Phương pháp dưới đạo hàm cho bài toán cân bằng và các ánh xạ không giãn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

HOÀNG THỊ LÝ

PHƯƠNG PHÁP DƯỚI ĐẠO HÀM

CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG

VÀ CÁC ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN

Chuyên Nghành: TOÁN ỨNG DỤNG

Mã Số: 60. 46. 0112

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS. TS. PHẠM NGỌC ANH

Thái Nguyên - 2012

1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Công trình được hoàn thành tại

Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Phạm Ngọc Anh

Phản biện 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Phản biện 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại:

Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên

Ngày .... tháng .... năm 2012

Có thể tìm hiểu tại

Thư Viện Đại Học Thái Nguyên

2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

i

Mục lục

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

Những kí hiệu và chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . iii

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Chương 1. Một số khái niệm cơ bản 3

1.1. Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4. Bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5. Một số bổ đề cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Chương 2. Định lý hội tụ mạnh 18

2.1. Thuật toán và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2. Các hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3. Một số ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Chương 3. Các định lý hội tụ yếu 40

3.1. Thuật toán và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2. Phương pháp tìm điểm chung của tập nghiệm bài toán

bất đẳng thức biến phân và tập các điểm bất động của

một họ các ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . 47

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ii

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại

học Thái Nguyên. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với PGS. TS

Phạm Ngọc Anh (Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông), người

thầy đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tác giả trong suốt

thời gian nghiên cứu vừa qua.

Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong Bộ môn Toán - Tin,

Phòng Đào tạo Khoa học và Quan hệ Quốc tế, các bạn học viên lớp Cao

học Toán K4C trường Đại học Khoa học - Đại Học Thái Nguyên và các

bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa

học cao học này.

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người

thân luôn khuyến khích, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập

và làm luận văn.

Mặc dù có nhiều cố gắng song luận văn khó tránh khỏi những thiếu

sót và hạn chế. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu

của các thầy, cô giáo và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.

Xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2012

Tác giả

Hoàng Thị Lý

4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

iii

Những ký hiệu và chữ viết tắt

R : Tập hợp số thực.

R

n

: Không gian véc tơ thực n chiều.

R

n

+ : Không gian véc tơ thực không âm n chiều.

x ∈ D : x thuộc tập D.

x 6∈ D : x không thuộc tập D.

∀x : Với mọi x.

∃x : Tồn tại x.

∅ : Tập hợp rỗng.

∩ : Phép giao các tập hợp.

∪ : Phép hợp các tập hợp.

x := y : x được định nghĩa bằng y.

+∞ : Dương vô cùng.

−∞ : Âm vô cùng.

C : Bao đóng của tập C.

hx, yi : Tích vô hướng của x và y.

∂f (x) : Dưới vi phân của f tại x.

xn → x : Dãy {xn} hội tụ mạnh tới x.

xn * x : Dãy {xn} hội tụ yếu tới x.

d (x, y) : Khoảng cách giữa x và y.

I : Ánh xạ đồng nhất.

H : Không gian Hilbert thực.

5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn