Phương pháp dùng hàm biến thực để nghiên cứu các không gian nội suy

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình

của PGS.TSKH Nguyễn Minh Trí. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và lòng thành

kính nhất đến Thầy. Thầy không chỉ hướng dẫn em nghiên cứu khoa học mà còn

thông cảm, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình

làm luận văn.

Cũng nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên tôi

trong quá trình học tập. Tôi xin cảm ơn vợ của tôi, người đã bên tôi, động viên và

tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tâp và nghiên cứu.

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các thầy, cô giáo trong viện Toán học

Việt Nam và các thầy, cô giáo trong khoa sau Đại học, khoa Toán trường Đại học

Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình em

học tập tại trường.

Bản luận văn này chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Em

rất mong được sự góp ý của các thầy cô và các đồng nghiệp để luận văn được hoàn

thiện hơn.

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2010

Học viên

Bùi Văn Anh

1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết các không gian nội suy được bắt đầu nghiên cứu một cách có hệ thống

bởi J.Peetre [6], J.L.Lions [5] và A.P.Calderon [2] và các chuyên gia khác từ những

năm 1960. Những định lý của Riesz - Thorin và Marcinkiewicz là những kết quả sơ

khai, nền tảng cho lý thuyết nội suy. Lý thuyết nội suy được ứng dụng trong nhiều

nhánh của Giải tích. Gần đây trong công trình của T.Tao, một bất đẳng thức nội

suy cũng đã được dùng bởi [4].

Trong luận văn này tôi sẽ giới thiệu phần cơ sở của lý thuyết nội suy. Tài liệu

tham khảo chính được sử dụng là quyển sách [3]. Trong quyển sách này nhiều định

lý không được chứng minh trọn vẹn, bởi vậy có nhiều chỗ chúng tôi phải chứng minh

chi tiết và chặt chẽ. Luận văn gồm ba chương. Trong Chương 1, chúng tôi trình bày

các khái niêm và tính chất cơ bản của không gian Sobolev. Trong Chương 2, chúng

tôi trình bày các khái niệm và tính tính chất cơ bản của không gian nội suy. Chương

3 là chương quan trọng nhất của luận văn, trình bày phương pháp nội suy thực.

Chúng tôi trình bày phương pháp - K và phương pháp - J, Định lý tương đương của

hai phương pháp đó, những tính chất cơ bản của không gian Aθ,q, Định lý quan hệ,

Định lý đảo, một công thức cho phương pháp nội suy - K, Định lý compact và các

ứng dụng của phương pháp nội suy vào không gian Sobolev, không gian Lp.

2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

MỤC LỤC Trang

Lời cảm ơn 1

Lời nói đầu 2

Mục lục 3

Chương 1. Không gian Sobolev 4

1.1. Định nghĩa 4

1.2. Các tính chất 4

Chương 2. Những tính chất cơ bản

của không gian nội suy 8

2.1.Phạm trù và hàm tử 8

2.2. Không gian vectơ định chuẩn 8

2.3. Cặp không gian 10

2.4. Định nghĩa không gian nội suy 12

2.5. Định lý Aronszajn-Gagliardo 14

2.6. Một điều cần thiết cho không gian nội suy 17

2.7. Định lý đối ngẫu 18

Chương 3. Phương pháp nội suy thực 21

3.1. Phương pháp - K 21

3.2. Phương pháp - J 26

3.3. Định lý tương đương 30

3.4. Những tính chất cơ bản của không gian Aθ,q 32

3.5.Định lý đảo 36

3.6. Một công thức cho phương pháp nội suy - K 41

3.7.Định lý đối ngẫu 45

3.8. Định lý compact 47

3.9. Một số ứng dụng 49

Kết luận 54

Tài liệu tham khảo 55

3

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN SOBOLEV

1.1 Định nghĩa.

1.1.1. Chuẩn Sobolev. Chúng ta định nghĩa một hàm ||.||m,p, ở đây m là một số

nguyên dương và 1 ≤ p ≤ ∞, như sau

||u||m,p =

 X

0≤|α|≤m

||D

αu||p

p

1

p

nếu 1 ≤ p < ∞ (1)

||u||m,∞ = max

0≤|α|≤m

||D

αu||∞ (2)

với mọi hàm u mà vế phải có nghĩa, ||.||p là chuẩn trên L

p

(Ω). Trong một số trường

hợp tránh nhầm lẫn ta sử dụng ||u||m,p,Ω thay cho ||u||m,p.

1.1.2 Không gian Sobolev. Với mọi số nguyên dương m và 1 ≤ p ≤ ∞ chúng ta

xét ba không gian sau

(a) Hm,p(Ω) ≡ làm đầy {u ∈ C

m(Ω) : ||u||m,p < ∞}, với chuẩn ||u||m,p,

(b) W m,p(Ω) ≡ {u ∈ L

p

(Ω) : Dαu ∈ L

p

(Ω) với 0 ≤ |α| ≤ m}, ở đây Dαu là đạo hàm

suy rộng,

(c) W

m,p

0

(Ω) là bao đóng của không gian C

∞

0

(Ω) trong không gian W m,p(Ω).

Hiển nhiên W0,p(Ω) = L

p

(Ω), và nếu 1 ≤ p < ∞ thì W

0,p

0

(Ω) = L

p

(Ω) bởi vì C

∞

0

(Ω)

trù mật trong L

p

(Ω). Với mọi m, chúng ta có dãy phép nhúng

W

m,p

0

(Ω) → W m,p(Ω) → L

p

(Ω).

1.2. Các tính chất.

1.2.1. Định lý. W m,p(Ω) là một không gian Banach.

Chứng minh. Cho un là một dãy Cauchy trong không gian W m,p(Ω). Thì Dαun

là một dãy Cauchy trong không gian L

p

(Ω) với 0 ≤ |α| ≤ m. Vì L

p

(Ω) là không

gian định chuẩn đầy đủ nên tồn tại hàm u và uα, 0 ≤ |α| ≤ m, sao cho un → u và

Dαun → uα trong L

p

(Ω) khi n → ∞. Ta có L

p

(Ω) ⊂ L

1

loc(Ω) vì vậy un xác định một

dãy Tun ∈ D0

(Ω). Với mọi φ ∈ D(Ω), theo bất đẳng thức H¨older ta có

|Tun

(φ) − Tu(φ)| ≤ Z

Ω

|un(x) − u(x)||φ(x)|dx ≤ ||φ||p

0||un − u||p,

4

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ở đây p

0

là số liên hợp của p. Do đó Tun

(φ) → Tu(φ) với mọi φ ∈ D(Ω) khi n → ∞.

Tương tự, TDαun

(φ) → Tuα

(φ) với mọi φ ∈ D(Ω). Do đó

Tuα

(φ) = limn→∞

TDαun

(φ) = limn→∞

(−1)|α|TunD

α

(φ) với mọi φ ∈ D(Ω).

Do đó uα = D

αu với 0 ≤ |α| ≤ m, u ∈ W m,p(Ω). Vì vậy limn→∞

||un − u||m,p = 0,

suy ra W m,p(Ω) là không gian định chuẩn đầy đủ.

1.2.2. Hệ quả. Hm,p(Ω) ⊂ W m,p(Ω).

Chứng minh. Xét tập hợp S = {φ ∈ C

m(Ω) : ||φ||m,p < ∞}, thì S là tập con của

W m,p(Ω). Vì W m,p(Ω) là đầy đủ, nên ánh xạ đồng nhất trên S có thể thác triển lên

một phép đẳng cự từ bao đóng của S trong W m,p(Ω) đến Hm,p(Ω)(làm đầy của S).

Vì vậy ta có thể đồng nhất Hm,p(Ω) với bao đóng đó.

1.2.3. Định lý. Cho A là một tập con của R

n

và cho A là lớp các tập mở trong R

n

phủ A, nghĩa là, A ⊂

S

U∈A U. Thì có một lớp Ψ của các hàm ψ ∈ C

∞

0

(R

n

) có những

tính chất dưới đây

(i) Với mọi ψ ∈ Ψ và với mọi x ∈ R

n

, 0 ≤ ψ(x) ≤ 1.

(ii) Nếu K b A, mọi hàm ψ ∈ Ψ đều triệt tiêu trên K.

(iii) Với mọi ψ ∈ Ψ tồn tại U ∈ A sao cho supp(ψ) ⊂ U.

(iv) Với mọi x ∈ A, ta có P

ψ∈Ψ ψ(x) = 1.

Ta gọi Ψ là một C

∞ -phân hoạch đơn vị của A theo phủ mở A.

Chứng minh. Trước hết giả sử A là compact. Khi đó có một lớp hữu hạn các

tập hợp trong A sao cho nó phủ A, tức là A ⊂

SN

j=1 Uj

. Ta có thể xây dựng

được các tập compact Kj

, j = 1, 2, ..., N mà Kj ⊂ Uj

, j = 1, 2, ..., N sao cho

A ⊂

SN

j=1 Kj

. Với mỗi j ta tìm được một hàm không âm φj ∈ C

∞

0

(Uj ) sao cho

φj (x) > 0, ∀x ∈ Kj

. Một hàm φ trong C

∞(R

n

) được xây dựng sao cho φ(x) > 0 trên

R

n và φ(x) = PN

j=1 φj (x), ∀x ∈ A. Ta thấy Ψ = {ψj

: ψj (x) = φj (x)

φ(x)

, 1 ≤ j ≤ N}

thoả mãn những tính chất của định lý.

5

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn