Phương pháp dùng ẩn phụ để giải các bài toán trong chương trình phổ thông.

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

KHOA TOÁN



KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài

PHƢƠNG PHÁP DÙNG ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI

CÁC BÀI TOÁN TRONG CHƢƠNG TRÌNH

PHỔ THÔNG

Giaïo viãn hæåïng dáùn : Th.S Nguyễn Thị Sinh

Sinh viãn thæûc hiãûn : Trần Quốc Trung

Låïp : 10CTT1

Đà Nẵng, tháng 5 năm 2014

Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

SVTH: Trần Quốc Trung Trang 1

MỞ ĐẦU ...................................................................................................................................3

1. Lý do chọn đề tài:.............................................................................................................3

2. Phạm vi nghiên cứu:.........................................................................................................3

3. Cấu trúc của luận văn:......................................................................................................3

CHƢƠNG I. LÝ THUYẾT CƠ SỞ .......................................................................................5

I. Hiểu ẩn phụ nhƣ thế nào cho đầy đủ?.............................................................................5

II. Dấu hiệu để nhận biết các bài toán ẩn phụ:..................................................................6

CHƢƠNG II. DÙNG ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI CÁC DẠNG TOÁN TRONG CHƢƠNG

TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG....................................................................12

I. Dùng ẩn phụ để rút gọn biểu thức:................................................................................12

Phƣơng pháp: ...................................................................................................................12

II. Dùng ẩn phụ vào việc giải phƣơng trình: ...................................................................15

II.1. Dạng 1. Chuyển các bài toán một phương trình một ẩn x thành các bài toán

một phương trình một ẩn phụ u.....................................................................................15

II.2. Dạng 2. Chuyển các bài toán một phương trình một ẩn x thành một hệ nhiều

phương trình nhiều ẩn....................................................................................................22

II.3. Dạng 3. Chuyển các bài toán một phương trình một ẩn x thành bài toán một

phương trình một ẩn phụ u nhưng hệ số vẫn còn chứa x...........................................30

II.4. Dạng 4. Chuyển các bài toán một phương trình một ẩn x thành hệ hai phương

trình hai ẩn: một ẩn phụ u và ẩn con lại vẫn là x.......................................................34

III. Dùng ẩn phụ vào việc giải hệ phƣơng trình:.............................................................38

IV. Dùng ẩn phụ vào việc giải bất phƣơng trình: ...........................................................43

V. Dùng ẩn phụ vào việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:............49

VI. Dùng ẩn phụ vào việc giải các bài toán số phức:.....................................................53

VII. Dùng ẩn phụ trong các bài toán có tham số: ...........................................................55

VI. Dùng ẩn phụ vào việc tính các tích phân: .................................................................63

.............................................................................................................................64

.....................................................................................................65

Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

SVTH: Trần Quốc Trung Trang 2

LỜI CẢM ƠN

Trên thực tế, không có sự thành công nào mà không gắn liền với sự hỗ trợ, giúp

đỡ dù ít hay nhiều, dù trực tiếp hay gián tiếp của ngƣời khác. Trong suốt thời gian

nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Trong suốt thời gian nghiên cứu và hoàn thành

luận văn tốt nghiệp này, tôi đã nhận đƣợc sự quan tâm và giúp đỡ của Cô Nguyễn Thị

Sinh, quý Thầy Cô khoa Toán – Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm – Đại Học Đà Nẵng, gia

đình và bạn bè.

Với lòng biết ơn sâu sắc nhất, tôi xin gửi đến Cô Nguyễn Thị Sinh đã cùng với tri

thức và tâm huyết của mình để truyền đạt vốn kiến thức quý báu cho tôi trong suốt thời

gian nghiên cứu luận văn tốt nghiệp này.Và tôi cũng xin chân thành cảm ơn quý Thầy

Cô khoa Toán – Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm – Đại Học Đà Nẵng đã giúp đỡ và tạo điều

kiện thuận lợi để em hoàn thành luận văn tốt nghiệp này.

Luận văn tốt nghiệp đƣợc thực hiện trong khoảng thời gian gần 3 tháng.Bƣớc đầu

đi vào nghiên cứu chuyên sâu bộ môn khoa học, kiến thức của tôi còn nhiều hạn chế và

bỡ ngỡ. Do vậy, không tránh đƣợc những thiếu sót là điều chắc chắn, tôi rất mong nhận

đƣợc những ý kiến quý báu của Cô Nguyễn Thị Sinh và quý Thầy Cô khoa Toán để tôi

hoàn thiện tốt hơn bản luận văn này.

Sau cùng, tôi xin kính chúc Cô Nguyễn Thị Sinh và quý Thầy Cô khoa Toán thật

dồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực hiện sứ mệnh của mình là truyền đạt kiến

thức cho thế hệ mai sau.

Trân trọng.

Đà Nẵng, Ngày … Tháng … Năm 2014

Sinh viên thực hiện

Trần Quốc Trung

Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

SVTH: Trần Quốc Trung Trang 3

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài:

Để giải đƣợc một bài toán phụ thuộc chủ yếu vào việc xác định đúng đắn đƣờng

lối giải bài toán đó.Quá trình đi từ đƣờng lối đúng đắn đến việc có một lời giải tốt đòi

hỏi ngƣời học phải biết lựa chọn phƣơng pháp và công cụ thích hợp.Một trong những

phƣơng pháp hay, hữu hiệu thƣờng đƣợc ấp dụng để giải quyết các bài toán phức tạp

đó là phƣơng pháp đặt ẩn phụ.

Bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp sẽ góp phần đƣa bài toán khó giải trực tiếp về một

bài toán gián tiếp đơn giản và dễ giải hơn.

Tuy nhiên, việc lựa chọn ẩn phụ không đơn giản chút nào.Ngƣời học cần phải nhìn

bài toán một cách tổng quát cũng nhƣ phải hiểu kỹ từng nội dung, phƣơng pháp cụ thể

của việc đặt ẩn phụ để chuyển cách bài toán về các dạng cơ bản hoạc quen thuộc.Bởi

vậy, hƣớng dẫn cho học sinh THPT biết cách sử dụng phƣơng pháp đặt ẩn phụ để giải

các bài toán phức tạp là điều hết sức cần thiết.

2. Phạm vi nghiên cứu:

Đề tài: “ Phương pháp dùng ẩn phụ để giải các bài toán trong chương trình phổ

thông ” nghiên cứu giải các bài toán trong chƣơng trình phổ thông.

3. Cấu trúc của luận văn:

Luận văn này gồm hai chƣơng:

Chương I: Lý thuyết cơ sở.

Chƣơng này trình bày về định nghĩa ẩn phụ, các dấu hiệu nhận biết các bài toán

giải đƣợc bằng cách đặt ẩn phụ và vấn đề tìm điều kiện cho ẩn phụ.

Chương II:

Chƣơng này gồm 8 phần liên quan đến việc dùng ẩn phụ để giải toán, mỗi phần

là các dạng toán và phƣơng pháp giải. Các dạng bài toán đƣợc trình bày rõ ràng, logic

tổng hợp từ các tài liệu ngoài chƣơng trình phổ thông và các đề thi Đại học, Cao đẳng

của những năm trƣớc.

Nội dung 8 phần gồm:

Phần 1: Dùng ẩn phụ để rút gọn biểu thức.

Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

SVTH: Trần Quốc Trung Trang 4

Phần 2: Dùng ẩn phụ vào việc giải phƣơng trình, hệ phƣơng trình.

Phần 3: Dùng ẩn phụ vào việc giải hệ phƣơng trình.

Phần 4: Dùng ẩn phụ vào việc giải các bất phƣơng trình.

Phần 5: Dùng ẩn phụ vào việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm

số.

Phần 6: Dùng ẩn phụ vào việc giải các bài toán số phức.

Phần 7: Dùng ẩn phụ trong các bài toán có tham số.

Phần 8: Dùng ẩn phụ vào việc tính các tích phân.

Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

SVTH: Trần Quốc Trung Trang 5

CHƢƠNG I

LÝ THUYẾT CƠ SỞ

I. Hiểu ẩn phụ như thế nào cho đầy đủ?

1. Trƣớc hết, ẩn phụ đƣợc xem không phải là ẩn ban đầu của bài toán đã cho. Ta

phải sử dụng ẩn khác thay cho ẩn của bài toán là vì, với ẩn đã cho của bài toán ta khó

có thể giải quyết đƣợc (có khi không giải đƣợc). Nên, việc thay ẩn đã cho của bài toán

bằng một ẩn khác là để cho bài toán trở nên dễ giải quyết hơn so với bài toán đã cho.

2. Ẩn phụ cũng có thể hiểu đúng với ý nghĩa của từ “phụ” (nghĩa không là chính).

Theo nghĩa này, ta sẽ không giải quyết trực tiếp bài toán theo ẩn đã cho mà ta lại đi tìm

ẩn phụ. Sau khi tìm đƣợc ẩn phụ ta lại thay lại vào ẩn ban đầu để giải.

Việc giải bài toán bằng cách dùng ẩn phụ có thể đƣợc xem nhƣ là thay vì ta đi theo

một đƣờng thẳng gập gềnh thì ta lại đi theo đƣờng vòng bằng phẳng đề đi đến đích.

Mặt khác, việc giải bài toán ẩn phụ xong rồi trở về giải quyết ẩn ban đầu đƣợc coi

nhƣ là một công việc đƣợc chia ra làm hai công đoạn để dể làm hơn.

Đây là trƣờng hợp giải các phƣơng trình, hệ phƣơng trình, bất phƣơng trình và nói

chung các bài toán không tham số.

Quy ng nhất của việc giải bài toán trong trƣờng hợp này bao gồm:

Bƣớc 1: Xuất phát từ bài toán đã cho, chọn các ẩn phụ thích hợp rồi chuyển bài

toán đã cho thành bài toán đối với ẩn phụ.

Bƣớc 2: Tìm ẩn phụ rồi trờ về tìm ẩn ban đầu.

Sơ đồ của quy trình trên đƣợc mô tả dƣới đây:

Bài toán 1) đã cho với

ẩn ban đầu

Bài toán 3) với ẩn ban

đầu

Bài toán 2) với phụ

phụ

Ch

ọn

ẩ

n

(Đơn giản hơn

bài toán 1)