là nghiệm của

    1 1 1 1 z lz z z 0, 1, 0. 1 1       

Chú ý rằng z t lt 0    cosh   với l  0 và

z t l t 0    cos  với l  0 . Cả hai trường

hợp ta có     1 0 z t z t  1 .

Chú ý 1.1.

+ Nếu l  0 thì với  t 0,1 : 

        0 0 1 1 z z z z t t t t     0, 1, 0, 1.  

+ Nếu   2     4 0 l thì với  t 0,1 : 

        0 0 1 1 z z z z t t t t     0, 0, 0, 0.  

Chú ý 1.2.

+ Giả sử l  0 và h C 0,1. Nếu h không

âm (tương ứng không dương) thì các hàm

   

       

0

0 0 1 0 1

t z s h s

ds

z s z s z s z s

   

và

   

       

1

1

0 1 0 1 t

z s h s ds

z s z s z s z s    

không âm (tương ứng không dương).

+ Giả sử   2     4 0 l và h C 0,1.

Nếu h không âm (tương ứng không dương) thì

các hàm

   

       

0

0 0 1 0 1

t z s h s

ds

z s z s z s z s

   

và

   

       

1

1

0 1 0 1 t

z s h s ds

z s z s z s z s    

không dương (tương ứng không âm).

Mệnh đề 1.3.

+ (Nguyên lý cực đại) Giả sử l  0 . Nếu

A B   0, 0 và h C 0,1 sao cho h  0

thì nghiệm của (2) là không âm.

+ (Nguyên lý phản cực đại) Giả sử

  2     4 0 l . Nếu A B   0, 0 và

h C 0,1 sao cho h  0 thì nghiệm của

(2) là không dương.

Bổ đề 1.4. Giả sử M và N R  .

+ Nếu l  0 sao cho

2

2 4

2 2

N N l M N M     thì với  t 0,1 ,

      0 0 M l z t Nz t 0.    