Phương pháp nghiệm dưới và nghiệm trên giải một số phương trình vi phân cấp bốn

PHƯƠNG PHÁP NGHIỆM DƯỚI VÀ NGHIỆM TRÊN

GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN

Ngô Thị Kim Quy*

, Thăng Thị Hồng Nhung

Trường Đại học Kinh tế và Quản trị Kinh doanh – ĐH Thái Nguyên

TÓM TẮT

Bài báo này sử dụng nguyên lý cực đại mới của các phương trình cấp bốn, phát triển phương

pháp đơn điệu sử dụng nghiệm dưới và nghiệm trên giải một số phương trình vi phân thường cấp

bốn. Các kết quả này chỉ ra sự tồn tại nghiệm của phương trình cấp bốn phi tuyến.

Từ khóa: Nguyên lý cực đại, các nghiệm dưới và trên, phương trình cấp bốn.

NGUYÊN LÝ CỰC ĐẠI

Xét toán tử L F C : 0,1    định nghĩa

bởi:

 

4 L u u au bu   

Trong đó a b,  thỏa mãn

2 2

2 4 1 0, 4 0, 2 ; a b a b a 

 

       (1.1)

u F  và

      

4

F u C u u     0,1 0 0, 1 0,

u u   0 0, 1 0 .      

Bổ đề 1. [4]

Giả sử f x  là liên tục với a x b   và

 

2

1 2

c .

b a



  



Với u thỏa mãn:

u x cu x f x        với x a b  , ,

u a u b      0.

Giả sử rằng     1 2 u x u x   0 trong đó

1 2 a x x b    và u x  0 với 1 2 x x x   .

Nếu hoặc f x 0 với   1 2  x x x, hoặc

f x 0 với   1 2  x x x, và f x  không

đồng nhất không trên   1 2 x x, thì u x f x    0

với   1 2  x x x, .

Bổ đề 2.

Nếu u x  thỏa mãn

u x cu x      0 với x a b  , ,

u a u b    0, 0,  

Trong đó

 

2

1 2

c

b a



  



thì u x 0 trong

a b, .

Bổ đề 3.

Nếu u F  thỏa mãn Lu  0 thì u  0 trong

0,1 .

Chú ý 1.

Chú ý rằng a b,  thỏa mãn (1.1) nếu và chỉ

nếu

2

2 4 0, 1 0, 2 ; a b b a 

 

      (1.2)

hoặc 2

b a a b     0, 0, 4 0; (1.3)

hoặc

2 2

2 4 0,0 2 , 1 0, 4 0. a b b a a b 

 

        

(1.4)

Bổ đề 4. [3]

Với  

2

a b,  , bài toán

4

u au bu     0, (1.5)

u u u u 0 1 0 1 0,              (1.6)

có một nghiệm không tầm thường nếu và chỉ

nếu

   

2 4 1 0 a b

k k  

  

với một số k .

Ngô Thị Kim Quy và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 135(05): 81 - 84

81 Nitro PDF Software

100 Portable Document Lane

Wonderland

Nitro PDF Software

100 Portable Document Lane

Wonderland