Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam

Phép tính tích phân và áp dụng
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
LÊ THỊ THU VÂN
PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN VÀ ÁP DỤNG
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số : 60.46.01.13
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Đà Nẵng – Năm 2016
Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
Người hướng dẫn khoa học: TS. PHAN ĐỨC TUẤN
Phản biện 1: TS. Trương Công Quỳnh
Phản biện 2: TS. Hoàng Quang Tuyến
Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn
tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại Học Đà Nẵng vào ngày
13 tháng 8 năm 2016.
Có thể tìm hiểu Luận văn tại:
- Trung tâm Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là môn khoa học gắn liền với thực tiễn. Trong toán
học, giải tích chiếm một vị trí vô cùng quan trọng. Các kết quả
nghiên cứu được trong giải tích không chỉ áp dụng trong các lĩnh vực
của Toán học mà còn áp dụng trong các ngành khoa học khác như
Vật lý, Hóa học,Thiên văn học...
Để có các kiến thức về giải tích một cách có hệ thống và
khoa học thì việc nắm vững và hiểu sâu sắc các kiến thức ban đầu
của giải tích: “ Phép tính tích phân” là điều cần thiết và quan trọng.
Vì những lí do trên chúng tôi lựa chọn đề tài: “Phép tính tích phân
và áp dụng”.
2. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của đề tài
Mục tiêu của đề tài là nhằm giúp người đọc hiểu được về phép
tính tích phân và một số áp dụng của nó. Một số điểm cố gắng đưa
vào trong luận văn là:
- Trình bày một số định nghĩa liên quan đến phép tính tích
phân, chứng minh chặt chẽ các định lý liên quan.
- Giới thiệu một số áp dụng cụ thể của tích phân.
- Đưa nhiều ví dụ và bài tập liên quan đến đề tài.
Nội dung của đề tài được dự định chia thành 2 chương và
phụ lục:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Áp dụng của phép tính tích phân.
Trong mỗi phần sẽ đưa vào các ví dụ và bài tập áp dụng cụ thể.
2
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các bài toán áp dụng trong
tích phân.
Phạm vi nghiên cứu của đề tài là vận dụng các phương pháp
giải toán thích hợp trong tích phân để giải quyết các bài toán bất đẳng
thức và giới hạn.
4. Phương pháp nghiên cứu
1. Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả
nghiên cứu liên quan đến phép tính tích phân.
2. Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi
các kết quả đang nghiên cứu.
5. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận và danh mục các tài liệu tham
khảo, nội dung luận văn được chia thành hai chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương 1, luận văn trình bày:
Các định nghĩa, khái niệm và kết quả cơ bản của tích phân xác
định; bất đẳng thức tích phân và một số ứng dụng hình học, vật lý
của của tích phân để làm cơ sở cho chương sau.
Chương 2. Các dạng bài tập áp dụng phép tính tích phân.Trong
chương 2, luận văn trình bày:
Các bài toán liên quan các tính chất của tổng Darboux; bất
đẳng thức tích phân và giới thiệu một số bài toán áp dụng hình học,
vật lý trong tích phân xác định.
3
CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ sở về tích phân,bất
đẳng thức có liên quan đến việc nghiên cứu trong chương tiếp theo.
Các nội dung trình bày trong chương chủ yếu được tham khảo trong
các tài liệu [1], [3], [4], [5],[7].
1.1. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1.1.1. Bài toán diện tích hình thang cong
1.1.2. Định nghĩa tích phân xác định
Cho hàm ��(��) xác định trên [��, ��]. Chia [��, ��] thành n-phần
tùy ý bởi các điểm chia (ta gọi là một phân hoạch của đoạn [��, ��])
�� = ��0 < ��1 < ⋯ < ���� = ��.
Lấy điểm bất kỳ ���� ∈ [����, ����+1
] , lập tổng tích phân
���� = ∑��(����
). ∆��
��−1
��=0
, ∆��= ����+1 − ����
(Tổng Riemann).
Ta cho max ∆���� → 0 nếu ���� tiến đến một giới hạn hữu hạn
mà không phụ thuộc cách chia [��, ��] và cách lấy điểm ���� thì giới
hạn đó được gọi là tích phân xác định của hàm ��(��) trên [��, ��] và kí
hiệu là
∫ ��(��)����
��
��
.
Khi ấy, ta nói hàm ��(��) khả tích trên [��, ��].
1.1.3. Ý nghĩa hình học của tích phân xác định
4
1.2. ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH
1.2.1. Điều kiện cần để hàm khả tích
Định lí 1.1. Nếu hàm f khả tích trên đoạn [��, ��] thì nó bị chặn
trên đoạn này.
Chứng minh
Ta giả sử ngược lại rằng hàm �� không bị chặn trên [��, ��] .Bởi
vì hàm �� không bị chặn trên [��, ��] nên với phân điểm �� bất kì của
đoạn [��, ��], hàm�� không bị chặn ít nhất trên một đoạn con nào đó.
Để đơn giản cho việc chứng minh, ta giả sử nó không còn bị chặn
trên [��0, ��1].
Khi đó trong các đoạn còn lại [��1, ��2],[��2,��3], … ,[����−1, ����] ta
hãy chọn các điểm tùy ý ξ
1,
ξ
2
, … , ξ
��
và kí hiệu:
��
′ = ��(ξ
2
)∆��2 + ��(ξ
3
)∆��3 + ⋯ + ��(ξ
��
)∆����. (1.2.1)
Do �� không bị chặn trên đoạn [��0, ��1] nên với mọi �� > 0, ta
chọn được ξ
1
∈ [��0, ��1] sao cho:
|��(ξ
1
)|
|��
′
| + ��
|∆��1
|
. (1.2.2)
Khi đó,|��(ξ
1
)|. |∆��1
| ≥ |��
′
| + �� và tổng tích phân tương ứng
|����
| = |��(ξ
1
)∆��1 + ��
′
| ≥ ||��(ξ
1
)||∆��1
| − |��
′
|| ≥ �� . (1.2.3)
Do đó, tổng tích phân ���� không thể có giới hạn hữu hạn, điều
này nghĩa là tích phân xác định của hàm �� không tồn tại.
1.2.2. Các tổng Darboux
Giả sử hàm f xác định và bị chặn trên [��, ��]. Khi đó tồn tại các
hằng số m và M sao cho:
5
�� ≤ ��(��) ≤ ��, ∀�� ∈ [��, ��].
Ta xét phân điểm �� = {����
} của đoạn [��, ��]. Kí hiệu:
���� = inf ��(��) , ���� = sup ��(��), ���� = ���� − ����.
�� ∈ [����−1
, ����
] �� ∈ [����−1
, ����
]
Đại lượng ���� gọi là giao động của �� trên [����−1, ����]. Tổng
���� = ∑����∆����
��
��=1
, ���� = ∑����∆����.
��
��=1
(1.2.4)
lần lượt là tổng tích phân Darboux dưới và tổng tích phân Darboux
trên của hàm ��(��) trên đoạn [��, ��] tương ứng với phân điểm T của
đoạn [��, ��].
Nếu {����
} là một phân điểm của đoạn [��, ��], ta có bất đẳng thức
sau:
���� ≤ ���� ≤ ����. (1.2.5)
1.2.3. Các tính chất của tổng tích phân Darboux
1.2.4. Dấu hiệu tồn tại của tích phân xác định
Định lý 1.2. Để hàm bị chặn ��(��) khả tích trên đoạn [��, ��]
điều kiện cần và đủ là:
�� = max
��
∆���� , lim
��→0
(���� − ����) = 0. (1.2.10)
Điều kiện (1.2.10) nghĩa là:
∀�� > 0, ∃�� = ��(��) > 0, sao cho nếu �� < �� thì:
|���� − ����| < ��. (1.2.11)
không phụ thuộc vào cách chọn các điểm ���� ∈ [����−1, ����
].
1.3. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH PHÂN
1.3.1. Công thức Newton-Leibnitz
Nếu hàm ��(��) liên tục trên đoạn [��, ��] và ��(��) là một nguyên
6
hàm của ��(��) thì
∫ ��(��)����
��
��
= ��(��) − ��(��) = ��(��)|��
��
.
1.3.2. Công thức tích phân từng phần
Nếu hai hàm ��(��), ��(��) khả vi và liên tục trên [��, ��] thì
∫ ��(��)
��
��
��
′
(��)���� = ��(��)��(��)|��
�� − ∫ ��
′
(��)
��
��
��(��)����.
1.3.3. Đổi biến số
Giả sử thoả mãn các điều kiện sau:
1) Hàm ��(��) liên tục trên đoạn [a,b].
2) Hàm ��(��) khả vi, liên tục trên đoạn [��, ��].
3) ��([��, ��]) ⊂ [��, ��],��(��) = ��,��(��) = ��.
Với các điều kiện này thì ta có công thức
∫ ��(��)����
��
��
= ∫ ��(��(��))
��
��
��
′
(��)����.
1.3.4. Các tính chất của tích phân xác định
Định lí 1.3. (Tính chất tuyến tính): Nếu ��, �� là hai hàm khả
tích trên [��, ��] thì �� + ���� , trong đó ��, �� = cons�� , cũng khả tích trên
[��, ��] và
∫ (����(��) + ����(��))����
��
��
= �� ∫ ��(��)����
��
��
+ �� ∫ ��(��)����.
��
��
Định lí 1.4. Nếu ��, �� là hai hàm khả tích trên [��, ��] thì tích hai
hàm ��. �� cũng khả tích trên [��, ��] .
Định lí 1.5. (Tính chất cộng của tích phân) Cho ba đoạn
[��, ��],[��, ��]và [��, ��]. Nếu ��(��) khả tích trên đoạn có độ dài lớn nhất
7
thì nó cũng khả tích trên đoạn còn lại và
∫ ��(��)����
��
��
= ∫ ��(��)����
��
��
+ ∫ ��(��)����.
��
��
Định lí 1.6. Tính khả tích và giá trị của tích phân không thay
đổi nếu ta thay đổi giá trị của nó tại một số hữu hạn điểm.
Định lí 1.7. Giả sử��(��) khả tích trên [��, ��].
��) Nếu��(��) ≥ 0 ∀�� ∈ [��, ��] , �� < ��,thì ∫ ��(��)����
��
��
≥ 0 .
��) Nếu��(��) > 0 ∀�� ∈ [��, ��] , �� < ��,thì ∫ ��(��)����
��
��
> 0.
Định lí 1.8. ( Tính đơn điệu)
Nếu ��(��) ≤ ��(��), ∀�� ∈ [��, ��] thì ∫ ��(��)����
��
��
≤ ∫ ��(��)����.
��
��
Định lí 1.9. Nếu ��(��) khả tích trên [��, ��], thì |��(��)| khả tích
trên [��, ��] và
|∫ ��(��)����
��
��
| ≤ ∫ |��(��)|����.
��
��
Định lí 1.10. (Đánh giá tích phân xác định)
Nếu �� và �� tương ứng là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm
��(��) trên [��, ��], �� < �� thì:
��(�� − ��) ≤ ∫ ��(��)����
��
��
≤ ��(�� − ��).
1.3.5 Các định lí giá trị trung bình
Định lí giá trị trung bình thứ nhất.
Giả sử��(��)khả tích trên [��, ��], (�� < ��)và �� = inf
[��,��]
�� , �� = sup
[��,��]
�� .