Phép tính tích phân của hàm vectơ và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————

HỒ ANH ĐIỀN

PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM VECTƠ

VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - 2021

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————

HỒ ANH ĐIỀN

PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM VECTƠ

VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học :

TS. Hoàng Nhật Quy

Đà Nẵng - 2021

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đề tài luận văn "Phép tính tích phân của hàm vectơ và

một số ứng dụng" không có sự trùng lặp với bất kỳ đề tài luận văn nào khác.

Tôi cũng xin khẳng định luận văn này là công trình nghiên cứu tổng quan

của tôi dưới sự hướng dẫn của TS. Hoàng Nhật Quy. Các kết quả trong luận

văn này được tổng hợp từ những tài liệu có nguồn gốc rõ ràng.

Tác giả

Hồ Anh Điền

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của

thầy hướng dẫn TS. Hoàng Nhật Quy, Trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng.

Nhân dịp này tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy

đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Tôi cũng

xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng,

Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán, cùng quý thầy cô giáo giảng dạy

lớp cao học K39 tại đã dày công giảng dạy trong suốt khóa học, tạo điều

kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài.

Nhân đây tôi cũng xin chân thành cảm ơn sự hỗ trợ về mặt tinh thần

của gia đình, bạn bè đã luôn tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tôi hoàn thành

tốt khóa học và luận văn này.

Tác giả

Hồ Anh Điền

TRANG THÔNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ

Tên đề tài: Phép tính tích phân của hàm vectơ và một số ứng dụng

Ngành: Toán giải tích

Họ và tên học viên: Hồ Anh Điền

Người hướng dẫn khoa học: TS. Hoàng Nhật Quy

Cơ sở đào tạo: Đại Học Sư Phạm - Đại Học Đà Nẵng

Tóm tắt

 Những kết quả chính của luận văn:

- Đã hệ thống hóa một số khái niệm và các kết quả liên quan tới vectơ, hàm vectơ và phép

tính tích phân của hàm vectơ.

- Trình bày một số ứng dụng của hàm vectơ và phép tính tích phân của hàm vectơ trong nghiên

cứu một số trường vectơ trong vật lý (như trường điện từ, trường hấp hẫn,..), trong nghiên

cứu dạng vi phân và hình học vi phân trong toán học.

 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn:

- Luận văn được viết trên cơ sở tham khảo các kết quả từ 06 tài liệu tham khảo bằng Tiếng

Việt và 02 tài liệu tham khảo bằng Tiếng Anh là các sách chuyên khảo của các nhà xuất bản

uy tín trong nước và trên thế giới. Do vậy, đây có thể là một tài liệu tham khảo bổ ích cho

học viên cao học ngành Toán Giải Tích và độc giả quan tâm về lĩnh vực này.

Xác nhận của giáo viên hướng dẫn Người thực hiện đề tài

INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS

Name of thesis: Integral calculus of vector functions and some applications

Major: Mathematical analysis

Full name of Master student: Ho Anh Dien

Supervisors: PhD. Hoang Nhat Quy

Training institution: The University of Danang - University of Education.

Summary

 The main results of the thesis:

- Systematically presenting some concepts and results related to vectors, vector functions

and integral calculus of vector functions.

- Presenting some applications of vector functions and integral calculus of vector functions

in the study of some vector fields in physics (such as electromagnetic fields, gravitational

fields, ..), in the study of differential forms and geometry differential in mathematics.

 The applicability in practice and subsequent research of the thesis:

- The thesis is written on the basis of referencing results from 06 references in Vietnamese

and 02 references in English, which are monographs of prestigious domestic and

international publishers. Therefore, this can be a useful reference for graduate students

majoring in Calculus and readers interested in this field.

Supervior’s confirmation Student

Mục lục

MỞ ĐẦU 2

1 Kiến thức cơ sở 5

1.1 Một số kiến thức về vectơ trong mặt phẳng và không gian . . 5

1.2 Hàm vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Đạo hàm và tích phân hàm vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.1 Đạo hàm của hàm vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.2 Tích phân của hàm vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4 Mặt tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5 Trường vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.6 Sơ lược về dạng vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2 Một số ứng dụng của phép tính tích phân hàm vectơ 40

2.1 Tích phân đường của hàm vectơ và ứng dụng . . . . . . . . . 40

2.2 Tích phân mặt của hàm vectơ và ứng dụng . . . . . . . . . 59

2.3 Tích phân của dạng vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.4 Một số ứng dụng trong hình học vi phân . . . . . . . . . . . 70

Tài liệu tham khảo 74

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Trong chương trình toán học phổ thông, phương pháp tọa độ và vectơ đã

được đề cập ở mức độ rất cơ bản, và mang lại phương pháp tiếp cận mới,

các lời giải hay cho nhiều bài toán về hình học. Dựa trên lý thuyết về tọa

độ, vectơ và hàm số, khái niệm hàm vectơ đã được xây dựng và nghiên cứu.

Tiếp cận lý thuyết về hàm số theo hướng này giúp chúng ta có cái nhìn đa

dạng về các khái niệm toán học, mang lại sự mới mẻ và tìm được các ứng

dụng hữu ích hơn cho các nội dung toán học nói chung và nội dung về phép

tính tích phân nói riêng.

Phép tính tích phân của hàm vectơ có nhiều ứng dụng khi nghiên cứu các

trường vectơ trong vật lý (như trường điện từ, trường hấp dẫn, dòng chất

lỏng,...), nghiên cứu về dạng vi phân và hình học vi phân trong toán học.

Là giáo viên dạy toán ở trường phổ thông với mong muốn được tìm hiểu sâu

hơn về phép tính tích phân hàm vectơ và các ứng dụng của nó, mong muốn

có cách tiếp cận mới mẻ hơn để từ đó đưa ra cách truyền đạt để học sinh

có thể nắm bắt và tiếp cận kiến thức về tích phân một cách dễ dàng và thú

vị hơn, cùng được sự hướng dẫn khoa học của TS. Hoàng Nhật Quy, tôi

đã chọn đề tài “Phép tính tích phân của hàm vectơ và một số ứng

dụng” để thực hiện trong luận văn Thạc sĩ của mình.

2. Mục đích nghiên cứu

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là:

2